高三數(shù)學(xué)北師大版文一輪課后限時集訓(xùn):51 橢圓及其性質(zhì) Word版含解析
橢圓及其性質(zhì)建議用時:45分鐘一、選擇題1橢圓y21的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交,一個交點(diǎn)為P,則|PF2|等于()A.B.C.D4A由題意知F1(,0),把x,代入方程y21得y21,解得y±,則|PF1|,所以|PF2|4|PF1|4,故選A.2(2018·全國卷)已知橢圓C:1的一個焦點(diǎn)為(2,0),則C的離心率為()A.B. C.D.C不妨設(shè)a>0,因?yàn)闄E圓C的一個焦點(diǎn)為(2,0),所以c2,所以a2448,所以a2,所以橢圓C的離心率e.3橢圓1的焦距為4,則m等于()A4B8 C4或8D12C由題意知,即2m10.又2c4,即c2,則(10m)(m2)4或(m2)(10m)4,解得m4或m8,故選C.4(2019·呼和浩特模擬)已知橢圓C:1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為A1,A2,點(diǎn)P是橢圓上的動點(diǎn)若A1PA2的最大值可以取到120°,則橢圓C的離心率為()A.B. C.D.D由題意知,當(dāng)點(diǎn)P在橢圓的短軸端點(diǎn)處時,A1PA2有最大值,則tan 60°,即.所以e211,即e,故選D.5ABC的周長是8,B(1,0),C(1,0),則頂點(diǎn)A的軌跡方程是()A.1(x±3)B.1(x0)C.1(y0)D.1(y0)A由題意知|BC|2,|AB|AC|6,點(diǎn)A的軌跡是以B,C為焦點(diǎn)的橢圓且2a6,c1,則b28.所以頂點(diǎn)A的軌跡方程為1(x±3)二、填空題6已知橢圓的中心在原點(diǎn),一個焦點(diǎn)為(0,2)且a2b,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_1由題意知解得因此所求橢圓方程為1.7已知橢圓1的兩個焦點(diǎn)是F1,F(xiàn)2,點(diǎn)P在該橢圓上,若|PF1|PF2|2,則PF1F2的面積是_由題意知解得又|F1F2|2,則|F1F2|2|PF2|2|PF1|2,即PF2F1F2.SPF1F2×|F1F2|×|PF2|×2×1.8橢圓1上的一點(diǎn)P到兩焦點(diǎn)的距離的乘積為m,當(dāng)m取最大值時,點(diǎn)P的坐標(biāo)是_(3,0)或(3,0)記橢圓的兩個焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,有|PF1|PF2|2a10.則m|PF1|·|PF2|225,當(dāng)且僅當(dāng)|PF1|PF2|5,即點(diǎn)P位于橢圓的短軸的頂點(diǎn)處時,m取得最大值25.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0)或(3,0)三、解答題9已知橢圓的中心在原點(diǎn),兩焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2在x軸上,且過點(diǎn)A(4,3)若F1AF2A,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)設(shè)焦點(diǎn)F1(c,0),F(xiàn)2(c,0)(c0)F1AF2A,·0,而(4c,3),(4c,3),(4c)·(4c)320,c225,即c5.F1(5,0),F(xiàn)2(5,0)2a|AF1|AF2|4,a2,b2a2c2(2)25215.所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.10已知橢圓x2(m3)y2m(m0)的離心率e,求m的值及橢圓的長軸和短軸的長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)解橢圓方程可化為1,m0.m0,m,a2m,b2,c.由e,得,m1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21,a1,b,c.橢圓的長軸長和短軸長分別為2a2和2b1,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1,F(xiàn)2,四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A1(1,0),A2(1,0),B1,B2.1(2019·哈爾濱模擬)設(shè)橢圓C:y21的左焦點(diǎn)為F,直線l:ykx(k0)與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),則|AF|BF|的值是()A2B2C4D4C設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F2,連接AF2,BF2.(圖略)因?yàn)閨OA|OB|,|OF|OF2|,所以四邊形AFBF2是平行四邊形,所以|BF|AF2|,所以|AF|BF|AF|AF2|2a4.故選C.2(2019·衡水模擬)設(shè)橢圓1(ab0)的焦點(diǎn)為F1,F(xiàn)2,P是橢圓上一點(diǎn),且F1PF2,若F1PF2的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R,r,當(dāng)R4r時,橢圓的離心率為()A.B. C.D.B由題意知|F1F2|2c,根據(jù)正弦定理可得2Rc,即R.由余弦定理得4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4a23|PF1|·|PF2|,|PF1|PF2|(a2c2)SF1PF2|PF1|PF2|sin.又SF1PF2(|PF1|PF2|F1F2|)r(ac)r,(ac)r,r.由R4r得,故選B.3(2019·揭陽模擬)已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,中心在坐標(biāo)原點(diǎn),其在x軸上的兩個頂點(diǎn)與兩個焦點(diǎn)恰好是邊長為2的正方形的頂點(diǎn),則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_1設(shè)橢圓上、下兩個焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,右頂點(diǎn)為A.由題意知|AF1|AF2|a2,|F1F2|2,cb則所求橢圓方程為1.4設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點(diǎn)為N.(1)若直線MN的斜率為,求C的離心率;(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|5|F1N|,求a,b.解(1)根據(jù)c及題設(shè)知M,2b23ac.將b2a2c2代入2b23ac,解得,2(舍去)故C的離心率為.(2)由題意,原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn),MF2y軸,所以直線MF1與y軸的交點(diǎn)D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn),故4,即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.設(shè)N(x1,y1),由題意知y1<0,則即把點(diǎn)N(x1,y1)代入C的方程,得1.將及c代入得1.解得a7,b24a28,故a7,b2.1若橢圓b2x2a2y2a2b2(ab0)和圓x2y22有四個交點(diǎn),其中c為橢圓的半焦距,則橢圓的離心率e的取值范圍為()A.B.C.D.A由題意可知,橢圓的上、下頂點(diǎn)在圓內(nèi),左、右頂點(diǎn)在圓外,則整理得解得e.2已知橢圓C的兩個頂點(diǎn)分別為A(2,0),B(2,0),焦點(diǎn)在x軸上,離心率為.(1)求橢圓C的方程;(2)點(diǎn)D為x軸上一點(diǎn),過D作x軸的垂線交橢圓C于不同的兩點(diǎn)M,N,過D作AM的垂線交BN于點(diǎn)E.求證:BDE與BDN的面積之比為45.解(1)設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)由題意得解得c.所以b2a2c21.所以橢圓C的方程為y21.(2)證明:設(shè)M(m,n),則D(m,0),N(m,n)由題設(shè)知m±2,且n0.直線AM的斜率kAM,故直線DE的斜率kDE.所以直線DE的方程為y(xm)直線BN的方程為y(x2)聯(lián)立解得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)yE.由點(diǎn)M在橢圓C上,得4m24n2,所以yEn.又SBDE|BD|·|yE|BD|·|n|,SBDN|BD|·|n|,所以BDE與BDN的面積之比為45.