2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 第2課時(shí) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用學(xué)案 新人教A版必修5.doc

第2課時(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握an與Sn的關(guān)系并會(huì)應(yīng)用(難點(diǎn)).2.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用(重點(diǎn)).3.會(huì)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值(重點(diǎn)).4.會(huì)用裂項(xiàng)相消法求和(易錯(cuò)點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1Sn與an的關(guān)系an2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)等差數(shù)列an中，其前n項(xiàng)和為Sn，則an中連續(xù)的n項(xiàng)和構(gòu)成的數(shù)列Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，構(gòu)成等差數(shù)列(2)數(shù)列an是等差數(shù)列Snan2bn(a，b為常數(shù))思考：如果an是等差數(shù)列，那么a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差數(shù)列嗎？提示(a11a12a20)(a1a2a10)(a11a1)(a12a2)(a20a10)100d，類似可得(a21a22a30)(a11a12 a20)100d.a1a2a10，a11a12a20，a21a22a30是等差數(shù)列3等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的最值(1)若a1<0，d>0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為負(fù)數(shù)項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得Sn的最小值(2)若a1>0，d<0，則數(shù)列的前面若干項(xiàng)為正數(shù)項(xiàng)(或0)，所以將這些項(xiàng)相加即得Sn的最大值特別地，若a1>0，d>0，則S1是Sn的最小值；若a1<0，d<0，則S1是Sn的最大值思考：我們已經(jīng)知道當(dāng)公差d0時(shí)，等差數(shù)列前n項(xiàng)和是關(guān)于n的二次函數(shù)Snn2n，類比二次函數(shù)的最值情況，等差數(shù)列的Sn何時(shí)有最大值？何時(shí)有最小值？提示由二次函數(shù)的性質(zhì)可以得出：當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，Sn先減后增，有最小值；當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，Sn先增后減，有最大值；且n取最接近對(duì)稱軸的正整數(shù)時(shí)，Sn取到最值基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)若Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則數(shù)列也是等差數(shù)列()(2)若a1>0，d<0，則等差數(shù)列中所有正項(xiàng)之和最大()(3)在等差數(shù)列中，Sn是其前n項(xiàng)和，則有S2n1(2n1)an.()答案(1)(2)(3)2在項(xiàng)數(shù)為2n1的等差數(shù)列中，所有奇數(shù)項(xiàng)的和為165，所有偶數(shù)項(xiàng)的和為150，則n等于()A9B10C11 D12B，.n10.故選B項(xiàng)3等差數(shù)列an中，S24，S49，則S6_.15由S2，S4S2，S6S4成等差數(shù)列得2(S4S2)S2(S6S4)解得S615.4已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an2n48，則Sn取得最小值時(shí)，n為_.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432176】23或24由an0即2n480得n24.所有負(fù)項(xiàng)的和最小，即n23或24.合 作 探 究攻 重 難等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)等差數(shù)列an的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，求數(shù)列an的前3m項(xiàng)的和S3m；(2)兩個(gè)等差數(shù)列an，bn的前n項(xiàng)和分別為Sn和Tn，已知，求的值解(1)在等差數(shù)列中，Sm，S2mSm，S3mS2m成等差數(shù)列30,70，S3m100成等差數(shù)列27030(S3m100)，S3m210.(2).規(guī)律方法等差數(shù)列前n項(xiàng)和計(jì)算的幾種思維方法(1)整體思路：利用公式Sn，設(shè)法求出整體a1an，再代入求解.( (2)待定系數(shù)法：利用Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，設(shè)SnAn2Bn(A0)，列出方程組求出A，B即可，或利用是關(guān)于n的一次函數(shù)，設(shè)anb(a0)進(jìn)行計(jì)算.跟蹤訓(xùn)練1(1)等差數(shù)列an中，a2a7a1224，則S13_.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432177】(2)等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an2n1，其前n項(xiàng)和為Sn，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為_(1)104(2)75(1)由a2a7a1224，得a78，所以S1313a713104.(2)因?yàn)閍n2n1，所以a13.所以Snn22n，所以n2，所以是公差為1，首項(xiàng)為3的等差數(shù)列，所以前10項(xiàng)和為310175.等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的函數(shù)特征探究問題1將首項(xiàng)為a12，公差d3的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和看作關(guān)于n的函數(shù)，那么這個(gè)函數(shù)有什么結(jié)構(gòu)特征？如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn3n2n，那么這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？上述結(jié)論推廣到一般情況成立嗎？提示：首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn2nn2n，顯然Sn是關(guān)于n的二次型函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0，二次項(xiàng)系數(shù)為，一次項(xiàng)系數(shù)為a1；如果一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn3n2n，那么當(dāng)n1時(shí)，S1a14.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn16n2，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為an6n2，所以該數(shù)列為等差數(shù)列，事實(shí)上對(duì)于任何一個(gè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和都是關(guān)于n的二次型函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0，反之，一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和具備上述特征，該數(shù)列一定是等差數(shù)列2已知一個(gè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn25n，試畫出Sn關(guān)于n的函數(shù)圖象你能說明數(shù)列an的單調(diào)性嗎？該數(shù)列前n項(xiàng)和有最值嗎？提示：Snn25n2，它的圖象是分布在函數(shù)yx25x的圖象上的離散的點(diǎn)，由圖象的開口方向可知該數(shù)列是遞增數(shù)列，圖象開始下降說明了an前n項(xiàng)為負(fù)數(shù)由Sn的圖象可知，Sn有最小值且當(dāng)n2或3時(shí)，Sn最小，最小值為6，即數(shù)列an前2項(xiàng)或前3項(xiàng)和最小數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn33nn2，(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)問an的前多少項(xiàng)和最大；(3)設(shè)bn|an|，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432178】思路探究：(1)利用Sn與an的關(guān)系求通項(xiàng)，也可由Sn的結(jié)構(gòu)特征求a1，d，從而求出通項(xiàng)(2)利用Sn的函數(shù)特征求最值，也可以用通項(xiàng)公式找到通項(xiàng)的變號(hào)點(diǎn)求解(3)利用an判斷哪些項(xiàng)是正數(shù)，哪些項(xiàng)是負(fù)數(shù)，再求解，也可以利用Sn的函數(shù)特征判斷項(xiàng)的正負(fù)求解解(1)法一：(公式法)當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1342n， 又當(dāng)n1時(shí)，a1S1323421滿足an342n.故an的通項(xiàng)公式為an342n.法二：(結(jié)構(gòu)特征法)由Snn233n知Sn是關(guān)于n的缺常數(shù)項(xiàng)的二次型函數(shù)，所以an是等差數(shù)列，由Sn的結(jié)構(gòu)特征知解得a132，d2，所以an342n.(2)法一：(公式法)令an0，得342n0，所以n17，故數(shù)列an的前17項(xiàng)大于或等于零又a170，故數(shù)列an的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大法二：(函數(shù)性質(zhì)法)由yx233x的對(duì)稱軸為x.距離最近的整數(shù)為16,17.由Snn233n的圖象可知：當(dāng)n17時(shí)，an0，當(dāng)n18時(shí)，an<0，故數(shù)列an的前16項(xiàng)或前17項(xiàng)的和最大(3)由(2)知，當(dāng)n17時(shí)，an0；當(dāng)n18時(shí)，an<0.所以當(dāng)n17時(shí)，Snb1b2bn|a1|a2|an|a1a2anSn33nn2.當(dāng)n18時(shí)，Sn|a1|a2|a17|a18|an|a1a2a17(a18a19an)S17(SnS17)2S17Snn233n544.故Sn母題探究：1.(變條件)將例題中的條件“Sn33nn2”變?yōu)椤霸诘炔顢?shù)列an中a125，S17S9”求其前n項(xiàng)和Sn的最大值解法一：S9S17，a125，925d1725d，解得d2.Sn25n(2)n226n(n13)2169.當(dāng)n13時(shí)，Sn有最大值169.法二：同法一，求出公差d2.an25(n1)(2)2n27.a125>0，由得又nN*，當(dāng)n13時(shí)，Sn有最大值169.法三：S9S17，a10a11a170.由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13a140.a1>0，d<0.a13>0，a14<0.當(dāng)n13時(shí)，Sn有最大值169.法四：設(shè)SnAn2Bn.S9S17，二次函數(shù)對(duì)稱軸為x13，且開口方向向下，當(dāng)n13時(shí)，Sn取得最大值169.2(變條件)將例題中的條件“Sn33nn2”變?yōu)椤癝nn”求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和Tn.解a1S1121101.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn13n104.n1也適合上式，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an3n104(nN*)由an3n1040，得n34.7.即當(dāng)n34時(shí)，an>0；當(dāng)n35時(shí)，an<0.(1)當(dāng)n34時(shí)，Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn2n；(2)當(dāng)n35時(shí)，Tn|a1|a2|a34|a35|an|(a1a2a34)(a35a36an)2(a1a2a34)(a1a2an)2S34Sn2n2n3 502.故Tn規(guī)律方法1在等差數(shù)列中，求Sn的最小(大)值的方法：(1)利用通項(xiàng)公式尋求正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，則從第一項(xiàng)起到分界點(diǎn)該項(xiàng)的各項(xiàng)和為最大(小)(2)借助二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)求最值2尋求正、負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn)的方法：(1)尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用或來尋找(2)利用到y(tǒng)ax2bx(a0)的對(duì)稱軸距離最近的左側(cè)的一個(gè)正數(shù)或離對(duì)稱軸最近且關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)整數(shù)對(duì)應(yīng)項(xiàng)即為正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)3求解數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和，應(yīng)先判斷an的各項(xiàng)的正負(fù)，然后去掉絕對(duì)值號(hào)，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的求和問題.裂項(xiàng)相消法求和等差數(shù)列an中，a13，公差d2，Sn為前n項(xiàng)和，求.思路探究：根據(jù)an為等差數(shù)列求出其前n項(xiàng)和，根據(jù)的通項(xiàng)特征，利用裂項(xiàng)相消法求和解等差數(shù)列an的首項(xiàng)a13，公差d2，前n項(xiàng)和Snna1d3n2n22n(nN*)，.規(guī)律方法裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和的基本思想是設(shè)法將數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)(裂項(xiàng))之差，并使它們?cè)谙嗉訒r(shí)除了首尾各有一項(xiàng)或少數(shù)幾項(xiàng)外，其余各項(xiàng)都能前后相消，進(jìn)而求數(shù)列的前n項(xiàng)和.跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an，求數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432179】解an，Sn，Sn.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為()A5B4C3 D2C由題知S偶S奇5dd3.2已知Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且S6>S7>S5，有下列四個(gè)命題：d<0；S11>0；S12<0；數(shù)列Sn中的最大項(xiàng)為S11，其中正確命題的序號(hào)是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432180】A BC DBS6>S7，a7<0，S7>S5，a6a7>0，a6>0，d<0，正確又S11(a1a11)11a6>0，正確S12(a1a12)6(a6a7)>0，不正確Sn中最大項(xiàng)為S6，不正確故正確的是.3已知等差數(shù)列an中，|a5|a9|，公差d>0，則使得前n項(xiàng)和Sn取得最小值的正整數(shù)n的值是_6或7由|a5|a9|且d>0得a5<0，a9>0，且a5a902a112d0a16d0，即a70，故S6S7且最小4數(shù)列an的通項(xiàng)公式an，其前n項(xiàng)和Sn9，則n_.99an，Sn(1)()()19.n99.5已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式為Snn230n.(1)求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式an；(2)求Sn的最小值及對(duì)應(yīng)的n值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432181】解(1)Snn230n，當(dāng)n1時(shí)，a1S129.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(n230n)(n1)230(n1)2n31.n1也適合，an2n31，nN*.(2)法一：Snn230n2225當(dāng)n15時(shí)，Sn最小，且最小值為S15225.法二：an2n31，a1<a2<<a15<0，當(dāng)n>15時(shí)，an>0.當(dāng)n15時(shí)，Sn最小，且最小值為S15225.