2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 2.3 反證法與放縮法教案 新人教A版選修4-5.docx

2.3反證法與放縮法一、教學(xué)目標(biāo)1掌握用反證法證明不等式的方法2了解放縮法證明不等式的原理，并會用其證明不等式二、課時安排1課時三、教學(xué)重點(diǎn)掌握用反證法證明不等式的方法四、教學(xué)難點(diǎn)了解放縮法證明不等式的原理，并會用其證明不等式五、教學(xué)過程（一）導(dǎo)入新課若x，y都是正實(shí)數(shù)，且xy>2.求證：<2和<2中至少有一個成立【證明】假設(shè)<2和<2都不成立，則有2和2同時成立，因?yàn)閤>0且y>0，所以1x2y，且1y2x，兩式相加，得2xy2x2y，所以xy2，這與已知條件xy>2矛盾，因此<2和<2中至少有一個成立（二）講授新課教材整理1反證法先假設(shè) ，以此為出發(fā)點(diǎn)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行正確的推理，得到和 (或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等) 的結(jié)論，以說明 不正確，從而證明原命題成立，我們把這種證明問題的方法稱為反證法教材整理2放縮法證明不等式時，通過把不等式中的某些部分的值 或 ，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的，我們把這種方法稱為放縮法（三）重難點(diǎn)精講題型一、利用反證法證“至多”“至少”型命題例1已知f(x)x2pxq，求證：(1)f(1)f(3)2f(2)2；(2)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于.【精彩點(diǎn)撥】(1)把f(1)，f(2)，f(3)代入函數(shù)f(x)求值推算可得結(jié)論(2)假設(shè)結(jié)論不成立，推出矛盾，得結(jié)論【自主解答】(1)由于f(x)x2pxq，f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)2(42pq)2.(2)假設(shè)|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于，則有|f(1)|2|f(2)|f(3)|2.(*)又|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)(1pq)(93pq)(84p2q)2，|f(1)|2|f(2)|f(3)|2與(*)矛盾，假設(shè)不成立故|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一個不小于.規(guī)律總結(jié)：1在證明中含有“至多”“至少”等字眼時，常使用反證法證明在證明中出現(xiàn)自相矛盾，說明假設(shè)不成立2在用反證法證明的過程中，由于作出了與結(jié)論相反的假設(shè)，相當(dāng)于增加了題設(shè)條件，因此在證明過程中必須使用這個增加的條件，否則將無法推出矛盾再練一題1已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足abcd1，acbd1.求證：a，b，c，d中至多有三個是非負(fù)數(shù)【證明】a，b，c，d中至多有三個是非負(fù)數(shù)，即至少有一個是負(fù)數(shù)，故有假設(shè)a，b，c，d都是非負(fù)數(shù)即a0，b0，c0，d0，則1(ab)(cd)(acbd)(adbc)acbd.這與已知中acbd1矛盾，原假設(shè)錯誤，故a，b，c，d中至少有一個是負(fù)數(shù)即a，b，c，d中至多有三個是非負(fù)數(shù).題型二、利用放縮法證明不等式例2已知an2n2，nN*，求證：對一切正整數(shù)n，有.【精彩點(diǎn)撥】針對不等式的特點(diǎn)，對其通項(xiàng)進(jìn)行放縮、列項(xiàng)【自主解答】當(dāng)n2時，an2n22n(n1)，111，即.規(guī)律總結(jié)：1放縮法在不等式的證明中無處不在，主要是根據(jù)不等式的傳遞性進(jìn)行變換2放縮法技巧性較強(qiáng)，放大或縮小時注意要適當(dāng)，必須目標(biāo)明確，合情合理，恰到好處，且不可放縮過大或過小，否則，會出現(xiàn)錯誤結(jié)論，達(dá)不到預(yù)期目的，謹(jǐn)慎地添或減是放縮法的基本策略再練一題2求證：12(n2，nN)【證明】k2k(k1)，(kN，且k2)分別令k2,3，n得1，.因此11112.故不等式12(n2，nN)題型三、利用反證法證明不等式例3已知ABC的三邊長a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：B90.【精彩點(diǎn)撥】本題中的條件是三邊間的關(guān)系，而要證明的是B與90的大小關(guān)系結(jié)論與條件之間的關(guān)系不明顯，考慮用反證法證明【自主解答】a，b，c的倒數(shù)成等差數(shù)列，.假設(shè)B90不成立，即B90，則B是三角形的最大內(nèi)角，在三角形中，有大角對大邊，ba0，bc0，這與相矛盾假設(shè)不成立，故B90成立規(guī)律總結(jié)：1本題中從否定結(jié)論進(jìn)行推理，即把結(jié)論的反面“B90”作為條件進(jìn)行推證是關(guān)鍵要注意否定方法，“”否定為“”，“”否定為“”等2利用反證法證題的關(guān)鍵是利用假設(shè)和條件通過正確推理，推出和已知條件或定理事實(shí)或假設(shè)相矛盾的結(jié)論再練一題3若a3b32，求證：ab2.【證明】法一假設(shè)ab>2，a2abb2b20，故取等號的條件為ab0，顯然不成立，a2abb2>0.則a3b3(ab)(a2abb2)>2(a2abb2)，而a3b32，故a2abb2<1，1ab>a2b22ab，從而ab<1，a2b2<1ab<2，(ab)2a2b22ab<22ab<4，ab<2.這與假設(shè)矛盾，故ab2.法二假設(shè)ab>2，則a>2b，故2a3b3>(2b)3b3，即2>812b6b2，即(b1)2<0，這顯然不成立，從而ab2.法三假設(shè)ab>2，則(ab)3a3b33ab(ab)>8.由a3b32，得3ab(ab)>6，故ab(ab)>2.又a3b3(ab)(a2abb2)2，ab(ab)>(ab)(a2abb2)，a2abb2<ab，即(ab)2<0.這顯然不成立，故ab2.（四）歸納小結(jié)反證法與放縮法（五）隨堂檢測1實(shí)數(shù)a，b，c不全為0的等價條件為()Aa，b，c均不為0Ba，b，c中至多有一個為0Ca，b，c中至少有一個為0Da，b，c中至少有一個不為0【解析】實(shí)數(shù)a，b，c不全為0的含義即a，b，c中至少有一個不為0，其否定則是a，b，c全為0，故選D.【答案】D2已知abc0，abbcac0，abc0，用反證法求證a0，b0，c0時的假設(shè)為()Aa0，b0，c0 Ba0，b0，c0Ca，b，c不全是正數(shù) D.abc0【解析】a0，b0，c0的反面是a，b，c不全是正數(shù)，故選C.【答案】C3要證明2，下列證明方法中，最為合理的是()A綜合法 B放縮法 C分析法 D.反證法【解析】由分析法的證明過程可知選C.【答案】C六、板書設(shè)計(jì)2.3反證法與放縮法教材整理1反證法教材整理2放縮法例1：例2：例3：學(xué)生板演練習(xí)七、作業(yè)布置同步練習(xí)：2.3反證法與放縮法八、教學(xué)反思