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2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式教案 新人教A版選修4-5.docx

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2018-2019高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.2 一般形式的柯西不等式教案 新人教A版選修4-5.docx

3.2 一般形式的柯西不等式一、教學(xué)目標(biāo)1掌握三維形式和多維形式的柯西不等式2會(huì)利用一般形式的柯西不等式解決簡(jiǎn)單問(wèn)題二、課時(shí)安排1課時(shí)三、教學(xué)重點(diǎn)1掌握三維形式和多維形式的柯西不等式2會(huì)利用一般形式的柯西不等式解決簡(jiǎn)單問(wèn)題四、教學(xué)難點(diǎn)1掌握三維形式和多維形式的柯西不等式2會(huì)利用一般形式的柯西不等式解決簡(jiǎn)單問(wèn)題五、教學(xué)過(guò)程(一)導(dǎo)入新課已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2yz1,求tx24y2z2的最小值【解】由柯西不等式得(x24y2z2)(111)(x2yz)2.x2yz1,3(x24y2z2)1,即x24y2z2.當(dāng)且僅當(dāng)x2yz,即x,y,z時(shí)等號(hào)成立故x24y2z2的最小值為.(二)講授新課教材整理1三維形式的柯西不等式設(shè)a1,a2,a3,b1,b2,b3R,則(aaa)(bbb).當(dāng)且僅當(dāng) 或存在一個(gè)數(shù)k,使得aikbi(i1,2,3)時(shí),等號(hào)成立我們把該不等式稱為三維形式的柯西不等式教材整理2一般形式的柯西不等式設(shè)a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是實(shí)數(shù),則(aaa)(bbb) .當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2,n)或存在一個(gè)數(shù)k,使得ai (i1,2,n)時(shí),等號(hào)成立(三)重難點(diǎn)精講題型一、利用柯西不等式求最值例1已知a,b,c(0,),2,求a2b3c的最小值及取得最小值時(shí)a,b,c的值【精彩點(diǎn)撥】由于2,可考慮把已知條件與待求式子結(jié)合起來(lái),利用柯西不等式求解【自主解答】a,b,c(0,),(a2b3c)()2()2()2(123)236.又2,a2b3c18,當(dāng)且僅當(dāng)abc3時(shí)等號(hào)成立,綜上,當(dāng)abc3時(shí),a2b3c取得最小值18.規(guī)律總結(jié):利用柯西不等式求最值時(shí),關(guān)鍵是對(duì)原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊,以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果同時(shí),要注意等號(hào)成立的條件再練一題1已知x4y9z1,求x2y2z2的最小值【解】由柯西不等式,知(x4y9z)2(124292)(x2y2z2)98(x2y2z2)又x4y9z1,x2y2z2,(*)當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí),等號(hào)成立,x,y,z時(shí),(*)取等號(hào)因此,x2y2z2的最小值為.題型二、運(yùn)用柯西不等式求參數(shù)的取值范圍例2已知正數(shù)x,y,z滿足xyzxyz,且不等式恒成立,求的取值范圍【精彩點(diǎn)撥】“恒成立”問(wèn)題需求的最大值,設(shè)法應(yīng)用柯西不等式求最值【自主解答】x>0,y>0,z>0.且xyzxyz.1.又當(dāng)且僅當(dāng)xyz,即xyz時(shí)等號(hào)成立的最大值為.故恒成立時(shí),應(yīng)有.因此的取值范圍是.規(guī)律總結(jié):應(yīng)用柯西不等式,首先要對(duì)不等式形式、條件熟練掌握,然后根據(jù)題目的特點(diǎn)“創(chuàng)造性”應(yīng)用定理再練一題2已知實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足abcd3,a22b23c26d25,試求a的取值范圍.【解】由abcd3,得bcd3a,由a22b23c26d25,得2b23c26d25a2,(2b23c26d2)(bcd)2,即2b23c26d2(bcd)2.由條件可得,5a2(3a)2,解得1a2,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是1,2題型三、利用柯西不等式證明不等式例3已知a,b,cR,求證:9.【精彩點(diǎn)撥】對(duì)應(yīng)三維形式的柯西不等式,a1,a2,a3,b1,b2,b3,而a1b1a2b2a3b31,因而得證【自主解答】a,b,cR,由柯西不等式,知(111)29,9.規(guī)律總結(jié):1當(dāng)ai,bi是正數(shù)時(shí),柯西不等式變形為(a1a2an)(b1b2bn)()2.2本題證明的關(guān)鍵在于構(gòu)造兩組數(shù),創(chuàng)造使用柯西不等式的條件在運(yùn)用柯西不等式時(shí),要善于從整體上把握柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征,正確配湊出公式兩側(cè)的數(shù)組再練一題3已知函數(shù)f(x)m|x2|,mR,且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值;(2)若a,b,cR,且m,求證:a2b3c9.【解】(1)因?yàn)閒(x2)m|x|,f(x2)0等價(jià)于|x|m.由|x|m有解,得m0,且其解集為x|mxm又f(x2)0的解集為1,1,故m1.(2)證明:由(1)知1.又a,b,cR,由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)9.(四)歸納小結(jié)一般形式的柯西不等式(五)隨堂檢測(cè)1設(shè)a(2,1,2),|b|6,則ab的最小值為()A18 B6 C18 D.12【解析】|ab|a|b|,|ab|18.18ab18,當(dāng)a,b反向時(shí),ab最小,最小值為18.【答案】C2若aaa1,bbb4,則a1b1a2b2anbn的取值范圍是()A(,2) B2,2 C(,2 D.1,1【解析】(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2,(a1b1a2b2anbn)24,|a1b1a2b2anbn|2,即2a1b1a2b2anbn2,當(dāng)且僅當(dāng)aibi(i1,2,n)時(shí),右邊等號(hào)成立;當(dāng)且僅當(dāng)aibi(i1,2,n)時(shí),左邊等號(hào)成立,故選B.【答案】B3設(shè)a,b,m,nR,且a2b25,manb5,則 的最小值為_(kāi)【解析】根據(jù)柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2),得255(m2n2),m2n25,的最小值為.【答案】六、板書(shū)設(shè)計(jì)3.2 一般形式的柯西不等式教材整理1三維形式的柯西不等式教材整理2一般形式的柯西不等式例1:例2:例3:學(xué)生板演練習(xí)七、作業(yè)布置同步練習(xí):3.2 一般形式的柯西不等式八、教學(xué)反思

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