新編金版教程高考數(shù)學(xué)文二輪復(fù)習(xí)講義：第二編 專題整合突破 專題三 三角函數(shù)與解三角形 第二講 三角恒等變換與解三角形 Word版含解析

第二講三角恒等變換與解三角形 必記公式1同角三角函數(shù)之間的關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2cos21；(2)商數(shù)關(guān)系：tan.2誘導(dǎo)公式(1)公式：S2k；S±；S；S±；(2)巧記口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限，當(dāng)銳角看3兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(±)sincos±cossin；(2)cos(±)coscossinsin；(3)tan(±)；(4)輔助角公式：asinbcossin()cos()4二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin22sincos；(2)cos2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan2.5降冪公式(1)sin2；(2)cos2.6正弦定理2R(2R為ABC外接圓的直徑)變形：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.sinA，sinB，sinC.abcsinAsinBsinC.7余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.推論：cosA，cosB，cosC.變形：b2c2a22bccosA，a2c2b22accosB，a2b2c22abcosC.8面積公式SABCbcsinAacsinBabsinC.重要結(jié)論1判斷三角形形狀的常用結(jié)論(1)sinAsinB且AB等腰三角形；(2)sin2Asin2BAB或AB等腰或直角三角形；(3)cosAcosBAB等腰三角形；(4)cos2Acos2BAB等腰三角形；(5)sin(AB)0AB等腰三角形；(6)A60°且bc等邊三角形；(7)A，B，C成等差數(shù)列B60°；(8)a2b2c2(A為三角形中的最大角)三角形為銳角三角形(A為銳角)；(9)a2b2c2三角形為直角三角形(A為直角)；(10)a2b2c2三角形為鈍角三角形(A為鈍角)2射影定理abcosCccosB.bacosCccosA.cacosBbcosA.失分警示1同角關(guān)系應(yīng)用錯(cuò)誤：利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系開方時(shí)，忽略判斷角所在的象限或判斷出錯(cuò)，導(dǎo)致三角函數(shù)符號(hào)錯(cuò)誤2誘導(dǎo)公式的應(yīng)用錯(cuò)誤：利用誘導(dǎo)公式時(shí)，三角函數(shù)名變換出錯(cuò)或三角函數(shù)值的符號(hào)出錯(cuò)3忽視解的多種情況如已知a，b和A，應(yīng)先用正弦定理求B，由ABC，求C，再由正弦定理或余弦定理求邊c，但解可能有多種情況4忽略角的范圍應(yīng)用正、余弦定理求解邊、角等量的最值(范圍)時(shí)，要注意角的范圍5忽視解的實(shí)際意義求解實(shí)際問題，要注意解得的結(jié)果要與實(shí)際相吻合 考點(diǎn)三角恒等變換典例示法題型1求角典例120xx·中山模擬已知cos(2)，sin(2)，0，則_.解析由0<<<<易得<2<，<2<，<<，故sin(2)，cos(2)，cos()cos(2)(2)cos(2)·cos(2)sin(2)sin(2)，故.答案解答此類問題的關(guān)鍵是結(jié)合已知條件，求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍確定角的具體取值.題型2求值典例220xx·安徽合肥質(zhì)檢已知cos·cos，.(1)求sin2的值；(2)求tan的值解(1)cos·coscos·sinsin，即sin.，2，cos，sin2sinsincoscossin.(2)，2，又由(1)知sin2，cos2tan2×2.化簡常用的方法技巧(1)化簡常用方法：直接應(yīng)用公式，包括公式的正用、逆用和變形用；切化弦、異名化同名、異角化同角等(2)化簡常用技巧：注意特殊角的三角函數(shù)與特殊值的互化；注意利用角與角之間的隱含關(guān)系，如2()()，()等；注意利用“1”的恒等變形，如tan45°1，sin2cos21等考點(diǎn)正、余弦定理典例示法題型1應(yīng)用正、余弦定理求邊、角典例320xx·淄博模擬已知a，b，c分別為ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且acosCasinCbc0.(1)求A；(2)若a2，求ABC面積的最大值解(1)由acosCasinCbc0及正弦定理得sinAcosCsinAsinCsinBsinC0.因?yàn)锽AC，所以sinAsinCcosAsinCsinC0.易知sinC0，所以sinAcosA1，所以sin.又0A，所以A.(2)解法一：由(1)得BCCB0B，由正弦定理得，所以bsinB，csinC.所以SABCbcsinA×sinB×sinCsinsinBsinCsinBsinsin2Bcos2Bsin.易知2B，故當(dāng)2B，即B時(shí)，SABC取得最大值，最大值為.解法二：由(1)知A，又a2，由余弦定理得22b2c22bccos，即b2c2bc4bc4b2c22bcbc4，當(dāng)且僅當(dāng)bc2時(shí)，等號(hào)成立所以SABCbcsinA×bc×4，即當(dāng)bc2時(shí)，SABC取得最大值，最大值為.解三角形問題，多為邊和角的求值問題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問題的目的其基本步驟是：第一步：定條件即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來，然后確定轉(zhuǎn)化的方向第二步：定工具即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化第三步：求結(jié)果題型2判斷三角形的形狀典例4設(shè)ABC的內(nèi)角，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若bcosCccosBasinA，則ABC的形狀為()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D不確定解析由正弦定理得sinBcosCsinCcosBsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sinAsin2A.A(0，)，sinA0，sinA1，即A，故選B.答案B利用正、余弦定理判定三角形形狀的兩種思路(1)“角化邊”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀(2)“邊化角”：利用正弦、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為只含內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用ABC這個(gè)結(jié)論題型3求有關(guān)三角形的面積典例520xx·浙江高考在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.已知ab，c，cos2Acos2BsinAcosAsinBcosB.(1)求角C的大小；(2)若sinA，求ABC的面積解(1)由題意得sin2Asin2B，即sin2Acos2Asin2Bcos2B，sinsin.由ab，得AB，又AB(0，)，得2A2B，即AB，所以C.(2)由c，sinA，得a.由ac，得AC，從而cosA，故sinBsin(AC)sinAcosCcosAsinC，所以ABC的面積為SacsinB.與三角形面積有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求三角形的面積對(duì)于面積公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一個(gè)角就使用含哪個(gè)角的公式(2)已知三角形的面積解三角形與面積有關(guān)的問題，一般要利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊和角的互化考點(diǎn)正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用典例示法典例6如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130 m/min，山路AC長為1260 m，經(jīng)測(cè)量，cosA，cosC.(1)求索道AB的長；(2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？解(1)在ABC中，因?yàn)閏osA，cosC，所以sinA，sinC.從而sinBsin(AC)sin(AC)sinAcosCcosAsinC××.由正弦定理，得AB×sinC×1040(m)所以索道AB的長為1040 m.(2)假設(shè)乙出發(fā)t min后，甲、乙兩游客距離為d m，此時(shí)，甲行走了(10050t) m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得d2(10050t)2(130t)22×130t×(10050t)×200(37t270t50)，因0t，即0t8，故當(dāng)t時(shí)，d最小，所以乙出發(fā)分鐘后，甲、乙兩游客距離最短(3)由正弦定理，得BC×sinA×500(m)乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了50×(281)550(m)，還需走710 m才能到達(dá)C.設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得33，解得v，所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3 min，乙步行的速度應(yīng)控制在(單位：m/min)范圍內(nèi)1解三角形應(yīng)用題的常見情況及方法(1)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量全部集中在一個(gè)三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解(2)實(shí)際問題經(jīng)抽象概括后，已知量與未知量涉及兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形，這時(shí)需作出這些三角形，先解夠條件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有時(shí)需設(shè)出未知量，從幾個(gè)三角形中列出方程(組)，解方程(組)得出所要求的解2解三角形應(yīng)用題的一般步驟針對(duì)訓(xùn)練20xx·湖北高考如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600 m后到達(dá)B處，測(cè)得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD_ _m.答案100解析在ABC中，BAC30°，BCA75°30°45°，所以由正弦定理得，BC·AB×600×600300.在BCD中，CDBCtan30°300×100，故此山的高度為100 m. 全國卷高考真題調(diào)研120xx·全國卷若cos，則sin2()A. B.C D答案D解析因?yàn)閏oscoscossinsin(sincos)，所以sincos，所以1sin2，所以sin2，故選D.220xx·全國卷sin20°cos10°cos160°sin10°()A B.C D.答案D解析原式sin20°cos10°cos20°sin10°sin(20°10°).320xx·全國卷在平面四邊形ABCD中，ABC75°，BC2，則AB的取值范圍是_答案(，)解析如圖，作PBC，使BC75°，BC2，作直線AD分別交線段PB、PC于A、D兩點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合)，且使BAD75°，則四邊形ABCD就是符合題意的四邊形過C作AD的平行線交PB于點(diǎn)Q，在PBC中，過P作BC的垂線交BC于點(diǎn)E，則PB；在QBC中，由余弦定理QB2BC2QC22QC·BC·cos30°84()2，故QB，所以AB的取值范圍是(，)其它省市高考題借鑒420xx·浙江高考已知2cos2xsin2xAsin(x)b(A>0)，則A_，b_.答案1解析由于2cos2xsin2x1cos2xsin2xsin1，所以A，b1.520xx·廣東高考設(shè)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若a，sinB，C，則b_.答案1解析由sinB得B或，因?yàn)镃，所以B，所以B，于是A.由正弦定理，得，所以b1.620xx·山東高考設(shè)f(x)sinxcosxcos2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)在銳角ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若f0，a1，求ABC面積的最大值解(1)由題意知f(x)sin2x.由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ；由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(kZ)；單調(diào)遞減區(qū)間是(kZ)(2)由fsinA0，得sinA，由題意知A為銳角，所以cosA.由余弦定理a2b2c22bccosA，可得1bcb2c22bc，即bc2，且當(dāng)bc時(shí)等號(hào)成立因此bcsinA.所以ABC面積的最大值為. 一、選擇題120xx·合肥質(zhì)檢sin18°sin78°cos162°cos78°()A BC. D.答案D解析sin18°sin78°cos162°cos78°sin18°sin78°cos18°·cos78°cos(78°18°)cos60°，故選D.220xx·廣西質(zhì)檢已知<<，3sin22cos，則cos()等于()A. B.C. D.答案C解析由3sin22cos得sin.因?yàn)?lt;<，所以cos()cos .320xx·鄭州質(zhì)檢在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則cosB()A B.C D.答案B解析由正弦定理知1，即tanB，所以B，所以cosBcos，故選B.420xx·武漢調(diào)研據(jù)氣象部門預(yù)報(bào)，在距離某碼頭正西方向400 km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20 km/h的速度向東北方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心300 km以內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)，則該碼頭處于危險(xiǎn)區(qū)內(nèi)的時(shí)間為()A9 h B10 hC11 h D12 h答案B解析記碼頭為點(diǎn)O，熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A，t小時(shí)后熱帶風(fēng)暴到達(dá)B點(diǎn)位置，在OAB中，OA400，AB20t，OAB45°，根據(jù)余弦定理得4002400t22×20t×400×3002，即t220t1750，解得105t105，所以所求時(shí)間為10510510(h)，故選B.520xx·云南統(tǒng)測(cè)已知ABC的內(nèi)角A、B、C對(duì)的邊分別為a、b、c，sinAsinB2sinC，b3，當(dāng)內(nèi)角C最大時(shí)，ABC的面積等于()A. B.C. D.答案A解析根據(jù)正弦定理及sinAsinB2sinC得ab2c，c，cosC2，當(dāng)且僅當(dāng)，即a時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)sinC，SABCabsinC××3×.620xx·鄭州質(zhì)量預(yù)測(cè)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知sin(BA)sin(BA)3sin2A，且c，C，則ABC的面積是()A. B.C. D.或答案D解析sin(BA)sinBcosAcosBsinA，sin(BA)sinBcosAcosBsinA，sin2A2sinAcosA，sin(BA)sin(BA)3sin2A，即2sinBcosA6sinAcosA.當(dāng)cosA0時(shí)，A，B，又c，得b.由三角形面積公式知Sbc；當(dāng)cosA0時(shí)，由2sinBcosA6sinAcosA可得sinB3sinA，根據(jù)正弦定理可知b3a，再由余弦定理可知cosCcos，可得a1，b3，所以此時(shí)三角形的面積為SabsinC.綜上可得三角形的面積為或，所以選D.二、填空題7已知tan，tan是lg (6x25x2)0的兩個(gè)實(shí)根，則tan()_.答案1解析lg (6x25x2)06x25x10，tantan，tan·tan，tan()1.820xx·貴陽監(jiān)測(cè)在ABC中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)邊分別是a、b、c，若sin2，則ABC的形狀一定是_答案直角三角形解析由題意，得，即cosB，又由余弦定理，得，整理，得a2b2c2，所以ABC為直角三角形920xx·西安質(zhì)檢已知ABC的三邊a，b，c所對(duì)的角分別為A，B，C，且abc753，若ABC的面積為45，則ABC外接圓的半徑為_答案14解析因?yàn)閍bc753，所以可設(shè)a7k，b5k，c3k(k>0)，由余弦定理得，cosA.因?yàn)锳是ABC的內(nèi)角，所以sinA，因?yàn)锳BC的面積為45，所以bcsinA45，即×5k×3k×45，解得k2.由正弦定理2R(R為ABC外接圓的半徑)，即2R，解得R14，所以ABC外接圓半徑為14.三、解答題1020xx·重慶測(cè)試在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且2cos2sin2A1.(1)求A；(2)設(shè)a22，ABC的面積為2，求bc的值解(1)由2cos2sin2A1可得，22sinAcosA1，所以1cos(A)2sinAcosA1，故2sinAcosAcosA0.因?yàn)锳BC為銳角三角形，所以cosA0，故sinA，從而A.(2)因?yàn)锳BC的面積為bcsinAbc2，所以bc8.因?yàn)锳，故cosA，由余弦定理可知，b2c2a22bccosAbc.又a22，所以(bc)2b2c22bc(2)bca28×(2)(22)232.故bc4.1120xx·武漢調(diào)研在ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知cos2BcosB1cosAcosC.(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；(2)若b2，求ABC的面積的最大值解(1)證明：在ABC中，cosBcos(AC)由已知，得(1sin2B)cos(AC)1cosAcosC，sin2B(cosAcosCsinAsinC)cosAcosC，化簡，得sin2BsinAsinC.由正弦定理，得b2ac，a，b，c成等比數(shù)列(2)由(1)及題設(shè)條件，得ac4.則cosB，當(dāng)且僅當(dāng)ac時(shí)，等號(hào)成立0<B<，sinB .SABCacsinB×4×.ABC的面積的最大值為.1220xx·濟(jì)寧模擬已知向量m，n，記f(x)m·n.(1)若f(x)1，求cos的值；(2)在銳角ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且滿足(2ac)cosBbcosC，求f(2A)的取值范圍解(1)f(x)m·nsincoscos2sincossin，因?yàn)閒(x)1，所以sin，所以cos12sin2.(2)因?yàn)?2ac)cosBbcosC，由正弦定理得(2sinAsinC)cosBsinBcosC，所以2sinAcosBsinCcosBsinBcosC，所以2sinAcosBsin(BC)因?yàn)锳BC，所以sin(BC)sinA，且sinA0，所以cosB，又0<B<，所以B.則AC，AC，又0<C<，則<A<，得<A<，所以<sin1又因?yàn)閒(2A)sin，故函數(shù)f(2A)的取值范圍是.典題例證20xx·天津高考已知函數(shù)f(x)4tanxsin·cos.(1)求f(x)的定義域與最小正周期；(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性審題過程確定函數(shù)的定義域，運(yùn)用輔助角公式化為yAsin(x)的形式確定最小正周期利用ysinx的單調(diào)性進(jìn)行求解，注意將x視為一個(gè)整體.(1)f(x)的定義域?yàn)?f(x)4tanxcosxcos4sinxcos4sinx2sinxcosx2sin2xsin2x(1cos2x)sin2xcos2x2sin.所以，f(x)的最小正周期T.(2)令z2x，函數(shù)y2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是，kZ.由2k2x2k，得kxk，kZ.設(shè)A，Bkx.易知AB.所以，當(dāng)x時(shí)，f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減模型歸納利用ysinx(ycosx)的圖象及性質(zhì)解決三角函數(shù)性質(zhì)的模型示意圖如下：典題例證ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知2cosC(acosBbcosA)c.(1)求C；(2)若c，ABC的面積為，求ABC的周長審題過程利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化；由SABC得出ab，再由余弦定理聯(lián)立方程.(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosBsinBcosA)sinC，2cosCsin(AB)sinC，故2sinCcosCsinC.可得cosC，所以C.(2)由已知，absinC.又C，所以ab6.由已知及余弦定理得，a2b22abcosC7，故a2b213，從而(ab)225.所以ABC的周長為5.模型歸納利用正弦、余弦定理解三角形的模型示意圖如下：專題四數(shù)列第一講等差與等比數(shù)列 必記公式1等差數(shù)列通項(xiàng)公式：ana1(n1)d.2等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Snna1.3等比數(shù)列通項(xiàng)公式：ana1·qn1.4等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn.5等差中項(xiàng)公式：2anan1an1(nN*，n2)6等比中項(xiàng)公式：aan1an1(nN*，n2)7數(shù)列an的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)an之間的關(guān)系：an.重要結(jié)論1通項(xiàng)公式的推廣：等差數(shù)列中，anam(nm)d；等比數(shù)列中，anam·qnm.2增減性：(1)等差數(shù)列中，若公差大于零，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若公差小于零，則數(shù)列為遞減數(shù)列(2)等比數(shù)列中，若a1>0且q>1或a1<0且0<q<1，則數(shù)列為遞增數(shù)列；若a1>0且0<q<1或a1<0且q>1，則數(shù)列為遞減數(shù)列3等差數(shù)列an中，Sn為前n項(xiàng)和Sn，S2nSn，S3nS2n，仍成等差數(shù)列；等比數(shù)列bn 中，Tn為前n項(xiàng)和Tn，T2nTn，T3nT2n，一般仍成等比數(shù)列失分警示1忽視等比數(shù)列的條件：判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列時(shí)，忽視各項(xiàng)都不為零的條件2漏掉等比中項(xiàng)：正數(shù)a，b的等比中項(xiàng)是±，容易漏掉.3忽略對(duì)等比數(shù)列的公比的討論：應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)應(yīng)首先討論公式q是否等于1.4anan1d或q中注意n的范圍限制5易忽略公式anSnSn1成立的條件是n2.6證明一個(gè)數(shù)列是等差或等比數(shù)列時(shí)，由數(shù)列的前n項(xiàng)和想當(dāng)然得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，易出錯(cuò)，必須用定義證明7等差數(shù)列的單調(diào)性只取決于公差d的正負(fù)，而等比數(shù)列的單調(diào)性既要考慮公比q，又要考慮首項(xiàng)a1的正負(fù) 考點(diǎn)數(shù)列的概念、表示方法及遞推公式典例示法題型1利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式典例1(1)已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a11，(n2)a(n1)aanan10，則它的通項(xiàng)公式為()Aan BanCan Dann解析由(n2)a(n1)aanan10，得(n2)an1(n1)an(an1an)0，又an>0，所以(n2)an1(n1)an，即，an1an，所以an···a1a1(n2)，所以an(n1適合)，于是所求通項(xiàng)公式為an.答案B(2)20xx·江蘇高考設(shè)數(shù)列an滿足a11，且an1ann1(nN*)，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為_解析由a11，且an1ann1(nN*)得，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)123n，則2，故數(shù)列前10項(xiàng)的和S1022.答案題型2利用an與Sn的關(guān)系求an典例220xx·全國卷Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知an>0，a2an4Sn3.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解(1)由a2an4Sn3，可知a2an14Sn13.可得aa2(an1an)4an1，即2(an1an)aa(an1an)(an1an)由于an>0，可得an1an2.又a2a14a13，解得a11(舍去)或a13.所以an是首項(xiàng)為3，公差為2的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an2n1.(2)由an2n1可知bn.設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，則Tnb1b2bn.求數(shù)列通項(xiàng)公式的常見類型及方法(1)歸納猜想法：已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，可采用歸納猜想法(2)已知Sn與an的關(guān)系，利用an求an.(3)累加法：數(shù)列遞推關(guān)系形如an1anf(n)，其中數(shù)列f(n)前n項(xiàng)和可求，這種類型的數(shù)列求通項(xiàng)公式時(shí)，常用累加法(疊加法)(4)累乘法：數(shù)列遞推關(guān)系形如an1g(n)an，其中數(shù)列g(shù)(n)前n項(xiàng)可求積，此數(shù)列求通項(xiàng)公式一般采用累乘法(疊乘法)(5)構(gòu)造法：遞推關(guān)系形如an1panq(p，q為常數(shù))可化為an1p(p1)的形式，利用是以p為公比的等比數(shù)列求解；遞推關(guān)系形如an1(p為非零常數(shù))可化為的形式考點(diǎn)等差、等比數(shù)列的運(yùn)算典例示法題型1等差、等比數(shù)列的基本運(yùn)算典例320xx·全國卷已知等比數(shù)列an滿足a1，a3a54(a41)，則a2()A2 B1C. D.解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，a1，a3a54(a41)，由題可知q1，則a1q2×a1q44(a1q31)，×q64，q616q3640，(q38)20，q38，q2，a2，故選C.答案C題型2等差、等比數(shù)列性質(zhì)的運(yùn)算典例420xx·全國卷設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45，則a1a2an的最大值為_解析設(shè)an的公比為q，由a1a310，a2a45得a18，q，則a24，a32，a41，a5，所以a1a2ana1a2a3a464.答案641等差(比)數(shù)列基本運(yùn)算中的關(guān)注點(diǎn)(1)基本量在等差(比)數(shù)列中，首項(xiàng)a1和公差d(公比q)是兩個(gè)基本量(2)解題思路求公差d(公比q)：常用公式anam(nm)d(anamqnm)；列方程組：若條件與結(jié)論的聯(lián)系不明顯時(shí)，常把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元及整體計(jì)算，以減少計(jì)算量2等差(比)數(shù)列的性質(zhì)盤點(diǎn)考點(diǎn)等差、等比數(shù)列的判斷與證明典例示法典例520xx·全國卷已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an0，anan1Sn1，其中為常數(shù)(1)證明：an2an；(2)是否存在，使得an為等差數(shù)列？并說明理由解(1)證明：由題設(shè)，anan1Sn1，an1an2Sn11，兩式相減得an1(an2an)an1.因?yàn)閍n10，所以an2an.(2)由題設(shè)，a11，a1a2S11，可得a21，由(1)知，a31.若an為等差數(shù)列，則2a2a1a3，解得4，故an2an4.由此可得a2n1是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n14n3；a2n是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n4n1.所以an2n1，an1an2.因此存在4，使得數(shù)列an為等差數(shù)列在本例題(2)中是否存在，使得an為等比數(shù)列？并說明理由解由題設(shè)可知a11，a1a2S11，得a21，由(1)知a31，若an為等比數(shù)列，則aa1a3，即(1)21，解得0或3.當(dāng)0時(shí)，anan11，又a11，所以a21，a31，an(1)n1，所以數(shù)列an為首項(xiàng)為1，公比為1的等比數(shù)列；當(dāng)3時(shí)，a11，a22，a34，故可令an2n1，則anan122n1.Sn13·2n4，易得anan1與Sn1不恒相等，與已知條件矛盾綜上可知，存在0，使得an為等比數(shù)列1等差數(shù)列的判定方法(1)證明一個(gè)數(shù)列an為等差數(shù)列的基本方法有兩種利用等差數(shù)列的定義證明，即證明an1and(nN*)；利用等差中項(xiàng)證明，即證明an2an2an1(nN*)(2)解選擇、填空題時(shí)，亦可用通項(xiàng)或前n項(xiàng)和直接判斷通項(xiàng)法：若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)，即anAnB，則an是等差數(shù)列前n項(xiàng)和法：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn是SnAn2Bn的形式(A，B是常數(shù))，則an是等差數(shù)列2等比數(shù)列的判定方法(1)定義法：若q(q為非零常數(shù))或q(q為非零常數(shù)且n2)，則an是等比數(shù)列(2)中項(xiàng)公式法：若數(shù)列an中，an0且aan·an2(nN*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成anc·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，nN*)，則an是等比數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snk·qnk(k為常數(shù)且k0，q0,1)，則an是等比數(shù)列提醒：若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差(等比)數(shù)列，則只需說明前三項(xiàng)不是等差(等比)數(shù)列即可針對(duì)訓(xùn)練20xx·云南統(tǒng)測(cè)在數(shù)列an中，a1，an12，設(shè)bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和是Sn.(1)證明數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求Sn；(2)比較an與Sn7的大小解(1)證明：bn，an12，bn11bn1，bn1bn1，數(shù)列bn是公差為1的等差數(shù)列由a1，bn得b1，Sn3n.(2)由(1)知：bnn1n.由bn得an11.anSn73n6.當(dāng)n4時(shí)，y3n6是減函數(shù)，y也是減函數(shù)，當(dāng)n4時(shí)，anSn7a4S470.又a1S17<0，a2S27<0，a3S37<0，nN*，anSn70，anSn7. 全國卷高考真題調(diào)研120xx·全國卷已知an是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn滿足b11，b2，anbn1bn1nbn.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求bn的前n項(xiàng)和解(1)由已知，a1b2b2b1，b11，b2，得a12.所以數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為an3n1.(2)由(1)和anbn1bn1nbn得bn1，因此bn是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列記bn的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn.220xx·全國卷已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若S5，求.解(1)證明：由題意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0且1得an0，所以.因此an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是ann1.(2)由(1)得Sn1n.由S5得15，即5.解得1.其它省市高考題借鑒320xx·北京高考已知an為等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和若a16，a3a50，則S6_.答案6解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知得解得所以S66a1×6×5d3615×(2)6.420xx·廣東高考設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，nN*，已知a11，a2，a3，且當(dāng)n2時(shí)，4Sn25Sn8Sn1Sn1.(1)求a4的值；(2)證明：為等比數(shù)列；(3)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解(1)4Sn25Sn8Sn1Sn1，n2時(shí)，4S45S28S3S1，4(a1a2a3a4)5(a1a2)8(a1a2a3)a1，4×5×8×11，解得a4.(2)證明：n2時(shí)，4Sn25Sn8Sn1Sn1，4(Sn2Sn1)2(Sn1Sn)2(Sn1Sn)(SnSn1)，(Sn2Sn1)(Sn1Sn)(Sn1Sn)(SnSn1)，an2an1.又a3a2，是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列(3)由(2)知是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，an1ann1，兩邊同乘以2n1得，an1·2n1an·2n4.又a2·22a1·214，an·2n是首項(xiàng)為2，公差為4的等差數(shù)列，an·2n24(n1)2(2n1)，an. 一、選擇題120xx·重慶高考在等差數(shù)列an中，若a24，a42，則a6()A1 B0C1 D6答案B解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，由a4a22d，a24，a42，得242d，d1，a6a42d0.故選B.220xx·山西四校聯(lián)考等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若公比q>1，a3a520，a2a664，則S5()A31 B36C42 D48答案A解析由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3a5a2a664，于是由且公比q>1，得a34，a516，所以解得所以S531，故選A.320xx·唐山統(tǒng)考設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若3，則()A2 B.C. D1或2答案B解析設(shè)S2k，S43k，由數(shù)列an為等比數(shù)列，得S2，S4S2，S6S4為等比數(shù)列，S2k，S4S22k，S6S44k，S67k，S43k，故選B.420xx·浙江高考已知an是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項(xiàng)和是Sn.若a3，a4，a8成等比數(shù)列，則()Aa1d>0，dS4 >0 Ba1d<0，dS4<0Ca1d>0，dS4<0 Da1d<0，dS4>0答案B解析由aa3a8，得(a12d)(a17d)(a13d)2，整理得d(5d3a1)0，又d0，a1d，則a1dd2<0，又S44a16dd，dS4d2<0，故選B.5正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足：a3a22a1，若存在am，an，使得am·an16a，m，nN*，則的最小值為()A2 B16C. D.答案C解析設(shè)數(shù)列an的公比為q，a3a22a1q2q2q1(舍)或q2，ana1·2n1，am·an16aa·2mn216amn6，m，nN*，(m，n)可取的數(shù)值組合為(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，計(jì)算可得，當(dāng)m2，n4時(shí)，取最小值.620xx·吉林長春質(zhì)量監(jiān)測(cè)設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1a21，nSn(n2)an為等差數(shù)列，則an()A. B.C. D.答案A解析設(shè)bnnSn(n2)an，則b14，b28，bn為等差數(shù)列，所以bn4n，即nSn(n2)an4n，Snan4.當(dāng)n2時(shí)，SnSn1anan10，所以anan1，即2·，又因?yàn)?，所以是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，所以n1(nN*)，an(nN*)，故選A.二、填空題720xx·廣東高考在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a725，則a2a8_.答案10解析利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得a3a7a4a62a5，從而a3a4a5a6a75a525，故a55，所以a2a82a510.820xx·遼寧質(zhì)檢設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，an12Sn3，則S4_.答案66解析依題an2Sn13(n2)，與原式作差得，an1an2an，n2，即an13an，n2，可見，數(shù)列an從第二項(xiàng)起是公比為3的等比數(shù)列，a25，所以S4166.920xx·云南統(tǒng)考在數(shù)列an中，an>0，a1，如果an1是1與的等比中項(xiàng)，那么a1的值是_答案解析由題意可得，a(2an1anan11)(2an1anan11)0，又an>0，2an1anan110，又2an0，an1an11，又可知an1，1，是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，(n1)n1an，a11.三、解答題1020xx·蚌埠質(zhì)檢已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且a33，S39.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog2，且bn為遞增數(shù)列，若cn，求證：c1c2c3cn<1.解(1)設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，則根據(jù)題意有3·9，從而2q2q10，解得q1或q.當(dāng)q1時(shí)，an3；當(dāng)q時(shí)，an3·n3.(2)證明：若an3，則bn0，與題意不符，故an3n3，此時(shí)a2n33·2n，bn2n，符合題意cn，從而c1c2c3cn1<1.11成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)的和等于15，并且這三個(gè)數(shù)分別加上2,5,13后成為等比數(shù)列bn中的b3，b4，b5.(1)求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，求證：數(shù)列是等比數(shù)列解(1)設(shè)成等差數(shù)列的三個(gè)正數(shù)分別為ad，a，ad.依題意，得adaad15，解得a5.所以bn中的b3，b4，b5依次為7d,10,18d.依題意，有(7d)(18d)100，解得d2或d13(舍去)故bn的第3項(xiàng)為5，公比為2，由b3b1·22，即5b1·22，解得b1.所以bn是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其通項(xiàng)公式為bn·2n15·2n3.(2)證明：數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn5·2n2，即Sn5·2n2.所以S1，2.因此是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列1220xx·西安質(zhì)檢等差數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a11，前n項(xiàng)和為Sn；數(shù)列bn為等比數(shù)列，b11，且b2S26，b2S38.(1)求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式；(2)求.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，d>0，bn的公比為q，則an1(n1)d，bnqn1.依題意有解得或(舍去)故ann，bn2n1.(2)由(1)知Sn12nn(n1)，2，22.第二講數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 重要公式及結(jié)論1分組求和法：分組求和法是解決通項(xiàng)公式可以寫成cnanbn形式的數(shù)列求和問題的方法，其中an與bn是等差(比)數(shù)列或一些可以直接求和的數(shù)列2裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)代數(shù)式子的差，即anf(n1)f(n)的形式，然后通過累加抵消中間若干項(xiàng)的求和方法形如(其中an是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列等3錯(cuò)位相減法：形如an·bn(其中an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列)的數(shù)列求和，一般分三步：巧拆分；構(gòu)差式；求和4倒序求和法：距首尾兩端等距離的兩項(xiàng)和相等，可以用此法，一般步驟：求通項(xiàng)公式；定和值；倒序相加；求和；回顧反思附：(1)常見的拆項(xiàng)公式(其中nN*).若等差數(shù)列an的公差為d，則；.()(2)公式法求和：要熟練掌握一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，如123n；135(2n1)n2；122232n2n(n1)(2n1)失分警示1公比為字母的等比數(shù)列求和時(shí)，注意公比是否為1的分類討論2錯(cuò)位相減法求和時(shí)易漏掉減數(shù)式的最后一項(xiàng)3裂項(xiàng)相消法求和時(shí)易認(rèn)為只剩下首尾兩項(xiàng)4裂項(xiàng)相消法求和時(shí)注意所裂式與原式的等價(jià)性 考點(diǎn)數(shù)列求和問題典例示法題型1分組轉(zhuǎn)化求和典例1設(shè)數(shù)列an滿足a12，a2a48，且對(duì)任意nN*，函數(shù)f(x)(anan1an2)xan1cosxan2sinx滿足f0.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn2，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)由題設(shè)可得f(x)anan1an2an1sinxan2cosx.對(duì)任意nN*，fanan1an2an10，即an1anan2an1，故an為等差數(shù)列由a12，a2a48，解得an的公差d1，所以an21·(n1)n1.(2)因?yàn)閎n222n2，所以Snb1b2bn(222)2(12n)2n2·n23n1.題型2錯(cuò)位相減法求和典例220xx·湖北高考設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列bn的公比為q.已知b1a1，b22，qd，S10100.(1)求數(shù)列an，bn的通項(xiàng)公式；(2)當(dāng)d>1時(shí)，記cn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)由題意有，即解得或故或(2)由d>1，知an2n1，bn2n1，故cn，于是Tn1，Tn，可得Tn23，故Tn6.題型3裂項(xiàng)相消法求和典例320xx·洛陽統(tǒng)考設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意正整數(shù)n都有6Sn12an.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlogan，求Tn.解(1)由6Sn12an，得6Sn112an1(n2)兩式相減得6an2an12an，即anan1(n2)，由6S16a112a1，得a1，數(shù)列an是等比數(shù)列，公比q，所以an·n12n1.(2)an2n1，bn2n1，從而.Tn.1分組求和的常見方法(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列分組(2)根據(jù)正號(hào)、負(fù)號(hào)分組，此時(shí)數(shù)列的通項(xiàng)式中常會(huì)有(1)n等特征2裂項(xiàng)相消的規(guī)律(1)裂項(xiàng)系數(shù)取決于前后兩項(xiàng)分母的差(2)裂項(xiàng)相消后前、后保留的項(xiàng)數(shù)一樣多3錯(cuò)位相減法的關(guān)注點(diǎn)(1)適用題型：等差數(shù)列an與等比數(shù)列