2018年秋高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.1 空間向量及其運(yùn)算 3.1.5 空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc
3.1.5空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示學(xué)習(xí)目標(biāo):1.掌握空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示,并會(huì)判斷兩個(gè)向量是否共線或垂直(重點(diǎn))2.掌握空間向量的模,夾角公式和兩點(diǎn)間距離公式,并能運(yùn)用這些公式解決簡單幾何體中的問題(重點(diǎn),難點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1空間向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示設(shè)a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則如下表所示:運(yùn)算坐標(biāo)表示加法ab(a1b1,a2b2,a3b3)減法ab(a1b1,a2b2,a3b3)數(shù)乘a(a1,a2,a3),R數(shù)量積aba1b1a2b2a3b32.空間向量的平行、垂直、模與夾角公式的坐標(biāo)表示設(shè)a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),則平行(ab)ab(b0)ab垂直(ab)abab0a1b1a2b2a3b30(a,b均為非零向量)模|a|夾角公式cosa,b思考:若a(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3),則ab一定有成立嗎?提示當(dāng)b1,b2,b3均不為0時(shí),成立3向量的坐標(biāo)及兩點(diǎn)間的距離公式在空間直角坐標(biāo)系中,設(shè)A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2),則(1)(a2a1,b2b1,c2c1);(2)dAB|.基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)若a(1,2,1),ab(1,2,1),則b(2,4,2)()(2)若a(1,2,0),b(2,0,1),則|a|b|.()(3)若a(0,0,1),b(1,0,0)則ab.()(4)在空間坐標(biāo)系中,若A(1,2,3),B(4,5,6),則(3,3,3)()答案(1)(2)(3)(4)2已知向量a(3,2,1),b(2,4,0),則4a2b等于()A(16,0,4)B(8,16,4)C(8,16,4)D(8,0,4)D4a(12,8,4),2b(4,8,0),4a2b(8,0,4)3已知向量a(1,1,0),b(1,0,2),且kab與2ab互相垂直,則k() 【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342154】A1 B CDDkab(k1,k,2),2ab(3,2,2),且(kab)(2ab)3(k1)2k40,解得k.4若點(diǎn)A(0,1,2),B(1,0,1),則_,_.(1,1,1)(1,1,1),|.合 作 探 究攻 重 難空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若向量a(1,1,x),b(1,2,1),c(1,1,1)滿足條件(ca)(2b)2,則x_.(2)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),且A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(2,1,2),(4,5,1),(2,2,3),求適合下列條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);();()解析(1)ca(0,0,1x),2b(2,4,2),由(ca)2b2得2(1x)2,解得x2.答案2(2)(2,6,3),(4,3,1)()(6,3,4),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.設(shè)P(x,y,z),則(x2,y1,z2)(),解得x5,y,z0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.規(guī)律方法1.一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)2在確定了向量的坐標(biāo)后,使用空間向量的加減、數(shù)乘、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算就可以了,但要熟練應(yīng)用下列有關(guān)乘法公式:(1)(ab)2a22abb2;(2)(ab)(ab)a2b2.跟蹤訓(xùn)練1已知a(2,1,2),b(0,1,4)求:(1)ab;(2)ab;(3)ab;(4)2a(b);(5)(ab)(ab)解(1)ab(2,1,2)(0,1,4)(20,11,24)(2,2,2)(2)ab(2,1,2)(0,1,4)(20,1(1),24)(2,0,6)(3)ab(2,1,2)(0,1,4)20(1)(1)(2)47.(4)2a(4,2,4),(2a)(b)(4,2,4)(0,1,4)40(2)1(4)(4)14.(5)(ab)(ab)a2b2414(0116)8.利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解決平行、垂直問題已知空間三點(diǎn)A(2,0,2),B(1,1,2),C(3,0,4)設(shè)a,b.(1)若|c|3,c,求c;(2)若kab與ka2b互相垂直,求k.思路探究(1)根據(jù)c,設(shè)c,則向量c的坐標(biāo)可用表示,再利用|c|3求值;(2)把kab與ka2b用坐標(biāo)表示出來,再根據(jù)數(shù)量積為0求解解(1)(2,1,2)且c,設(shè)c(2,2)(R)|c|3|3.解得1.c(2,1,2)或c(2,1,2)(2)a(1,1,0),b(1,0,2),kab(k1,k,2),ka2b(k2,k,4)(kab)(ka2b),(kab)(ka2b)0,即(k1,k,2)(k2,k,4)2k2k100,解得k2或k.規(guī)律方法向量平行與垂直問題主要有兩種題型:(1)平行與垂直的判斷;(2)利用平行與垂直求參數(shù)或解其他問題,即平行與垂直的應(yīng)用.解題時(shí)要注意:適當(dāng)引入?yún)?shù)(比如向量a,b平行,可設(shè)ab),建立關(guān)于參數(shù)的方程;最好選擇坐標(biāo)形式,以達(dá)到簡化運(yùn)算的目的.跟蹤訓(xùn)練2已知a(1,1,2),b(6,2m1,2)(1)若ab,分別求與m的值;(2)若|a|,且與c(2,2,)垂直,求a. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342155】解(1)由ab,得(1,1,2)k(6,2m1,2),解得實(shí)數(shù),m3.(2)|a|,且ac,化簡,得解得1.因此,a(0,1,2).空間向量夾角與長度的計(jì)算探究問題1已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo)是多少?提示:P2設(shè)異面直線AB,CD所成的角為,則cos cos,一定成立嗎?提示:當(dāng)cos,0時(shí),cos cos,當(dāng)cos,<0時(shí),cos cos,如圖3138所示,在直三棱柱ABCA1B1C1中,CACB1,BCA90,棱AA12,M,N分別為A1B1,A1A的中點(diǎn)圖3138(1)求BN的長;(2)求A1B與B1C所成角的余弦值;(3)求證:BN平面C1MN.思路探究解(1)如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz.依題意得B(0,1,0),N(1,0,1),|,線段BN的長為.(2)依題意得A1(1,0,2),C(0,0,0),B1(0,1,2),(1,1,2),(0,1,2),10(1)1223.又|,|.cos,.故A1B與B1C所成角的余弦值為.(3)證明:依題意得A1(1,0,2),C1(0,0,2),B(0,1,0),N(1,0,1),M,(1,0,1),(1,1,1),1(1)010,110(1)(1)10.,BNC1M,BNC1N,又C1MC1NC1,C1M平面C1MN,C1N平面C1MN,BN平面C1MN.規(guī)律方法 向量夾角的計(jì)算步驟(1)建系:結(jié)合圖形建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,建系原則是讓盡可能多的點(diǎn)落到坐標(biāo)軸上(2)求方向向量:依據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求出方向向量的坐標(biāo)(3)代入公式:利用兩向量的夾角公式將方向向量的坐標(biāo)代入求出夾角跟蹤訓(xùn)練3如圖3139所示,已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長都等于a,點(diǎn)M,N分別是AB,CD的中點(diǎn)圖3139(1)求證:MNAB,MNCD;(2)求異面直線AN與CM所成角的余弦值解(1)證明:設(shè)p,q,r.由題意可知,|p|q|r|a,且p,q,r三個(gè)向量兩兩夾角均為60.()(qrp),(qrp)p(qprpp2)(a2cos 60a2cos 60a2)0.,即MNAB同理可證MNCD(2)設(shè)向量與的夾角為.()(qr),qp,(qr).又|a,|cos aacos .cos .向量與的夾角的余弦值為,從而異面直線AN與CM所成角的余弦值為.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1已知向量a(1,1,0),b(1,0,2),則|3ab|為()A B4C5 DD3ab3(1,1,0)(1,0,2)(3,3,0)(1,0,2)(2,3,2),故|3ab|.2已知A(3,3,3),B(6,6,6),O為原點(diǎn),則與的夾角是()A0 BCD2B(3,3,3),(6,6,6)則BO33(6)54,|3,|6所以cos,1,所以,.3已知a(1,x,3),b(2,4,y),若ab,則xy_.4ab,ba.xy4.4若a(2,3,1),b(2,1,3),則以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào):46342156】6ab2(2)31(1)34,|a|,|b|,cosa,b.sina,b.因此以a,b為鄰邊的平行四邊形的面積為|a|b|sina,b6.5在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是D1D,BD的中點(diǎn),G在棱CD上,且CGCD,H是C1G的中點(diǎn)利用空間向量解決下列問題:(1)求EF與B1C所成的角;(2)求EF與C1G所成角的余弦值;(3)求F,H兩點(diǎn)間的距離解如圖所示,以DA,DC,DD1為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則D(0,0,0),E,F(xiàn),C(0,1,0),C1(0,1,1),B1(1,1,1),G.(1),(1,0,1),(1,0,1)(1)0(1)0.,即EFB1CEF與B1C所成的角為90.(2)因?yàn)?則|.又|,且,cos,即EF與C1G所成角的余弦值為.(3)H是C1G的中點(diǎn),H.又F,F(xiàn)H|.