（天津?qū)Ｓ茫?020版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 8.3 直線、平面平行的判定與性質(zhì)精練.docx

8.3直線、平面平行的判定與性質(zhì)挖命題【考情探究】考點(diǎn)內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點(diǎn)直線、平面平行的判定與性質(zhì)1.以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題2016天津文,172015天津文,172014天津文,17直線、平面平行的判定和性質(zhì)定理的靈活應(yīng)用直線、平面垂直的判定和性質(zhì)定理分析解讀1.理解空間直線和平面位置關(guān)系的定義,了解直線和平面的位置關(guān)系,掌握直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理;2.會運(yùn)用直線與平面及平面與平面的位置關(guān)系,以及它們平行的判定定理和性質(zhì)定理解決簡單的應(yīng)用問題與證明問題;3.推理和證明要嚴(yán)謹(jǐn)、合理、充分;4.高考對本節(jié)內(nèi)容的考查,一般通過對圖形或幾何體的認(rèn)識,考查線線平行、線面平行、面面平行之間的轉(zhuǎn)化思想,題型以解答題為主,屬中檔題.破考點(diǎn)【考點(diǎn)集訓(xùn)】考點(diǎn)直線、平面平行的判定與性質(zhì)1.(2016課標(biāo)文,11,5分)平面過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,則m,n所成角的正弦值為()A.32B.22C.33D.13答案A2.(2016山東文,18,12分)在如圖所示的幾何體中,D是AC的中點(diǎn),EFDB.(1)已知AB=BC,AE=EC,求證:ACFB;(2)已知G,H分別是EC和FB的中點(diǎn).求證:GH平面ABC.證明(1)因?yàn)镋FDB,所以EF與DB確定平面BDEF.連接DE.因?yàn)锳E=EC,D為AC的中點(diǎn),所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDE=D,所以AC平面BDEF,因?yàn)镕B平面BDEF,所以ACFB.(2)設(shè)FC的中點(diǎn)為I.連接GI,HI.在CEF中,因?yàn)镚是CE的中點(diǎn),I是FC的中點(diǎn),所以GIEF,又EFDB,所以GIDB,又DB平面ABC,GI平面ABC,所以GI平面ABC.在CFB中,因?yàn)镠是FB的中點(diǎn),I是FC的中點(diǎn),所以HIBC,又BC平面ABC,HI平面ABC,所以HI平面ABC.又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC.因?yàn)镚H平面GHI,所以GH平面ABC.思路分析第(1)問連接DE,利用等腰三角形的性質(zhì)得ACDE,ACDB,從而得線面垂直,利用線面垂直的性質(zhì)得結(jié)論;第(2)問取FC的中點(diǎn)I,連接GI,HI,利用三角形的中位線得線線平行從而得線面平行,進(jìn)而證面面平行,再利用面面平行的性質(zhì)得出結(jié)論.評析本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì)以及線面平行的判定與性質(zhì),考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力,同時(shí)考查學(xué)生對轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用.煉技法【方法集訓(xùn)】方法1證明線面平行的方法1.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD為菱形,ABC=60,PA=AB=1,E為PC的中點(diǎn).(1)求證:PA平面BDE;(2)求三棱錐P-BDE的體積.解析(1)證明:連接AC,設(shè)ACBD=O,連接OE,則O為AC的中點(diǎn),E為PC的中點(diǎn),PAOE,又OE平面BDE,PA平面BDE,PA平面BDE.(2)連接AE,由(1)知PA平面BDE,P到平面BDE的距離與A到平面BDE的距離相等,即VP-BDE=VA-BDE,又VA-BDE=VE-ABD=12VP-ABD=121311211sin120=324,VP-BDE=324.方法2證明面面平行的方法2.如圖,已知在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是等腰梯形,ABCD,點(diǎn)O是線段AB的中點(diǎn),PO平面ABCD,PO=CD=DA=12AB=4,M是線段PA的中點(diǎn).(1)證明:平面PBC平面ODM;(2)求點(diǎn)A到平面PCD的距離.解析(1)證明:由題意,得CDBO,且CD=BO,四邊形OBCD為平行四邊形,BCOD.BC平面PBC,OD平面PBC,OD平面PBC.又O是AB的中點(diǎn),M是PA的中點(diǎn),OMPB.又OM平面PBC,PB平面PBC,OM平面PBC.又OMOD=O,平面PBC平面ODM.(2)取CD的中點(diǎn)N,連接ON,PN,如圖所示,則ONCD.PO平面ABCD,CD平面ABCD,POCD.又ONCD,POON=O,CD平面PNO.PN平面PNO,CDPN.ON,PN分別為ACD,PCD的公共邊CD上的高.由題意可求得ON=23,則PN=27,設(shè)點(diǎn)A到平面PCD的距離為d.V三棱錐A-PCD=V三棱錐P-ACD,即1312427d=13124234,d=4217.即點(diǎn)A到平面PCD的距離為4217.過專題【五年高考】A組自主命題天津卷題組1.(2016天津文,17,13分)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,平面AED平面ABCD,EFAB,AB=2,BC=EF=1,AE=6,DE=3,BAD=60,G為BC的中點(diǎn).(1)求證:FG平面BED;(2)求證:平面BED平面AED;(3)求直線EF與平面BED所成角的正弦值.解析(1)證明:取BD中點(diǎn)O,連接OE,OG.在BCD中,因?yàn)镚是BC中點(diǎn),所以O(shè)GDC且OG=12DC=1,又因?yàn)镋FAB,ABDC,所以EFOG且EF=OG,即四邊形OGFE是平行四邊形,所以FGOE.又FG平面BED,OE平面BED,所以,FG平面BED.(2)證明:在ABD中,AD=1,AB=2,BAD=60,由余弦定理可得BD=3,進(jìn)而ADB=90,即BDAD.又因?yàn)槠矫鍭ED平面ABCD,BD平面ABCD,平面AED平面ABCD=AD,所以BD平面AED.又因?yàn)锽D平面BED,所以,平面BED平面AED.(3)因?yàn)镋FAB,所以直線EF與平面BED所成的角即為直線AB與平面BED所成的角.過點(diǎn)A作AHDE于點(diǎn)H,連接BH.又平面BED平面AED=ED,由(2)知AH平面BED.所以,直線AB與平面BED所成的角即為ABH.在ADE中,AD=1,DE=3,AE=6,由余弦定理得cosADE=23,所以sinADE=53,因此,AH=ADsinADE=53.在RtAHB中,sinABH=AHAB=56.所以,直線EF與平面BED所成角的正弦值為56.方法總結(jié)證明線面平行常用線線平行或面面平行進(jìn)行轉(zhuǎn)化;在證明面面垂直時(shí)注意線、面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化;解決線面角問題的關(guān)鍵是找出斜線在平面內(nèi)的射影,常用定義法求解.2.(2015天津文,17,13分)如圖,已知AA1平面ABC,BB1AA1,AB=AC=3,BC=25,AA1=7,BB1=27,點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn).(1)求證:EF平面A1B1BA;(2)求證:平面AEA1平面BCB1;(3)求直線A1B1與平面BCB1所成角的大小.解析(1)證明:如圖,連接A1B.在A1BC中,因?yàn)镋和F分別是BC和A1C的中點(diǎn),所以EFBA1.又因?yàn)镋F平面A1B1BA,所以EF平面A1B1BA.(2)證明:因?yàn)锳B=AC,E為BC中點(diǎn),所以AEBC.因?yàn)锳A1平面ABC,BB1AA1,所以BB1平面ABC,從而BB1AE.又因?yàn)锽CBB1=B,所以AE平面BCB1,又因?yàn)锳E平面AEA1,所以平面AEA1平面BCB1.(3)取BB1的中點(diǎn)M和B1C的中點(diǎn)N,連接A1M,A1N,NE.因?yàn)镹和E分別為B1C和BC的中點(diǎn),所以NEB1B,NE=12B1B,故NEA1A且NE=A1A,所以A1NAE,且A1N=AE.又因?yàn)锳E平面BCB1,所以A1N平面BCB1,從而A1B1N為直線A1B1與平面BCB1所成的角.在ABC中,可得AE=2,所以A1N=AE=2.因?yàn)锽MAA1,BM=AA1,所以A1MAB,A1M=AB,又由ABBB1,有A1MBB1.在RtA1MB1中,可得A1B1=B1M2+A1M2=4.在RtA1NB1中,sinA1B1N=A1NA1B1=12,因此A1B1N=30.所以,直線A1B1與平面BCB1所成的角為30.評析本小題主要考查直線與平面平行、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.B組統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組1.(2017課標(biāo)文,6,5分)如圖,在下列四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中,直線AB與平面MNQ不平行的是()答案A2.(2016課標(biāo),14,5分),是兩個(gè)平面,m,n是兩條直線,有下列四個(gè)命題:如果mn,m,n,那么.如果m,n,那么mn.如果,m,那么m.如果mn,那么m與所成的角和n與所成的角相等.其中正確的命題有.(填寫所有正確命題的編號)答案3.(2018課標(biāo)文,19,12分)如圖,矩形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直,M是CD上異于C,D的點(diǎn).(1)證明:平面AMD平面BMC;(2)在線段AM上是否存在點(diǎn)P,使得MC平面PBD?說明理由.解析本題考查平面與平面垂直的判定與性質(zhì)、直線與平面平行的判定與性質(zhì).(1)證明:由題設(shè)知,平面CMD平面ABCD,交線為CD.因?yàn)锽CCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因?yàn)镸為CD上異于C,D的點(diǎn),且DC為直徑,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時(shí),MC平面PBD.理由如下:如圖,連接AC交BD于O.因?yàn)锳BCD為矩形,所以O(shè)為AC中點(diǎn).連接OP,因?yàn)镻為AM中點(diǎn),所以MCOP.MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.易錯(cuò)警示使用面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行推理證明時(shí)要使條件完備.4.(2018江蘇,15,14分)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1.求證:(1)AB平面A1B1C;(2)平面ABB1A1平面A1BC.證明本題主要考查直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系,考查學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力.(1)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1.因?yàn)锳B平面A1B1C,A1B1平面A1B1C,所以AB平面A1B1C.(2)在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形ABB1A1為平行四邊形.又因?yàn)锳A1=AB,所以四邊形ABB1A1為菱形,所以AB1A1B.因?yàn)锳B1B1C1,BCB1C1,所以AB1BC.又因?yàn)锳1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC,所以AB1平面A1BC,又因?yàn)锳B1平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面A1BC.5.(2016課標(biāo)文,19,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M為線段AD上一點(diǎn),AM=2MD,N為PC的中點(diǎn).(1)證明:MN平面PAB;(2)求四面體N-BCM的體積.解析(1)證明:由已知得AM=23AD=2,取BP的中點(diǎn)T,連接AT,TN,由N為PC的中點(diǎn)知TNBC,TN=12BC=2.(3分)又ADBC,故TNAM,故四邊形AMNT為平行四邊形,于是MNAT.因?yàn)锳T平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(6分)(2)因?yàn)镻A平面ABCD,N為PC的中點(diǎn),所以N到平面ABCD的距離為12PA.(9分)取BC的中點(diǎn)E,連接AE.由AB=AC=3得AEBC,AE=AB2-BE2=5.由AMBC得M到BC的距離為5,故SBCM=1245=25.所以四面體N-BCM的體積VN-BCM=13SBCMPA2=453.(12分)評析本題考查了線面平行的判定,考查了求三棱錐的體積,考查了學(xué)生的空間想象力.線段的中點(diǎn)問題一般應(yīng)用三角形的中位線求解.6.(2016四川文,17,12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PACD,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=12AD.(1)在平面PAD內(nèi)找一點(diǎn)M,使得直線CM平面PAB,并說明理由;(2)證明:平面PAB平面PBD.解析(1)取棱AD的中點(diǎn)M(M平面PAD),點(diǎn)M即為所求的一個(gè)點(diǎn).理由如下:連接CM.因?yàn)锳DBC,BC=12AD,所以BCAM,且BC=AM.所以四邊形AMCB是平行四邊形,從而CMAB.又AB平面PAB,CM平面PAB,所以CM平面PAB.(說明:取棱PD的中點(diǎn)N,則所找的點(diǎn)可以是直線MN上任意一點(diǎn))(2)證明:連接BM,因?yàn)锳DBC,BC=12AD,所以直線AB與CD相交,因?yàn)镻AAB,PACD,所以PA平面ABCD.從而PABD.因?yàn)锳DBC,BC=12AD,所以BCMD,且BC=MD.所以四邊形BCDM是平行四邊形.所以BM=CD=12AD,所以BDAB.又ABAP=A,所以BD平面PAB.又BD平面PBD,所以平面PAB平面PBD.思路分析(1)要得到CM平面PAB,可以先猜出M點(diǎn)所在位置再證明.(2)由已知的線線垂直想到線面垂直,再證面面垂直.評析本題考查了直線與平面平行的判定,直線與平面垂直的判定和性質(zhì)及面面垂直的判定,熟練掌握線面平行與線面垂直的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7.(2014山東文,18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,AP平面PCD,ADBC,AB=BC=12AD,E,F分別為線段AD,PC的中點(diǎn).(1)求證:AP平面BEF;(2)求證:BE平面PAC.證明(1)設(shè)ACBE=O,連接OF,EC.由于E為AD的中點(diǎn),AB=BC=12AD,ADBC,所以AEBC,AE=AB=BC,因此四邊形ABCE為菱形,所以O(shè)為AC的中點(diǎn).又F為PC的中點(diǎn),因此在PAC中,可得APOF.又OF平面BEF,AP平面BEF,所以AP平面BEF.(2)由題意知EDBC,ED=BC,所以四邊形BCDE為平行四邊形,因此BECD.又AP平面PCD,所以APCD,因此APBE.因?yàn)樗倪呅蜛BCE為菱形,所以BEAC.又APAC=A,AP,AC平面PAC,所以BE平面PAC.C組教師專用題組1.(2013廣東,6,5分)設(shè)m,n是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面.下列命題中正確的是()A.若,m,n,則mnB.若,m,n,則mnC.若mn,m,n,則D.若m,mn,n,則答案D2.(2013安徽,15,5分)如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,P為BC的中點(diǎn),Q為線段CC1上的動點(diǎn),過點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是(寫出所有正確命題的編號).當(dāng)0<CQ<12時(shí),S為四邊形;當(dāng)CQ=12時(shí),S為等腰梯形;當(dāng)CQ=34時(shí),S與C1D1的交點(diǎn)R滿足C1R=13;當(dāng)34<CQ<1時(shí),S為六邊形;當(dāng)CQ=1時(shí),S的面積為62.答案3.(2014湖北,19,12分)如圖,在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分別是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中點(diǎn),點(diǎn)P,Q分別在棱DD1,BB1上移動,且DP=BQ=(0<<2).(1)當(dāng)=1時(shí),證明:直線BC1平面EFPQ;(2)是否存在,使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.解析(1)證明:如圖1,連接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方體,知BC1AD1.當(dāng)=1時(shí),P是DD1的中點(diǎn),又F是AD的中點(diǎn),所以FPAD1.所以BC1FP.而FP平面EFPQ,且BC1平面EFPQ,故直線BC1平面EFPQ.(2)如圖2,連接BD.因?yàn)镋,F分別是AB,AD的中點(diǎn),所以EFBD,且EF=12BD.又DP=BQ,DPBQ,所以四邊形PQBD是平行四邊形,故PQBD,且PQ=BD,從而EFPQ,且EF=12PQ.在RtEBQ和RtFDP中,因?yàn)锽Q=DP=,BE=DF=1,于是EQ=FP=1+2,所以四邊形EFPQ是等腰梯形.同理可證四邊形PQMN是等腰梯形.分別取EF,PQ,MN的中點(diǎn)為H,O,G,連接OH,OG,則GOPQ,HOPQ,而GOHO=O,故GOH是面EFPQ與面PQMN所成的二面角的平面角.若存在,使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角,則GOH=90.連接EM,FN,則由EFMN,且EF=MN,知四邊形EFNM是平行四邊形.連接GH,因?yàn)镠,G是EF,MN的中點(diǎn),所以GH=ME=2.在GOH中,GH2=4,OH2=1+2-222=2+12,OG2=1+(2-)2-222=(2-)2+12,由OG2+OH2=GH2,得(2-)2+12+2+12=4,解得=122,故存在=122,使面EFPQ與面PQMN所成的二面角為直二面角.4.(2014天津文,17,13分)如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形,BA=BD=2,AD=2,PA=PD=5,E,F分別是棱AD,PC的中點(diǎn).(1)證明EF平面PAB;(2)若二面角P-AD-B為60,(i)證明平面PBC平面ABCD;(ii)求直線EF與平面PBC所成角的正弦值.解析(1)證明:如圖,取PB中點(diǎn)M,連接MF,AM.因?yàn)镕為PC中點(diǎn),故MFBC且MF=12BC.由已知有BCAD,BC=AD.又由于E為AD中點(diǎn),因而MFAE且MF=AE,故四邊形AMFE為平行四邊形,所以EFAM.又AM平面PAB,而EF平面PAB,所以EF平面PAB.(2)(i)證明:連接PE,BE.因?yàn)镻A=PD,BA=BD,而E為AD中點(diǎn),故PEAD,BEAD,所以PEB為二面角P-AD-B的平面角.在PAD中,由PA=PD=5,AD=2,可解得PE=2.在ABD中,由BA=BD=2,AD=2,可解得BE=1.在PEB中,PE=2,BE=1,PEB=60,由余弦定理,可解得PB=3,從而PBE=90,即BEPB.又BCAD,BEAD,從而BEBC,因此BE平面PBC.又BE平面ABCD,所以,平面PBC平面ABCD.(ii)連接BF.由(i)知,BE平面PBC,所以EFB為直線EF與平面PBC所成的角.由PB=3及已知,得ABP為直角.而MB=12PB=32,可得AM=112,故EF=112.又BE=1,故在直角三角形EBF中,sinEFB=BEEF=21111.所以,直線EF與平面PBC所成角的正弦值為21111.評析本題主要考查直線與平面平行、平面與平面垂直、直線與平面所成的角、二面角等基礎(chǔ)知識.考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力.【三年模擬】解答題(共90分)1.(2019屆天津七校聯(lián)考期中,16)如圖,在三棱柱ABM-DCN中,側(cè)面ABCD為菱形,且MA平面ABCD.(1)求證:ACBN;(2)當(dāng)點(diǎn)E在AB的什么位置時(shí),AN平面MEC成立,并加以證明.解析(1)證明:連接BD,由題意得ACBD,又因?yàn)镸A平面ABCD,MADN,所以DN平面ABCD,所以ACDN.因?yàn)镈NDB=D,所以AC平面NDB,又因?yàn)锽N平面NDB,所以ACBN.(2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí),有AN平面MEC.設(shè)CM與BN交于F,連接EF,由已知可得四邊形BCNM是平行四邊形,所以F是BN的中點(diǎn).因?yàn)镋是AB的中點(diǎn),所以ANEF.又EF平面MEC,AN平面MEC,所以AN平面MEC.2.(2018天津十二區(qū)縣一模,17)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面ABC,AC=BC,AB=2A1A=4,以AB,BC為鄰邊作平行四邊形ABCD,連接A1D,DC1.(1)求證:DC1平面A1ABB1;(2)若二面角A1-DC-A為45.求證:平面A1C1D平面A1AD;求直線AB1與平面A1AD所成角的正切值.解析(1)證明:由題意知ADBCB1C1且AD=BC=B1C1,四邊形ADC1B1為平行四邊形,AB1DC1,又AB1平面A1ABB1,DC1平面A1ABB1,DC1平面A1ABB1.(2)證明:取DC中點(diǎn)M,連接A1M,AM,易知RtA1ADRtA1AC,A1D=A1C,A1MDC,又易知AMDC,A1MA為二面角A1-DC-A的平面角,A1MA=45,在RtA1AM中,AA1=AM=2,AD=AC=22,AC2+AD2=DC2,ACAD,由題知ACAA1,ADAA1=A,AC平面A1AD,又ACA1C1,A1C1平面A1AD,又A1C1平面A1C1D,平面A1C1D平面A1AD.AB1C1D,C1D與平面A1AD所成角與AB1與平面A1AD所成角相等,由知C1A1平面A1AD,A1D為線段C1D在平面A1AD內(nèi)的射影,A1DC1為直線DC1與平面A1AD所成的角,在RtA1DC1中,tanA1DC1=A1C1A1D=63,直線AB1與平面A1AD所成角的正切值為63.3.(2018天津河北一模,17)如圖,平面ABE平面ABCD,四邊形ABCD為直角梯形,CBA=90,ADBCEF,ABE為等邊三角形,AB=23,BC=2,AD=4,EF=3,G為CD的中點(diǎn).(1)求證:FG平面ABE;(2)求證:平面CDF平面ABCD;(3)求直線AF與平面CDF所成角的正切值.解析(1)證明:取AB的中點(diǎn)H,連接EH,GH,則GH為直角梯形ABCD的中位線,GH=12(AD+BC)=3,GHAD,又EF=3,EFAD,GHEF,GH=EF,四邊形EFGH是平行四邊形,故EHFG,又FG平面ABE,EH平面ABE,FG平面ABE.(2)證明:ABE是等邊三角形,EHAB,又平面ABE平面ABCD,平面ABE平面ABCD=AB,EH平面ABE,EH平面ABCD,又EHFG,FG平面ABCD,又FG平面CDF,平面CDF平面ABCD.(3)連接AC,AG,在直角梯形ABCD中,AC=AB2+BC2=4,又AD=4,G為CD中點(diǎn),AGCD.又FG平面ABCD,AG平面ABCD,FGAG,AG平面FCD,AFG為直線AF與平面CDF所成的角,CD=AB2+(AD-BC)2=4,AC=4,AG=AC2-CG2=23,ABE是等邊三角形,AB=23,FG=EH=3,tanAFG=AGFG=233.4.(2018天津南開二模,17)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA底面ABCD,PCAD,PA=AB=BC,點(diǎn)E在棱PB上,且PE=2EB,ABDC,ABBC.(1)求證:平面PAB平面PCB;(2)求證:PD平面EAC;(3)求二面角A-CD-P的正切值.解析(1)證明:PA底面ABCD,BC平面ABCD,PABC,ABBC,PAAB=A,BC平面PAB,BC平面PCB,平面PAB平面PCB.(2)證明:PA底面ABCD,AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影.又PCAD,ACAD.ABBC,AB=BC,BAC=45,又ABDC,DCA=BAC=45,故DAC為等腰直角三角形,DC=2AC=2AB.連接BD,交AC于點(diǎn)M,連接EM,則DMMB=DCAB=2.在BPD中,PEEB=DMMB=2,PDEM,又PD平面EAC,EM平面EAC,PD平面EAC.(3)取DC中點(diǎn)H,連接AH,PH,由(2)可知DAC為等腰直角三角形,AHDC.PA底面ABCD,CD平面ABCD,PACD,又AHPA=A,CD平面PAH,CDPH,PHA即為二面角A-CD-P的平面角,tanPHA=PAAH=1.5.(2018天津部分區(qū)縣期末,17)如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為2的正方形,BCF為正三角形,G,H分別為BC,EF的中點(diǎn),EF=4且EFAB,EFFB.(1)求證:GH平面EAD;(2)求證:FG平面ABCD;(3)求GH與平面ABCD所成角的正弦值.解析(1)證明:如圖,取AD的中點(diǎn)M,連接EM,GM,因?yàn)樗倪呅蜛BCD是邊長為2的正方形,M、G分別為AD、BC的中點(diǎn),所以MGAB,又EFAB,所以MGEF,因?yàn)镠為EF的中點(diǎn),EF=4,AB=2,所以EH=AB=MG,所以四邊形EMGH為平行四邊形,所以GHEM,又因?yàn)镚H平面EAD,EM平面EAD,所以GH平面EAD.(2)證明:因?yàn)镋FFB,EFAB,所以ABFB,在正方形ABCD中,ABBC,BCFB=B,所以AB平面FBC,又FG平面FBC,所以ABFG,在正三角形FBC中,FGBC,又ABBC=B,所以FG平面ABCD.(3)如圖,連接HM,由(1)(2)可知HM平面ABCD,所以HGM為GH與平面ABCD所成的角,在RtHGM中,HM=3,MG=2,所以HG=HM2+MG2=7,所以sinHGM=HMHG=37=217.6.(2018天津部分區(qū)縣二模,17)在等腰梯形ABCD中,ABCD,FC平面ABCD,EDFC,點(diǎn)G為AB的中點(diǎn),且FC=AB=2ED=2CD=2,ABC=60.(1)求證:AE平面GCF;(2)求證:平面ACF平面BCF;(3)求直線FB與平面ADE所成角的正弦值.解析(1)證明:取FC的中點(diǎn)N,連接EN,因?yàn)镋DFC,FC=2ED,所以ED平行且等于NC,所以四邊形EDCN是平行四邊形,所以EN平行且等于DC,連接NG,因?yàn)镈C平行且等于AG,所以EN平行且等于AG,所以四邊形EAGN是平行四邊形,所以EANG,又EA平面GCF,NG平面GCF,所以AE平面GCF.(2)證明:因?yàn)镈C平行且等于AG,所以四邊形AGCD為平行四邊形,所以AD=CG,因?yàn)锳D=BC,所以BC=GC,因?yàn)锳BC=60,所以BCG為等邊三角形,因?yàn)锳B=2,所以BC=BG=12AB=1,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=3,所以AC2+BC2=AB2,即ACB=90,所以ACBC,又ACCF,BCFC=C,所以AC平面BCF,又AC平面ACF,所以平面ACF平面BCF.(3)因?yàn)镋DFC,ED平面GCF,FC平面GCF,所以ED平面GCF,由(1)知AE平面GCF,且AEED=E,所以平面ADE平面GCF,所以直線FB與平面ADE所成的角也為直線FB與平面GCF所成的角.由(2)知CG=BG=BC=1,設(shè)Q為CG中點(diǎn),連接BQ,FQ,所以BQGC.因?yàn)镕C平面ABCD,所以FCBQ,因?yàn)镕CGC=C,所以BQ平面GCF,所以BFQ為直線FB與平面ADE所成的角,因?yàn)锽Q=32CG=32,在直角BCF中,FB=FC2+BC2=5,又sinBFQ=BQFB=325=1510,所以直線FB與平面ADE所成角的正弦值為1510.7.(2017天津耀華中學(xué)第二次月考,17)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PD平面ABCD,ADCD,且DB平分ADC,AC與BD交于點(diǎn)O,E為PC的中點(diǎn),AD=CD=1,PD=2,DB=22.(1)證明:PA平面BDE;(2)證明:AC平面PBD;(3)求三棱錐B-AEC的體積.解析(1)證明:連接OE,在ADC中,因?yàn)锳D=CD,且DB平分ADC,所以O(shè)為AC的中點(diǎn),又由題設(shè)知E為PC的中點(diǎn),故EO是三角形PAC的中位線,故EOPA,又EO平面BDE,PA平面BDE,所以PA平面BDE.(2)證明:因?yàn)镻D平面ABCD,AC平面ABCD,所以PDAC.因?yàn)锳D=CD,DB平分ADC,所以BDAC,又PDBD=D,故AC平面PBD.(3)取線段CD的中點(diǎn)F,連接EF,則EFPD,因?yàn)镻D平面ABCD,所以EF平面ABCD,EF=1,因?yàn)锳DC為等腰直角三角形,AD=CD=1,所以AC=2,DO=22,OB=322,所以VB-AEC=VE-ABC=13SABCEF=12.解題分析本題考查證明線面平行、線面垂直的方法,求棱錐的體積,推出AC垂直于BD是解題的關(guān)鍵.