2019屆高考數(shù)學一輪復習 第十三篇 不等式選講 第2節(jié) 證明不等式的基本方法訓練 理 新人教版.doc

第2節(jié)證明不等式的基本方法【選題明細表】知識點、方法題號用比較法證明不等式1用綜合法、分析法證明不等式2用反證法、放縮法證明不等式3證明不等式方法的綜合應用41.(2017揭陽二模)已知函數(shù)f(x)=|2|x|-1|.(1)求不等式f(x)1的解集A;(2)當m,nA時,證明:|m+n|mn+1.(1)解:由|2|x|-1|1,得-12|x|-11,即|x|1,解得-1x1,所以A=-1,1.(2)證明:|m+n|2-(mn+1)2=m2+n2-m2n2-1=-(m2-1)(n2-1),因為m,nA,故-1m1,-1n1,m2-10,n2-10,故-(m2-1)(n2-1)0,|m+n|2(mn+1)2.又顯然mn+10,故|m+n|mn+1.2.(2017四川宜賓二診)已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|, mR,且f(x+2)0的解集為-3,3.(1)解不等式: f(x)+f(x+2)>0;(2)若a,b,c均為正實數(shù),且滿足a+b+c=m,求證: +3.(1)解:因為f(x+2)=m-|x|, f(x+2)0等價于|x|m,由|x|m有解,得m0,且其解集為x|-mxm.又f(x+2)0的解集為-3,3,故m=3.所以f(x)+f(x+2)>0可化為: 3-|x-2| +3-|x|>0, 所以|x|+|x+2|<6.當x-2時, -x-x-2<6,所以x>-4,所以-4<x-2;當-2<x0時, -x+x+2<6,所以2<6,所以xR,又-2<x0,所以-2<x0;當x>0時, x+x+2<6,所以x<2,又x>0,所以0<x<2.綜上得不等式f(x)+f(x+2)>0的解集為:x|-4<x<2.(2)證明: a,b,c均為正實數(shù),且滿足a+b+c=3,因為+(a+b+c)=(+a)+(+b)+(+c)2(+) =2(a+b+c)(當且僅當a=b=c=1時,取“=”),所以+a+b+c,即+3.3.導學號 38486241已知函數(shù)f(x)=|x+b2|-|-x+1|,g(x)=|x+a2+c2|+|x-2b2|,其中a,b,c均為正實數(shù),且ab+bc+ac=1.(1)當b=1時,求不等式f(x)1的解集;(2)當xR時,求證f(x)g(x).解:(1)由題意,當b=1時,f(x)=當x-1時,f(x)=-2<1,不等式f(x)1無解;當-1<x<1時,f(x)=2x1,解得x,所以x<1.當x1時,f(x)=21恒成立,所以f(x)1的解集為,+).(2)當xR時,f(x)=|x+b2|-|-x+1|x+b2+(-x+1)|=|b2+1|=b2+1;g(x)=|x+a2+c2|+|x-2b2|x+a2+c2-(x-2b2)|=a2+c2+2b2.而a2+c2+2b2-(b2+1)=a2+c2+b2-1= (a2+b2+b2+c2+c2+a2)-1 (2ab+2bc+2ac)-1=ab+bc+ac-1=0.當且僅當a=b=c=時,等號成立,即a2+c2+2b2b2+1,因此,當xR時,f(x)b2+1a2+c2+2b2g(x),所以,當xR時,f(x)g(x).4.導學號 38486242(2017陜西咸陽二模)已知函數(shù)f(x)=m-|x+4|(m>0),且f(x-2)0的解集為-3,-1.(1)求m的值;(2)若a,b,c都是正實數(shù),且+=m,求證: a+2b+3c9.(1)解:依題意f(x-2)=m-|x+2|0,即|x+2|m-m-2x-2+m,所以m=1.(2)證明:因為+=1(a,b,c>0)所以a+2b+3c=(a+2b+3c)( +)=3+(+)+(+)+(+)9,當且僅當a=2b=3c,即a=3,b=,c=1時取等號.