高等數學方法講解(中國礦業(yè)大學王升瑞).ppt

1 高等數學方法 主講教師 王升瑞 第一講 2 唯有奮斗 最風流 惜時如金 3 培根說 歷史使人聰明 詩歌使人機智 數學使人精細 馬克思 一門科學只有當它達到了能夠成功地運用 數學 才算真正發(fā)展了 伽利略認為 宇宙像一本用數學語言寫成的大書 如果不掌握數學的語言 就像在黑暗的迷宮里游蕩 華羅庚 數學是最寶貴的研究精神之一 科學家語錄 什么也看不清 勤能補拙是良訓 一分辛苦一分才 4 華羅庚 1910 1985 聰明在于勤奮 天才在于積累 學而優(yōu)則用 學而優(yōu)則創(chuàng) 由薄到厚 由厚到薄 注意問題 認真聽課 扼要記錄 多做題目 總結規(guī)律 5 此刻打盹 你將做夢 學習時的痛苦是暫時的 未學到的痛苦是終身的 學習這件事 不是缺乏時間 學習不是人生的全部 請享受無法回避的痛苦 哈佛圖書館的訓誡 但是人生的一部分 只有比別人更早 更勤奮的努力 此刻學習 你將圓夢 而是缺乏努力 學習也無法征服 還能做什么呢 才能嘗到成功的滋味 6 誰也不能隨隨便便成功 狗一樣地學習 紳士一樣地玩 今天不走 明天要跑 教育程度代表收入 哈佛圖書館的訓誡 沒有艱辛 便無所獲 它來自徹底的自我管理和毅力 即使現(xiàn)在 對手也不停地翻動書頁 7 科學方法是打開科學殿堂大門的鑰匙 是由必然王國通向自由王國的橋梁 數學方法是數學的靈魂 高等數學方法 上 8 參考書 張曉寧 李安昌 高等數學方法中國礦業(yè)大學出版社 2002 9 目錄 第一講高等數學中的分析問題和解決問題方法第二講研究函數與極限的基本方法第三講導數的計算方法及微分中值定理應用第四講導數應用的方法第五講積分學的概念 性質和不定積分的計算法第六講定積分的計算 證明和解應用問題的方法第七講試題類型及解題方法分析 10 前言 一 為什么要學 高等數學方法 參考前言第一段 1 科學方法的重要性 科學 是什么 為什么 技術 做什么 怎么做 科學方法 橋梁與鑰匙 反映自然 社會 思維的客觀規(guī)律的分科的 知識體系 進行物資資料生產所憑借的方法和能力 11 數學 思維的體操 科學的語言 生活的需要 思路 表達 應用 數學方法 對數學規(guī)律的認識 思維方法 解題方法 是數學的靈魂 2 數學方法的含義 12 二 高等數學方法 的結構與學習方法 參考前言第二 三段 第一部分 第一至第七章 每節(jié)包含 方法指導 實例分析 相關問題 第二部分 第八至第十一章 包括綜述和提高 從古典數學向近代數學靠攏 學習方法 1 掌握數學內容和數學方法相結合 2 重視分析問題和解決問題的方法 3 學習要縱橫結合 著眼于提高數學素養(yǎng) 13 第一講 高等數學中的分析問題和解決問題方法 14 一 數學模型及數學建模方法 P511 第一節(jié) 數學模型 客觀實際問題內在規(guī)律性的數學 具有形式化 符號化 簡潔化的特點 是一種高度抽象的模型 有狹義和廣義兩種解釋 數學建模方法 實驗歸納法 理論分析法 P514 物理模型 數學模型 求解和分析 結構 許多物理中的概念都要借助于高等數學中的 數學結構才能說的清楚 15 可無限逼近 例如 為什么用 及 語言定義極限 用圓內接正多邊形面積逼近圓面積A 圓內接正n邊形的面積為 正整數 當 時 有 記作 精度要求 邊數足夠多 找出 利用極限知識可求出 16 測量圓面積 直接觀測量為r 間接觀測量為A 半徑真值為 面積真值為 測量圓半徑得 計算圓面積為 任給精度 要使 尋找精度 讓 記作 17 又如 為什么用增量比的極限定義導數 運動規(guī)律 平均速度 速度函數 平均加速度 轉動規(guī)律 平均角速度 電量函數 平均電流強度 質量分布 平均線密度 光滑曲線 割線斜率 描述變化率問題 18 再如 椅子穩(wěn)定問題 P515 P516 假設 四條腿一樣長 地面為連續(xù)曲面 建模 設A C兩腳與地面的距離之和為 B D兩腳與地面的距離之和為 不妨設 且對任意 有 證明存在 使 19 證明 設 又 由連續(xù)函數零點定理可知 存在 使 即 又知 所以 思考 對長方形板凳的穩(wěn)定問題如何考慮 提示 相鄰兩腳之和 并旋轉1800 20 二 幾種常用的分析問題的方法 P444 455 1 簡化方法2 直觀分析法3 逆向分析法4 類比法 1 簡化方法 復雜問題 簡單問題 分解法變換法換元法遞推法轉化法 21 單調遞減 提示 令 則轉化為討論下述函數 在t 0時單調遞減 注意 說明1 與 具有相同的極值點 故可用后者代替前者討論極值 2 有些復合函數的單調性問題 可利用組成它的簡單 例1 證明 問題與單調性問題 函數鏈的單調性傳遞得出 如P445例1 22 設 求 提示 將函數化為 則 例2 23 2 直觀分析法 通過特例或圖形 尋找規(guī)律 方法和結論 與幾何形體有關的問題應盡量畫圖尋求啟示 有關幾何應用畫出圖形找?guī)缀侮P系 填空題和選擇題可用增強條件的方法找結論 24 的圖形關于 例1 設定義在實數域上的函數 直線 及 對稱 試證 為周期 函數 P 447例4 直觀分析 任取一個實數 因此有 是周期為 的函數 它關于直線 的對稱點為 而 關于直線 的對稱點為 顯然可猜想 25 的圖形關于 例1 設定義在實數域上的函數 直線 及 對稱 試證 為周期 函數 P 447例4 證 有 26 拉格朗日中值定理 1 在區(qū)間 a b 上連續(xù) 滿足 2 在區(qū)間 a b 內可導 至少存在一點 使 思路 利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數 作輔助函數 顯然 在 a b 上連續(xù) 在 a b 內可導 且 證 問題轉化為證 由羅爾定理知至少存在一點 即定理結論成立 證畢 27 例2證明拉格朗日中值定理時如何設輔助函數 分析 由圖可知 設輔助函數 C為任意常數 都可使F x 在 a b 上 因此所設輔助函數不唯一 滿足羅爾定理條件 28 例3 如何求函數 的斜漸近線 分析 由圖可知 若曲線 有斜漸近線 則必有 從而 29 例如 求曲線 的斜漸近線 解 所以曲線有斜漸近線 30 的斜漸近線方程 解 所求斜漸近線方程為 2 求曲線 2005考研 31 在 上連續(xù) 在 內 存在 連接兩點 的直線交曲線 于 且 試證至少存在一點 使 提示 如圖所示 有 在 上應用Rolle定理 對 P118題7 例4 已知 32 逆向思維 反推 執(zhí)果溯因 反證 利用正命題與逆否命題等價 反例 找反例說明原命題不正確 3 逆向分析法 多用于否命題 33 設函數在 0 1 上二階可導 且 證明至少存在一點 使 提示 設輔助函數 在 0 1 上滿足Rolle定理 可知有 再對F x 在 從結論入手 注意到 利用 上用Rolle定理 例1 34 在上連續(xù) 在內可導 且 試證存在使得 提示 轉化為證 上滿足Lagrange定理條件 使 則只需證明 可見只要對 上用Cauchy中值定理 P450 考研98 由于 在 則有 及 在 例2 設函數 35 無實根 P451例7 提示 用反證法 假設有實根 代入 上式兩邊異號 矛盾 假設不真 利用 顯然 則有 例3 證明方程 36 高等數學方法 主講教師 王升瑞 第二講 37 類比是找相似性 是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的重要方法 4 類比方法 38 計算極限 提示 類比下列極限 例1 P453例9 39 計算極限 提示 類比下列極限 例1 P453例9 40 練習 1 2 求下列極限 提示 如例1類推 41 練習 3 求下列極限 提示 42 利用Lagrange微分中值定理易推出 例2 證明下列不等式 43 提示 將不等式改寫為 設 易證 44 提示 設 易證 45 說明 類似應用Cauchy中值定理易推出 若 則 利用此不等式可證明很多有用的不等式 例如 提示 原式可為 令 易證 在嚴格單調增加 只需證 46 在嚴格單調增加 易證 令 即 則 47 三 幾種常用的證題方法 1 分析綜合法 2 設輔助函數法 3 反證法 證明題是考核基本理論 基本運算掌握情況和邏輯推理能力的重要題型 通過 執(zhí)果溯因 尋找證明的途徑 利用 由因導果 寫出證明過程 1 分析綜合法 48 設為正實數 試證 提示 為 上的上凹函數 在上 P473例12 例1 滿足 49 在上可導 且 證明至少存在 一點使 提示 方法1 因為 可考慮對函數 在區(qū)間 a b 上用Cauchy中值定理 P81例10 例2設 50 例2設 一點使 提示 令 方法2 故可考慮對 問題等價于證明 Rolle中值定理 在 a b 區(qū)間上用 在上可導 且 證明至少存在 即 51 利用輔助函數證明等式或不等式是一種重要的證明方法 如 尋找輔助函數一般用逆向分析法 通過設輔助函數 利用微分或積分中值定理證明等式或方程零點的存在 通過討論輔助函數的單調性或最值 證明相關不等式 2 設輔助函數方法 52 例1 設 在上連續(xù)且可導 并有n個不同的 零點 證明 對任意常數a 在上至少有 提示 設輔助函數 n 1個不同的零點 53 設函數和在上二階可導 且 提示 只要證 且 依據乘積導數法則想到設輔助函數 用反證法 再證明 上滿足Rolle定理條件 試證至少存在一點 使 P475例15 考研95 例2 即 54 例3 設 在上二階可導 且 證明 存在使 提示 只需證 即證 設輔助函數 證明 在 a b 上滿足Rolle定理 55 設 求證 提示 方法1 設 證明它在 單調增 方法2 設 證明它在 單調減 例4 56 3 反證法 反證法是一種逆向分析方法 是通過否定命題的 結論 引導出與題設條件或已知結論矛盾的結果來證明 明原命題的正確性 反證法多適用于直接推證時已有知識點較少或比較 困難的命題 如果所證結論中含有 不可能 不存在 至多 至少 唯一 大于 或 小于 等字眼時 一般多考慮用反證法 57 常用幾個的初等函數公式 58 59 例1 證明不存在 為自然數 提示 假設 則 矛盾 P474例13 60 設在上存在二階導數 且 又 試證在內 提示 假設存在 使 則由R0lle定理 有 使 再對 在 上用Rolle定理 就有 使 矛盾 P474例14 例2 61 例3 設函數 在內連續(xù) 且 證明在內至少有一點 滿足 提示 用反證法 假設對于所有 都有 令 則F x 在內連續(xù)且 不變號 若 則 即 于是 與題設矛盾 幾何上與x軸無交點