2019高考數(shù)學一輪復習 第四章 三角函數(shù) 4.4 解三角形練習 文.doc

4.4解三角形考綱解讀考點內(nèi)容解讀要求高考示例?？碱}型預測熱度1.用正、余弦定理解三角形1.理解正弦定理與余弦定理的推導過程2.掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題2017課標全國,11;2017課標全國,16;2017課標全國,15;2016課標全國,4;2016山東,8選擇題、填空題、解答題2.解三角形及其應用能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題2017山東,17;2016課標全國,9;2016課標全國,15分析解讀解三角形是高考中的熱點,以正、余弦定理為載體考查解三角形問題,命題呈現(xiàn)出如下幾點:1.能利用正、余弦定理解決平面圖形的計算問題,解題時要在平面圖形中構(gòu)造出三角形;2.解三角形時,觀察圖形中的幾何條件,再數(shù)形結(jié)合求解;3.正、余弦定理與三角形的面積公式、兩角和與差的三角公式、二倍角公式結(jié)合起來考查,注意公式間的聯(lián)系,會用方程與函數(shù)的思想解決三角形的最值問題.解三角形知識常以解答題的形式出現(xiàn),有時也會出現(xiàn)在選擇題或填空題中,分值大約為5分或12分.答案:60解析:解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(180-B),可得B=60.解法二:由余弦定理得2ba2+c2-b22ac=aa2+b2-c22ab+cb2+c2-a22bc,即ba2+c2-b2ac=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B=12,又0<B<180,所以B=60.五年高考考點一用正、余弦定理解三角形1.(2017課標全國,11,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=2,則C=()A.12B.6C.4D.3答案B2.(2016山東,8,5分)ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).則A=()A.34B.3C.4D.6答案C3.(2015廣東,5,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=2,c=23,cos A=32且b<c,則b=()A.3B.22C.2D.3答案C4.(2014江西,5,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對邊的分別是a,b,c.若3a=2b,則2sin2B-sin2Asin2A的值為()A.-19B.13C.1D.72答案D5.(2013安徽,9,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別為a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,則角C=()A.3B.23C.34D.56答案B6.(2017課標全國,15,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知C=60,b=6,c=3,則A=.答案757.(2016北京,13,5分)在ABC中,A=23,a=3c,則bc=.答案18.(2015重慶,13,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a=2,cos C=-14,3sin A=2sin B,則c=.答案49.(2016浙江,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)證明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C的值.解析(1)證明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B(0,),故0<A-B<,所以,B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由cos B=23得sin B=53,cos 2B=2cos2B-1=-19,故cos A=-19,sin A=459,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=2227.10.(2016四川,18,12分)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且cosAa+cosBb=sinCc.(1)證明:sin Asin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=65bc,求tan B.解析(1)證明:根據(jù)正弦定理,可設(shè)asinA=bsinB=csinC=k(k>0).則a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入cosAa+cosBb=sinCc中,有cosAksinA+cosBksinB=sinCksinC,變形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=65bc,根據(jù)余弦定理,有cos A=b2+c2-a22bc=35.所以sin A=1-cos2A=45.由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以45sin B=45cos B+35sin B,故tan B=sinBcosB=4.11.(2015山東,17,12分)ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知cos B=33,sin(A+B)=69,ac=23,求sin A和c的值.解析在ABC中,由cos B=33,得sin B=63,因為A+B+C=,所以sin C=sin(A+B)=69.因為sin C<sin B,所以C<B,可知C為銳角,所以cos C=539.因此sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=63539+3369=223.由asinA=csinC,可得a=csinAsinC=223c69=23c,又ac=23,所以c=1.教師用書專用(1223)12.(2013遼寧,6,5分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=12b,且a>b,則B=()A.6B.3C.23D.56答案A13.(2013北京,5,5分)在ABC中,a=3,b=5,sin A=13,則sin B=()A.15B.59C.53D.1答案B14.(2013湖南,5,5分)在銳角ABC中,角A,B所對的邊長分別為a,b.若2asin B=3b,則角A等于()A.3B.4C.6D.12答案A15.(2015福建,14,4分)若ABC中,AC=3,A=45,C=75,則BC=.答案216.(2015安徽,12,5分)在ABC中,AB=6,A=75,B=45,則AC=.答案217.(2015北京,11,5分)在ABC中,a=3,b=6,A=23,則B=.答案418.(2014山東,17,12分)ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知a=3,cos A=63,B=A+2.(1)求b的值;(2)求ABC的面積.解析(1)在ABC中,由題意知,sin A=1-cos2A=33,因為B=A+2,所以sin B=sinA+2=cos A=63.由正弦定理可得b=asinBsinA=36333=32.(2)由B=A+2得cos B=cosA+2=-sin A=-33.由A+B+C=,得C=-(A+B).所以sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=33-33+6363=13.因此ABC的面積S=12absin C=1233213=322.19.(2014課標,17,12分)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四邊形ABCD的面積.解析(1)由題設(shè)及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BCCDcos C=13-12cos C,BD2=AB2+DA2-2ABDAcos A=5+4cos C.由,得cos C=12,故C=60,BD=7.(2)四邊形ABCD的面積S=12ABDAsin A+12BCCDsin C=1212+1232sin 60=23.20.(2014陜西,16,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.(1)若a,b,c成等差數(shù)列,證明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比數(shù)列,且c=2a,求cos B的值.解析(1)證明:a,b,c成等差數(shù)列,a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.sin B=sin-(A+C)=sin(A+C),sin A+sin C=2sin(A+C).(2)由題設(shè)有b2=ac,c=2a,b=2a,由余弦定理得cos B=a2+c2-b22ac=a2+4a2-2a24a2=34.21.(2014湖南,19,13分)如圖,在平面四邊形ABCD中,DAAB,DE=1,EC=7,EA=2,ADC=23,BEC=3.(1)求sinCED的值;(2)求BE的長.解析設(shè)CED=.(1)在CDE中,由余弦定理得EC2=CD2+DE2-2CDDEcosEDC,得7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得CD=2(CD=-3舍去).在CDE中,由正弦定理得ECsinEDC=CDsin,得sin =CDsin23EC=2327=217,即sinCED=217.(2)由題設(shè)知,0<<3,于是由(1)知,cos =1-sin2=1-2149=277.而AEB=23-,所以cosAEB=cos23-=cos23cos +sin23sin =-12cos +32sin =-12277+32217=714.在RtEAB中,cosAEB=EABE=2BE,故BE=2cosAEB=2714=47.22.(2013湖北,18,12分)在ABC中,角A,B,C所對應的邊分別是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若ABC的面積S=53,b=5,求sin Bsin C的值.解析(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=12或cos A=-2(舍去).因為0<A<,所以A=3.(2)由S=12bcsin A=12bc32=34bc=53,得bc=20.又b=5,所以c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故a=21.由正弦定理得sin Bsin C=basin Acasin A=bca2sin2A=202134=57.23.(2013天津,16,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a,b,c.已知bsin A=3csin B,a=3,cos B=23.(1)求b的值;(2)求sin2B-3的值.解析(1)在ABC中,由asinA=bsinB,可得bsin A=asin B,又由bsin A=3csin B,可得a=3c,又a=3,故c=1.由b2=a2+c2-2accos B,cos B=23,可得b=6.(2)由cos B=23,得sin B=53,進而得cos 2B=2cos2B-1=-19,sin 2B=2sin Bcos B=459.所以sin2B-3=sin 2Bcos3-cos 2Bsin3=45+318.考點二解三角形及其應用1.(2016課標全國,9,5分)在ABC中,B=4,BC邊上的高等于13BC,則sin A=()A.310B.1010C.55D.31010答案D2.(2014四川,8,5分)如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75,30,此時氣球的高是60 m,則河流的寬度BC等于()A.240(3-1)mB.180(2-1)mC.120(3-1)mD.30(3+1)m答案C3.(2013課標全國,10,5分)已知銳角ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,則b=()A.10B.9C.8D.5答案D4.(2013課標全國,4,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知b=2,B=6,C=4,則ABC的面積為()A.23+2B.3+1C.23-2 D.3-1答案B5.(2017浙江,14,5分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.點D為AB延長線上一點,BD=2,連接CD,則BDC的面積是,cosBDC=.答案152;1046.(2016課標全國,15,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,則b=.答案21137.(2014課標,16,5分)如圖,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角MAN=60,C點的仰角CAB=45以及MAC=75;從C點測得MCA=60.已知山高BC=100 m,則山高MN=m.答案1508.(2017山東,17,12分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b=3,ABAC=-6,SABC=3,求A和a.解析因為ABAC=-6,所以bccos A=-6,又SABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0<A<,所以A=34.又b=3,所以c=22.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-2322-22=29,所以a=29.9.(2016天津,15,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知asin 2B=3bsin A.(1)求B;(2)若cos A=13,求sin C的值.解析(1)在ABC中,由asinA=bsinB可得asin B=bsin A,又由asin 2B=3bsin A得2asin Bcos B=3bsin A=3asin B,所以cos B=32,得B=6.(2)由cos A=13可得sin A=223,則sin C=sin-(A+B)=sin(A+B)=sinA+6=32sin A+12cos A=26+16.10.(2015課標,17,12分)已知a,b,c分別為ABC內(nèi)角A,B,C的對邊,sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b,求cos B;(2)設(shè)B=90,且a=2,求ABC的面積.解析(1)由題設(shè)及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,所以b=2c,a=2c.由余弦定理可得cos B=a2+c2-b22ac=14.(6分)(2)由(1)知b2=2ac.因為B=90,所以由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,故c=a=2.所以ABC的面積為1.(12分)11.(2015課標,17,12分)ABC中,D是BC上的點,AD平分BAC,BD=2DC.(1)求sinBsinC;(2)若BAC=60,求B.解析(1)由正弦定理得ADsinB=BDsinBAD,ADsinC=DCsinCAD.因為AD平分BAC,BD=2DC,所以sinBsinC=DCBD=12.(2)因為C=180-(BAC+B),BAC=60,所以sinC=sin(BAC+B)=32cosB+12sinB.由(1)知2sinB=sinC,所以tanB=33,即B=30.教師用書專用(1225)12.(2013山東,7,5分)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.若B=2A,a=1,b=3,則c=()A.23B.2C.2D.1答案B13.(2013陜西,9,5分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則ABC的形狀為()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.不確定答案A14.(2017江蘇,18,16分)如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱臺形玻璃容器的高均為32 cm,容器的底面對角線AC的長為107 cm,容器的兩底面對角線EG,E1G1的長分別為14 cm和62 cm.分別在容器和容器中注入水,水深均為12 cm.現(xiàn)有一根玻璃棒l,其長度為40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計)(1)將l放在容器中,l的一端置于點A處,另一端置于側(cè)棱CC1上,求l沒入水中部分的長度;(2)將l放在容器中,l的一端置于點E處,另一端置于側(cè)棱GG1上,求l沒入水中部分的長度.解析(1)由正棱柱的定義,CC1平面ABCD,所以平面A1ACC1平面ABCD,CC1AC.記玻璃棒的另一端落在CC1上點M處.因為AC=107,AM=40,所以MC=402-(107)2=30,從而sinMAC=34.記AM與水面的交點為P1,過P1作P1Q1AC,Q1為垂足,則P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,從而AP1=P1Q1sinMAC=16.答:玻璃棒l沒入水中部分的長度為16 cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為24 cm)(2)如圖,O,O1是正棱臺的兩底面中心.由正棱臺的定義,OO1平面EFGH,所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG.同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1.記玻璃棒的另一端落在GG1上點N處.過G作GKE1G1,K為垂足,則GK=OO1=32.因為EG=14,E1G1=62,所以KG1=62-142=24,從而GG1=KG12+GK2=242+322=40.設(shè)EGG1=,ENG=,則sin =sin2+KGG1=cosKGG1=45.因為2<<,所以cos =-35.在ENG中,由正弦定理可得40sin=14sin,解得sin =725.因為0<<2,所以cos =2425.于是sinNEG=sin(-)=sin(+)=sin cos +cos sin =452425+-35725=35.記EN與水面的交點為P2,過P2作P2Q2EG,Q2為垂足,則P2Q2平面EFGH,故P2Q2=12,從而EP2=P2Q2sinNEG=20.答:玻璃棒l沒入水中部分的長度為20 cm.(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結(jié)果為20 cm)15.(2015陜西,17,12分)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.向量m=(a,3b)與n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=7,b=2,求ABC的面積.解析(1)因為mn,所以asin B-3bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-3sin Bcos A=0,又sin B0,從而tan A=3,由于0<A<,所以A=3.(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,而a=7,b=2,A=3,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因為c>0,所以c=3.故ABC的面積為12bcsin A=332.解法二:由正弦定理,得7sin 3=2sinB,從而sin B=217,又由a>b,知A>B,所以cos B=277.故sin C=sin(A+B)=sinB+3=sin Bcos 3+cos Bsin 3=32114.所以ABC的面積為12absin C=332.16.(2015浙江,16,14分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知tan4+A=2.(1)求sin2Asin2A+cos2A的值;(2)若B=4,a=3,求ABC的面積.解析(1)由tan4+A=2,得tan A=13,所以sin2Asin2A+cos2A=2tanA2tanA+1=25.(2)由tan A=13,A(0,),得sin A=1010,cos A=31010.又由a=3,B=4及正弦定理asinA=bsinB,得b=35.由sin C=sin(A+B)=sinA+4得sin C=255.設(shè)ABC的面積為S,則S=12absin C=9.17.(2015天津,16,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知ABC的面積為315,b-c=2,cos A=-14.(1)求a和sin C的值;(2)求cos2A+6的值.解析(1)在ABC中,由cos A=-14,可得sin A=154.由SABC=12bcsin A=315,得bc=24,結(jié)合b-c=2,解得b=6,c=4.由a2=b2+c2-2bccos A,可得a=8.由asinA=csinC,得sin C=158.(2)cos2A+6=cos 2Acos6-sin 2Asin6=32(2cos2A-1)-122sin Acos A=15-7316.18.(2015四川,19,12分)已知A,B,C為ABC的內(nèi)角,tan A,tan B是關(guān)于x的方程x2+3px-p+1=0(pR)的兩個實根.(1)求C的大小;(2)若AB=3,AC=6,求p的值.解析(1)由已知得,方程x2+3px-p+1=0的判別式=(3p)2-4(-p+1)=3p2+4p-40.所以p-2,或p23.由韋達定理,有tan A+tan B=-3p,tan Atan B=1-p.于是1-tan Atan B=1-(1-p)=p0,從而tan(A+B)=tanA+tanB1-tanAtanB=-3pp=-3.所以tan C=-tan(A+B)=3,所以C=60.(2)由正弦定理,得sin B=ACsinCAB=6sin603=22,解得B=45,或B=135(舍去).于是A=180-B-C=75.則tan A=tan 75=tan(45+30)=tan45+tan301-tan45tan30=1+331-33=2+3.所以p=-13(tan A+tan B)=-13(2+3+1)=-1-3.19.(2014遼寧,17,12分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a>c.已知BABC=2,cos B=13,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解析(1)由BABC=2得cacos B=2.又cos B=13,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+22=13.解ac=6,a2+c2=13得a=2,c=3或a=3,c=2.因為a>c,所以a=3,c=2.(2)在ABC中,sin B=1-cos2B=1-132=223.由正弦定理,得sin C=cbsin B=23223=429.因為a=b>c,所以C為銳角,因此cos C=1-sin2C=1-4292=79.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=1379+223429=2327.20.(2014大綱全國,18,12分)ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=13,求B.解析由題設(shè)和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因為tan A=13,所以cos C=2sin C,tan C=12.所以tan B=tan180-(A+C)=-tan(A+C)=tanA+tanCtanAtanC-1=-1,所以B=135.21.(2014安徽,16,12分)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,且b=3,c=1,ABC的面積為2,求cos A與a的值.解析由三角形面積公式,得1231sin A=2,故sin A=223.因為sin2A+cos2A=1,所以cos A=1-sin2A=1-89=13.當cos A=13時,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+12-21313=8,所以a=22.當cos A=-13時,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+12-213-13=12,所以a=23.22.(2014重慶,18,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a+b+c=8.(1)若a=2,b=52,求cos C的值;(2)若sin Acos2B2+sin Bcos2A2=2sin C,且ABC的面積S=92sin C,求a和b的值.解析(1)由題意可知c=8-(a+b)=72.由余弦定理得cos C=a2+b2-c22ab=22+522-7222252=-15.(2)由sin Acos2B2+sin Bcos2A2=2sin C可得sin A1+cosB2+sin B1+cosA2=2sin C,化簡得sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C.因為sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,所以sin A+sin B=3sin C.由正弦定理可知a+b=3c.又因為a+b+c=8,所以a+b=6.由于S=12absin C=92sin C,所以ab=9,從而a2-6a+9=0,解得a=3,b=3.23.(2013重慶,18,13分)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且a2=b2+c2+3bc.(1)求A;(2)設(shè)a=3,S為ABC的面積,求S+3cos Bcos C的最大值,并指出此時B的值.解析(1)由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=-3bc2bc=-32.又因0<A<,所以A=56.(2)由(1)得sin A=12,又由正弦定理及a=3得S=12bcsin A=12asinBsinAasin C=3sin Bsin C,因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C)=3cos(B-C).所以,當B=C,即B=-A2=12時,S+3cos Bcos C取最大值3.24.(2013浙江,18,14分)在銳角ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2asin B=3b.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求ABC的面積.解析(1)由2asin B=3b及asinA=bsinB,得sin A=32.因為A是銳角,所以A=3.(2)由a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36.又b+c=8,所以bc=283.由S=12bcsin A,得ABC的面積為733.25.(2013四川,17,12分)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-35.(1)求sin A的值;(2)若a=42,b=5,求向量BA在BC方向上的投影.解析(1)由cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-35,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-35.則cos(A-B+B)=-35,即cos A=-35.又0<A<,所以sin A=45.(5分)(2)由正弦定理asinA=bsinB,得sin B=bsinAa=22.由題知a>b,則A>B,故B=4.根據(jù)余弦定理,有(42)2=52+c2-25c-35,解得c=1或c=-7(負值舍去).故向量BA在BC方向上的投影為|BA|cos B=22.(12分)三年模擬A組20162018年模擬基礎(chǔ)題組考點一用正、余弦定理解三角形1.(2018河南中原名校第三次聯(lián)考,7)ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c,若B=2A,a=1,b=3,則c=()A.1B.2C.2D.23答案C2.(2017湖北黃岡3月質(zhì)檢,6)在ABC中,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,若a=52b,A=2B,則cos B=()A.53B.54C.55D.56答案B3.(2017福建廈門12月聯(lián)考,6)在銳角ABC中,a,b,c分別為A、B、C的對邊,若向量m=(a-b,1)和n=(c-b,1)平行,且sin B=45,當ABC的面積為32時,b=()A.3B.1+32C.4D.2+3答案A考點二解三角形及其應用4.(2018江西師大附中10月模擬,7)已知ABC中,滿足b=2,B=60的三角形有兩解,則邊長a的取值范圍是()A.32<a<2 B.12<a<2C.2<a<433D.2<a<23答案C5.(2018河南許昌、平頂山聯(lián)考,8)如圖所示,為了測量A,B兩處島嶼間的距離,小張以D為觀測點,測得A,B分別在D處的北偏西30、北偏東30方向,再往正東方向行駛40海里到C處,測得B在C處的正北方向,A在C處的北偏西60方向,則A,B兩處島嶼間的距離為()A.203海里B.403海里C.20(1+3)海里D.40海里答案B6.(2018河北衡水中學四調(diào),9)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且2ccos B=2a+b,若ABC的面積S=32c,則ab的最小值為()A.18B.12C.6D.3答案B7.(2018千校聯(lián)盟12月模擬,10)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若c=b(cos A+cos B),則ABC為()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D8.(2016廣東肇慶三模,10)在ABC中,AB=3,BC=13,AC=4,則邊AC上的高為()A.322B.332C.32D.33答案B9.(2017江西南昌十校二模,16)在ABC中,a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊,且B為銳角,若sinAsinB=5c2b,sin B=74,SABC=574,則b的值為.答案1410.(2017江西六校聯(lián)考,19)ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,m=(sin B,5sin A+5sin C)與n=(5sin B-6sin C,sin C-sin A)垂直.(1)求sin A的值;(2)若a=22,求ABC的面積S的最大值.解析(1)因為m=(sin B,5sin A+5sin C)與n=(5sin B-6sin C,sin C-sin A)垂直,所以mn=5sin2B-6sin Bsin C+5sin2C-5sin2A=0,即sin2B+sin2C-sin2A=6sinBsinC5.根據(jù)正弦定理得b2+c2-a2=6bc5.由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=35.角A是ABC的內(nèi)角,sin A=1-cos2A=45.(2)由(1)知b2+c2-a2=6bc52bc-a2.又a=22,bc10.ABC的面積S=bcsinA2=2bc54,ABC的面積S的最大值為4.B組20162018年模擬提升題組(滿分:70分時間:60分鐘)一、選擇題(每小題5分,共30分)1.(2018湖南益陽、湘潭9月聯(lián)考,9)數(shù)書九章中對“已知三角形三邊長求三角形面積”的求法,填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白,與著名的海倫公式完全等價,由此可以看出我國古代具有很高的數(shù)學水平,其求法是:“以小斜冪并大斜冪減去斜冪,余半之,自乘于上;以小斜冪乘大斜冪,減上,余四約之,為實;一為從隅,開平方得積.”若把這段文字寫成公式,即S=14c2a2-c2+a2-b222.現(xiàn)有周長為22+5的ABC滿足sin Asin Bsin C=(2-1)5(2+1),用上面給出的公式求得ABC的面積為()A.32B.34C.52D.54答案B2.(2018湖北荊州中學11月模擬,9)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且cosBb=-3cosCc,則角A的最大值為()A.6B.4C.3D.2答案A3.(2018四川成都摸底考試,11)ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且asin A-csin C=(a-b)sin B,c=3,則ABC的面積的最大值為()A.38B.34C.938D.934答案D4.(2017湖南長沙長郡中學12月模擬,6)ABC的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a=3,b=6,A=6,則B=()A.4B.4或34C.3或23D.3答案B5.(人教A必5,一,1,B2,變式)ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若滿足c=2,acos C=csin A的三角形ABC有兩個,則邊BC的長度的取值范圍是()A.(1,2)B.(1,3)C.(3,2)D.(2,2)答案D6.(2016云南昆明三中月考,8)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若ABC的面積為S,且2S=(a+b)2-c2,則tan C等于()A.34B.43C.-43D.-34答案C二、填空題(共5分)7.(2017山西五校聯(lián)考,15)已知ABC的面積為S,三內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若4S+a2=b2+c2,則sin C-cosB+4取最大值時,C=.答案4三、解答題(共35分)8.(2018湖北重點高中期中聯(lián)考,21)在ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且ca-b=sinA+sinBsinA-sinC.(1)求角B的大小;(2)點D滿足BD=3BC,且AD=2,求3a+c的取值范圍.解析(1)ca-b=sinA+sinBsinA-sinC,由正弦定理得ca-b=a+ba-c,(2分)c(a-c)=(a+b)(a-b),即a2+c2-b2=ac,又a2+c2-b2=2accos B,cos B=12.(4分)B(0,),(5分)B=3.(6分)(2)BD=3BC,BD=3a.在ABD中,由余弦定理知c2+(3a)2-23accos 3=22,(3a+c)2-4=33ac.(7分)a>0,c>0,3ac3a+c22,(3a+c)2-434(3a+c)2,即(3a+c)216,當且僅當3a=c,即a=23,c=2時取等號,所以3a+c的最大值為4.(10分)又在ABD中,3a+c>2,(11分)故3a+c的取值范圍是(2,4.(12分)9.(2018河北石家莊摸底考試,17)某學校的平面示意圖如圖中的五邊形區(qū)域ABCDE,其中三角形區(qū)域ABE為生活區(qū),四邊形區(qū)域BCDE為教學區(qū),AB,BC,CD,DE,EA,BE為學校的主要道路(不考慮寬度).BCD=CDE=23,BAE=3,DE=3BC=3CD=910 km.(1)求道路BE的長度;(2)求生活區(qū)ABE的面積的最大值.解析(1)如圖,連接BD,在BCD中,BD2=BC2+CD2-2BCCDcosBCD=27100,BD=3310 km.BC=CD,BCD=23,CBD=CDB=-232=6,又CDE=23,BDE=2.在RtBDE中,BE=BD2+DE2=33102+9102=335(km).故道路BE的長度為335 km.(6分)(2)設(shè)ABE=,BAE=3,AEB=23-.在ABE中,ABsinAEB=AEsinABE=BEsinBAE=335sin 3=65,AB=65sin23-km,AE=65sin km.(8分)SABE=12ABAEsin 3=9325sin23-sin =932512sin2-6+14km2,0<<23,-6<2-6<76.當2-6=2,即=3時,SABE取得最大值,最大值為932512+14=273100 km2,故生活區(qū)ABE面積的最大值為273100 km2.(12分)10.(2017山西、河南、河北三省12月聯(lián)考,17)如圖,在ABC中,sin C=154,且2<C<,AB=8,若12sinBAC=ABsin B.(1)求ABC的面積;(2)已知D在線段BC上,且BAD=CAD,求sinCAD的值以及AD的長.解析(1)記AC=b,BC=a,AB=c,因為sin C=154,且2<C<,所以cos C=-1-sin2C=-14.因為12sinBAC=ABsin B,且AB=8,所以12sinBAC=8sin B,由正弦定理得3a=2b.在ABC中,c2=a2+b2-2abcos C=a2+9a24+2a3a21464=4a2,解得a=4,又3a=2b,故b=6.故ABC的面積S=12absin C=1246154=315.(2)依(1)得cosBAC=b2+c2-a22bc=78,又由已知得cosBAC=1-2sin2CAD,所以sinCAD=14,故sinADC=sin(DAC+C)=14-14+154154=78,故ADsinC=ACsinADCAD154=678AD=12157.C組20162018年模擬方法題組方法1正弦定理和余弦定理的應用方法1.(2017廣東七校第一次聯(lián)考,7)在ABC中,a,b,c是角A,B,C的對邊,若a,b,c成等比數(shù)列,A=45,則bsinBc=()A.12B.32C.22D.34答案C2.(2018豫北、豫南精英對抗賽,16)已知銳角ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,其外接圓半徑為233,b=2,則ABC的周長的取值范圍是.答案(2+23,63.(2018河南信陽第一次質(zhì)檢,20)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且sin A+3cos A=2.(1)求角A的大小;(2)現(xiàn)給出三個條件:a=2;B=45;c=3b.試從中選出兩個可以確定ABC的條件,寫出你的選擇,并以此為依據(jù)求ABC的面積.(只寫出一個方案即可)解析(1)sin A+3cos A=2可化為2sinA+3=2,所以sinA+3=1.因為0<A<,所以A+3=2,所以A=6.(2)方案一:選擇.在ABC中,由正弦定理得b=asinBsinA=2sin45sin30=22.因為sin C=sin(A+B)=1222+3222=2+64,所以ABC的面積為12absin C=122226+24=3+1.方案二:選擇.在ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+3b2-23b2cos6=b2=4,所以b=2,所以c=23.所以ABC的面積為12bcsin A=12223sin 6=3.說明:若選擇,則由c=3b可得sin C=3sin B=62>1,故這樣的ABC不存在.4.(2017河北唐山一模,17)已知ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,a2-ab-2b2=0.(1)若B=6,求A,C;(2)若C=23,c=14,求SABC.解析(1)由已知B=6,a2-ab-2b2=0結(jié)合正弦定理化簡整理得2sin2A-sin A-1=0,于是sin A=1或sin A=-12(舍).因為0<A<,所以A=2,又A+B+C=,所以C=-2-6=3.(2)由題意及余弦定理可知a2+b2+ab=196,由a2-ab-2b2=0得(a+b)(a-2b)=0,因為a+b>0,所以a-2b=0,即a=2b,聯(lián)立解得b=27,a=47.所以SABC=12absin C=143.方法2三角形形狀的判斷方法5.(2018湖南師大附中12月月考,6)在ABC中,若bcosCccosB=1+cos2C1+cos2B,則ABC的形狀是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D6.(2017湖北荊州中學12月模擬,9)a,b,c為ABC三邊長,a1,b<c,若log(c+b)a+log(c-b)a=2log(c+b)alog(c-b)a,則ABC的形狀為()A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.無法確定答案B7.(2016江西豐城中學月考,10)在ABC中,已知2acos B=c,sin Asin B(2-cos C)=sin2C2+12,則ABC為()A.等邊三角形B.鈍角三角形C.銳角非等邊三角形D.等腰直角三角形答案D方法3解三角形應用題的方法8.(2017湖北七校聯(lián)考,16)三國魏人劉徽自撰海島算經(jīng),專論測高望遠.其中有一題:今有望海島,立兩表齊,高三丈,前后相去千步,令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步,人目著地取望島峰,與表末參合.從后表卻行一百二十七步,人目著地取望島峰,亦與表末參合.問島高及去表各幾何?譯文如下:要測量海島上一座山峰A的高度AH,立兩根高均為3丈的標桿BC和DE,前后標桿相距1 000步,使后標桿桿腳D與前標桿桿腳B與山峰腳H在同一直線上,從前標桿桿腳B退行123步到F,人眼著地觀測到島峰,A、C、F三點共線,從后標桿桿腳D退行127步到G,人眼著地觀測到島峰,A、E、G三點也共線,則島峰的高度AH=步.(古制:1步=6尺,1里=180丈=1 800尺=300步)答案1 2559.(2016吉林五校第一次聯(lián)考,14)2015年8月6日凌晨,馬來西亞總理納吉布在吉隆坡確認,7月29日在法屬留尼汪島發(fā)現(xiàn)的飛機殘骸來自515天前失聯(lián)的馬航MH370.若一架偵察機以500米/秒的速度在留尼汪島上空平行于地面勻速飛行時,發(fā)現(xiàn)飛機殘骸在偵察機前方且俯角為30的地面上,半分鐘后,偵察機發(fā)現(xiàn)飛機殘骸仍在其前方且俯角為75的地面上,則偵察機的飛行高度是米.(保留根號)答案3 750(3+1)10.(2018河南商丘九校12月聯(lián)考,20)如圖所示,某公路AB一側(cè)有一塊空地OAB,其中OA=3 km,OB=33 km,AOB=90,當?shù)卣當M在中間開挖一個人工湖OMN,其中M,N都在邊AB上(M,N不與A,B重合,M在A,N之間),且MON=30.(1)若M在距離A點2 km處,求點M,N之間的距離;(2)為節(jié)省投入資金,人工湖OMN的面積要盡可能小,試確定M的位置,使OMN的面積最小,并求出最小面積.解析(1)在OAB中,因為OA=3,OB=33,AOB=90,所以O(shè)AB=60.在OAM中,由已知及余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AOAMcos A=7,所以O(shè)M=7,所以cosAOM=OA2+OM2-AM22OAOM=277,在OAN中,sinONA=sin(A+AON)=sin(AOM+90)=cosAOM=277.在OMN中,由MNsin30=OMsinONA得MN=727712=74.故點M,N之間的距離為74 km.(2)設(shè)AOM=,0<<3.在OAM中,由OMsinOAB=OAsinOMA得OM=332sin+3.在OAN中,由ONsinOAB=OAsinONA得ON=332sin+2=332cos.所以SOMN=12OMONsinMON=12332sin+3332cos12=2716sin+3cos=278sincos+83cos2=274sin2+43cos2+43=278sin2+3+43,因為0<<3,所以2+33,所以當2+3=2,即=12時,SOMN取最小值27(2-3)4.所以應設(shè)計AOM=12,可使OMN的面積最小,最小面積是27(2-3)4 km2.