高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪課后限時集訓(xùn)：51 橢圓及其性質(zhì) Word版含解析

橢圓及其性質(zhì)建議用時：45分鐘一、選擇題1橢圓y21的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點(diǎn)為P，則|PF2|等于()A.B.C.D4A由題意知F1(，0)，把x，代入方程y21得y21，解得y±，則|PF1|，所以|PF2|4|PF1|4，故選A.2(2018·全國卷)已知橢圓C：1的一個焦點(diǎn)為(2,0)，則C的離心率為()A.B. C.D.C不妨設(shè)a>0，因?yàn)闄E圓C的一個焦點(diǎn)為(2,0)，所以c2，所以a2448，所以a2，所以橢圓C的離心率e.3橢圓1的焦距為4，則m等于()A4B8 C4或8D12C由題意知，即2m10.又2c4，即c2，則(10m)(m2)4或(m2)(10m)4，解得m4或m8，故選C.4(2019·呼和浩特模擬)已知橢圓C：1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，點(diǎn)P是橢圓上的動點(diǎn)若A1PA2的最大值可以取到120°，則橢圓C的離心率為()A.B. C.D.D由題意知，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓的短軸端點(diǎn)處時，A1PA2有最大值，則tan 60°，即.所以e211，即e，故選D.5ABC的周長是8，B(1,0)，C(1,0)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是()A.1(x±3)B.1(x0)C.1(y0)D.1(y0)A由題意知|BC|2，|AB|AC|6，點(diǎn)A的軌跡是以B，C為焦點(diǎn)的橢圓且2a6，c1，則b28.所以頂點(diǎn)A的軌跡方程為1(x±3)二、填空題6已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個焦點(diǎn)為(0，2)且a2b，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_1由題意知解得因此所求橢圓方程為1.7已知橢圓1的兩個焦點(diǎn)是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在該橢圓上，若|PF1|PF2|2，則PF1F2的面積是_由題意知解得又|F1F2|2，則|F1F2|2|PF2|2|PF1|2，即PF2F1F2.SPF1F2×|F1F2|×|PF2|×2×1.8橢圓1上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m，當(dāng)m取最大值時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是_(3,0)或(3,0)記橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，有|PF1|PF2|2a10.則m|PF1|·|PF2|225，當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|PF2|5，即點(diǎn)P位于橢圓的短軸的頂點(diǎn)處時，m取得最大值25.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0)或(3,0)三、解答題9已知橢圓的中心在原點(diǎn)，兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2在x軸上，且過點(diǎn)A(4,3)若F1AF2A，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)設(shè)焦點(diǎn)F1(c,0)，F(xiàn)2(c,0)(c0)F1AF2A，·0，而(4c,3)，(4c,3)，(4c)·(4c)320，c225，即c5.F1(5,0)，F(xiàn)2(5,0)2a|AF1|AF2|4，a2，b2a2c2(2)25215.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.10已知橢圓x2(m3)y2m(m0)的離心率e，求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)解橢圓方程可化為1，m0.m0，m，a2m，b2，c.由e，得，m1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21，a1，b，c.橢圓的長軸長和短軸長分別為2a2和2b1，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1，F(xiàn)2，四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1(1,0)，A2(1,0)，B1，B2.1(2019·哈爾濱模擬)設(shè)橢圓C：y21的左焦點(diǎn)為F，直線l：ykx(k0)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則|AF|BF|的值是()A2B2C4D4C設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2，連接AF2，BF2.(圖略)因?yàn)閨OA|OB|，|OF|OF2|，所以四邊形AFBF2是平行四邊形，所以|BF|AF2|，所以|AF|BF|AF|AF2|2a4.故選C.2(2019·衡水模擬)設(shè)橢圓1(ab0)的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P是橢圓上一點(diǎn)，且F1PF2，若F1PF2的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R，r，當(dāng)R4r時，橢圓的離心率為()A.B. C.D.B由題意知|F1F2|2c，根據(jù)正弦定理可得2Rc，即R.由余弦定理得4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4a23|PF1|·|PF2|，|PF1|PF2|(a2c2)SF1PF2|PF1|PF2|sin.又SF1PF2(|PF1|PF2|F1F2|)r(ac)r，(ac)r，r.由R4r得，故選B.3(2019·揭陽模擬)已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，其在x軸上的兩個頂點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)恰好是邊長為2的正方形的頂點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_1設(shè)橢圓上、下兩個焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，右頂點(diǎn)為A.由題意知|AF1|AF2|a2，|F1F2|2，cb則所求橢圓方程為1.4設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直，直線MF1與C的另一個交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為，求C的離心率；(2)若直線MN在y軸上的截距為2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解(1)根據(jù)c及題設(shè)知M，2b23ac.將b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故C的離心率為.(2)由題意，原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn)，MF2y軸，所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn)，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.設(shè)N(x1，y1)，由題意知y1<0，則即把點(diǎn)N(x1，y1)代入C的方程，得1.將及c代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2.1若橢圓b2x2a2y2a2b2(ab0)和圓x2y22有四個交點(diǎn)，其中c為橢圓的半焦距，則橢圓的離心率e的取值范圍為()A.B.C.D.A由題意可知，橢圓的上、下頂點(diǎn)在圓內(nèi)，左、右頂點(diǎn)在圓外，則整理得解得e.2已知橢圓C的兩個頂點(diǎn)分別為A(2,0)，B(2,0)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn)，過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M，N，過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證：BDE與BDN的面積之比為45.解(1)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)由題意得解得c.所以b2a2c21.所以橢圓C的方程為y21.(2)證明：設(shè)M(m，n)，則D(m,0)，N(m，n)由題設(shè)知m±2，且n0.直線AM的斜率kAM，故直線DE的斜率kDE.所以直線DE的方程為y(xm)直線BN的方程為y(x2)聯(lián)立解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE.由點(diǎn)M在橢圓C上，得4m24n2，所以yEn.又SBDE|BD|·|yE|BD|·|n|，SBDN|BD|·|n|，所以BDE與BDN的面積之比為45.