2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一篇 微型專題 微專題10 平行與垂直的證明練習(xí) 理.docx

10平行與垂直的證明1.下列條件中,能判斷平面的是().存在一條直線a,a,a;存在兩條異面直線a,b,a,b,a,b;內(nèi)存在不共線的三點(diǎn)到的距離相等;l,m是兩條異面直線,且l,m,l,m.A.B.C.D.解析中兩平面可能相交,故選B.答案B2.給出下列四個(gè)命題,其中假命題的個(gè)數(shù)是().垂直于同一條直線的兩條直線平行;垂直于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面互相平行;如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面相互垂直;兩個(gè)平面垂直,過其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作與它們交線垂直的直線,此直線必垂直于另一個(gè)平面.A.1B.2C.3D.4解析錯(cuò),可以相交;錯(cuò),可以相交、平行;正確;錯(cuò),直線在平面內(nèi)才垂直,否則不垂直.故選C.答案C3.設(shè)m,n是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,則下列命題中正確的是().A.若,m,n,則mnB.若m,mn,n,則C.若mn,m,n,則D.若,m,n,則mn解析若,m,n,則m與n相交、平行或異面,故A錯(cuò)誤;m,mn,n,又n,故B正確;若mn,m,n,則或與相交,故C錯(cuò)誤;若,m,n,則mn或m與n異面,故D錯(cuò)誤.故選B.答案B4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,與AD1異面且與AD1成60的面對(duì)角線共有條.解析與AD1異面的面對(duì)角線有A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,共5條,其中與B1C成90,其余成60.答案4能力1能準(zhǔn)確判斷點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系【例1】如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,點(diǎn)M,N分別是AB,A1B1的中點(diǎn).(1)求證:BN平面A1MC.(2)若A1MAB1,求證:AB1A1C.解析(1)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱,所以ABA1B1,且AB=A1B1.又點(diǎn)M,N分別是AB,A1B1的中點(diǎn),所以MB=A1N,且MBA1N.所以四邊形A1NBM是平行四邊形,從而BNA1M,又BN平面A1MC,A1M平面A1MC,所以BN平面A1MC.(2)因?yàn)锳BC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1底面ABC,而AA1側(cè)面ABB1A1,所以側(cè)面ABB1A1底面ABC.又CA=CB,且M是AB的中點(diǎn),所以CMAB.則由側(cè)面ABB1A1底面ABC,側(cè)面ABB1A1底面ABC=AB,CMAB,且CM底面ABC,得CM側(cè)面ABB1A1.又AB1側(cè)面ABB1A1,所以AB1CM.又AB1A1M,A1M,MC平面A1MC,且A1MMC=M,所以AB1平面A1MC.又A1C平面A1MC,所以AB1A1C.正確運(yùn)用平面的基本性質(zhì),線線、線面平行或垂直等性質(zhì)定理和判定定理進(jìn)行判斷.如圖所示,AB為O的直徑,點(diǎn)C在O上(不與A,B重合),PA平面ABC,點(diǎn)E,F分別為線段PC,PB的中點(diǎn).G為線段PA上(除點(diǎn)P外)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)求證:BC平面GEF.(2)求證:BCGE.解析(1)因?yàn)辄c(diǎn)E,F分別為線段PC,PB的中點(diǎn),所以EFCB,又EF平面GEF,點(diǎn)G不與點(diǎn)P重合,CB平面GEF,所以BC平面GEF.(2)因?yàn)镻A平面ABC,CB平面ABC,所以BCPA.又因?yàn)锳B是O的直徑,所以BCAC.又PAAC=A,所以BC平面PAC,且GE平面PAC,所以BCGE.能力2能正確運(yùn)用線線、線面平行與垂直的性質(zhì)定理及判定定理解題【例2】如圖,在梯形ABCD中,BAD=ADC=90,CD=2,AD=AB=1,四邊形BDEF為正方形,且平面BDEF平面ABCD.(1)求證: DFCE.(2)若AC與BD相交于點(diǎn)O,則在棱AE上是否存在點(diǎn)G,使得平面OBG平面EFC?并說明理由.解析(1)連接EB.在梯形ABCD中,BAD=ADC=90,AB=AD=1,DC=2,BD=2,BC=2,BD2+BC2=CD2,BCBD.又平面BDEF平面ABCD,平面BDEF平面ABCD=BD,BC平面ABCD,BC平面BDEF,BCDF.又在正方形BDEF中,DFEB且EB,BC平面BCE,EBBC=B,DF平面BCE.CE平面BCE,DFCE.(2)在棱AE上存在點(diǎn)G,使得平面OBG平面EFC,且AGGE=12.證明如下:在梯形ABCD中,BAD=ADC=90,AB=1,DC=2,ABDC,AOOC=ABDC=12.又AGGE=12,OGCE.在正方形BDEF中,EFOB,且OB,OG平面EFC,EF,CE平面EFC,OB平面EFC,OG平面EFC.OBOG=O,且OB,OG平面OBG,平面OBG平面EFC.高考中立體幾何部分不斷出現(xiàn)了一些具有探索性、開放性的試題,對(duì)于這類問題一般可用綜合推理的方法、分析法、特殊化法等方法來解決.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為平行四邊形,DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.(1)證明:PABD.(2)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值.解析(1)DAB=60,AB=2AD,由余弦定理得BD=3AD,BD2+AD2=AB2,BDAD.又PD平面ABCD,BDPD,BD平面PAD,PABD.(2)如圖,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng),DA,DB,DP的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz,則A(1,0,0),B(0,3,0),P(0,0,1),C(-1,3,0),AB=(-1,3,0),PB=(0,3,-1),BC=(-1,0,0).設(shè)平面PAB的法向量為n=(x1,y1,z1),則nAB=0,nPB=0,即-x1+3y1=0,3y1-z1=0,取y1=1,則x1=3,z1=3, n=(3,1, 3).設(shè)平面PBC的法向量為m=(x2,y2,z2),則mBC=0,mPB=0,即-x2=0,3y2-z2=0,取y2=-1,則x2=0,z2=-3,m=(0,-1,-3),cos<m,n>=-427=-277, 易知二面角A-PB-C為鈍角,故二面角A-PB-C的余弦值為-277.能力3能求解線線角、線面角、面面角【例3】如圖,在四棱錐P-ABCD中, PA=PD=AD=2CD=2BC=2,且ADC=BCD=90.(1)當(dāng)PB=2時(shí),證明:平面PAD平面ABCD;(2)當(dāng)四棱錐P-ABCD的體積為34,且二面角P-AD-B為鈍角時(shí),求直線PA與平面PCD所成角的正弦值.解析(1)取AD的中點(diǎn)O,連接PO,BO,PAD為正三角形,OPAD.ADC=BCD=90,BCAD.BC=12AD=1,BC=OD,四邊形BCDO為矩形,OB=CD=1.又在POB中,PO=3,OB=1,PB=2,PO2+OB2=PB2,POB=90,POOB.ADOB=O,PO平面ABCD,又PO平面PAD,平面PAD平面ABCD.(2)ADPO,ADOB, POBO=O,PO,BO平面POB,AD平面POB.AD平面ABCD,平面POB平面ABCD,過點(diǎn)P作PE平面ABCD,垂足E一定落在平面POB與平面ABCD的交線BO的延長(zhǎng)線上.四棱錐P-ABCD的體積為34,VP-ABCD=13PE12(AD+BC)CD=13PE12(2+1)1=12PE=34,PE=32.PO=3,OE=PO2-PE2=3-94=32.如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OA,OB的方向?yàn)閤軸,y軸的正方向,平面POB內(nèi)過點(diǎn)O垂直于平面AOB的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,由題意可知A(1,0,0),P0,-32,32,D(-1,0,0),C(-1,1,0),DP=1,-32,32,DC=(0,1,0),PA=1,32,-32.設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z),則nDP=0,nDC=0,得x-32y+32z=0,y=0,令x=1,則z=-23,n=1,0,-23.設(shè)直線PA與平面PCD所成的角為,則sin =|cos<PA,n>|=|PAn|PA|n|=22133=31313.故直線PA與平面PCD所成角的正弦值為31313.求異面直線所成角,直線與平面所成角以及二面角的問題,可先作出該角,再證明所作角為所求的角,最后轉(zhuǎn)化在三角形內(nèi)求解.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩相交直線垂直法向量且數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)求出相應(yīng)角的正弦值或余弦值和距離.如圖,已知在矩形ABCD中,AB=2AD=2,M是DC的中點(diǎn),以AM為折痕,使得DC=DB.(1)求AD與BM所成的角;(2)當(dāng)N為BD的中點(diǎn)時(shí),求AN與平面ABCM所成角的正弦值.解析(1)因?yàn)樵诰匦沃?AB=2AD=2,M為DC的中點(diǎn),所以AM=BM=2,所以BMAM.取AM的中點(diǎn)O,連接DO,又DA=DM,所以DOAM.取BC的中點(diǎn)H,連接OH,DH,則OHAB,所以O(shè)HBC.因?yàn)镈C=DB,所以BCDH.又DHOH=H,所以BC平面DOH,所以BCDO,所以DO平面ABCM,又DO平面ADM,所以平面ADM平面ABCM.因?yàn)槠矫鍭DM平面ABCM=AM,BM平面ABCM,AMBM,所以BM平面ADM.因?yàn)锳D平面ADM,所以ADBM,即AD與BM所成角的大小為90.(2)如圖,作NPOB交OB于點(diǎn)P,連接AP,由(1)可知,NAP為所求角.因?yàn)镹為中點(diǎn),所以NP=12DO=24.又DH2=DO2+OH2,所以DH=112,DB=3.又因?yàn)镈B2+AD2=AB2,所以ADB=90,所以在直角三角形ADB中,AN=AD2+DN2=12+322=72.故所求角的正弦值為NPAN=1414.能力4能求解線面平行與垂直的綜合問題【例4】在如圖所示的多面體ABEDC中,已知ABDE,ABAD,ACD是正三角形,AD=DE=2AB=2,BC=5, F是CD的中點(diǎn).(1)求證: AF平面BCE.(2)求證:平面BCE平面CDE.(3)求點(diǎn)D到平面BCE的距離.解析(1)取CE的中點(diǎn)M,連接BM,MF,利用三角形的中位線,得MFAB,MF=AB,即四邊形ABMF為平行四邊形,MBAF.BM平面BCE,AF平面BCE,AF平面BCE.(2)ACD是正三角形,AC=AD=CD=2,在ABC中, AB=1,AC=2,BC=5,AB2+AC2=BC2,故ABAC,DEAC.又DEAD,ACAD=A,DE平面ACD,DEAF.又AFCD,由(1)得BMAF,DEBM, BMCD,DECD=D,BM平面CDE,BM平面BCE,平面BCE平面CDE.(3)連接DM,DE=DC,DMCE.由(2)知,平面BCE平面CDE,DM平面BCE,DM為點(diǎn)D到平面BCE的距離,DM=2,點(diǎn)D到平面BCE的距離為2.立體幾何中往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、距離、體積的計(jì)算.在計(jì)算問題中,常用“幾何法”.利用幾何法,要遵循“一作、二證、三計(jì)算”的步驟,熟悉空間中點(diǎn)線、面的位置關(guān)系及判定方法,掌握體積、距離的求法,靈活使用面面垂直、線面垂直等性質(zhì)定理.如圖,在四棱錐P-ABCD中,PAAD,ABCD,CDAD,AD=CD=2AB=2,E,F分別為PC,CD的中點(diǎn),DE=EC.(1)求證:平面ABE平面BEF.(2)設(shè)PA=a,若平面EBD與平面ABCD所成銳二面角4,3,求a的取值范圍.解析(1)ABCD,CDAD,AD=CD=2AB=2,F為CD的中點(diǎn),四邊形ABFD為矩形,ABBF.DE=EC,DCEF,又ABCD,ABEF.BFEF=F,AB平面BEF,又AB平面ABE,平面ABE平面BEF.(2)DE=EC,DCEF.又PDEF,ABCD,ABPD.CDAD,ABAD,又ADPD=D,AB平面PAD,ABPA.以AB為x軸的正方向,AD為y軸的正方向,AP為z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,a),C(2,2,0),E1,1,a2.設(shè)平面BCD的一個(gè)法向量為n1=(0,0,1),可求得平面EBD的一個(gè)法向量為n2=(2a,a,-2),則cos =-25a2+412,22,可得a255,2155.一、選擇題1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,給出以下四個(gè)結(jié)論,錯(cuò)誤的是().A.直線D1C平面A1ABB1B.直線A1D1與平面BCD1相交C.直線AD不與平面D1DB垂直D.平面BCD1平面A1ABB1解析因?yàn)镈1CA1B,D1C平面A1ABB1,所以A正確;因?yàn)橹本€A1D1在平面BCD1內(nèi),所以B錯(cuò)誤;因?yàn)锳D與BD不垂直,所以C正確;因?yàn)锽C平面ABB1A1,BC平面D1BC,所以D正確.故選B.答案B2.已知a,b是直線,是平面,下列說法正確的是().A.若ab,則a平行于經(jīng)過b的任何平面B.若a,則a與內(nèi)任何直線平行C.若a不平行于,則內(nèi)不存在與a平行的直線D.若ab,a,b,則b解析A錯(cuò),不能平行a,b所構(gòu)成的平面;B錯(cuò),存在異面情況;C錯(cuò),a可以在平面內(nèi),這樣就找得到直線平行;D對(duì).故選D.答案D3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,二面角D1-AC-B的余弦值是().A.63B.-63C.33D.-33解析連接BD,交AC于O,連接D1O,易知D1OB為所求二面角的平面角.在RtD1DO中,求得D1OB的補(bǔ)角的余弦值為33,所以選D.解析D4.已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形,PA平面ABC,PA=AB,則直線PD與平面ABC所成角的正切值為().A.2B.12C.2D.22解析如圖,PD與平面ABC所成角為PDA,在RtPAD中,AD=2PA,所以tanPDA=PAAD=12,故選B.答案B5.設(shè),是三個(gè)不同的平面,a,b,c是三條不同的直線,下列四個(gè)命題正確的是().A.若a,b,ab,則B.若a,b,=c,a,b,則abC.若,則或D.若ab,ac,b,c,則a解析A錯(cuò),兩個(gè)平面可以相交;C錯(cuò),兩個(gè)平面可以相交;D錯(cuò),a可以與平面相交或在平面內(nèi),故選B.答案B6.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=26,過直線B1D1的平面平面A1BD,則平面截該正方體所得的截面的面積為().A.66B.126C.123D.182解析如圖,設(shè)B1D1A1C1=F,AA1的中點(diǎn)為E,連接EF,由中位線定理得EFAC1,由正方體的性質(zhì)可知,AC1BD,AC1A1D,又BDA1D=D,所以AC1平面A1BD,進(jìn)而EF平面A1BD.因?yàn)镋F平面EB1D1,所以平面EB1D1平面A1BD,所以平面EB1D1就是所求的平面,SEB1D1=124332=66.故答案為66.答案A7.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC將ABC折起,當(dāng)平面ABC平面ACD時(shí),四面體ABCD的外接球的體積是().A.12512B.1259C.1256D.1253解析設(shè)矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn)為點(diǎn)O,由矩形的性質(zhì)結(jié)合題意可知,OA=OB=OC=OD=1232+42=52.在翻折過程中OA,OB,OC,OD長(zhǎng)度不變,據(jù)此可知點(diǎn)O為球心,外接球的半徑R=OA=52,外接球的體積V=43R3=431258=1256.故選C.答案C8.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,DAB=60,PD平面ABCD,PD=AD=2,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),則點(diǎn)A到平面PEC的距離為().A.1510B.3010C.55D.105解析設(shè)點(diǎn)A到平面PEC的距離為d.連接ED,取PC的中點(diǎn)Q,連接EQ,AC.由題意知,在EBC中,EC=EB2+BC2-2EBBCcosEBC=1+4+21212=7,在PDE中,PE=PD2+DE2=7,在PDC中,PC=PD2+CD2=22,故EQPC,可得EQ=5,SPEC=12225=10,SAEC=1213=32,所以由VA-PEC=VP-AEC,得1310d=13322,解得d=3010,故選B.答案B9.已知ABC的頂點(diǎn)A平面,點(diǎn)B,C在平面同側(cè),且AB=2,AC=3,若AB,AC與所成的角分別為3,6,則線段BC長(zhǎng)度的取值范圍為().A.2-3,1B.1,7C.7,7+23D.1,7+23解析如圖,過點(diǎn)B,C作平面的垂線,垂足分別為M,N,則四邊形BMNC為直角梯形.在平面BMNC內(nèi),過點(diǎn)C作CEBM,交BM于點(diǎn)E.又因?yàn)锽M=2sinBAM=2sin3=3,AM=2cos3=1,CN=3sinCAN=3sin6=32,AN=3cos6=32,所以BE=BM-CN=32,故BC2=MN2+34.又因?yàn)锳N-AMMNAM+AN,即12MN52,所以1BC27,即1BC7,故選B.答案B二、填空題10.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AD=6AA1,AC,BD交于點(diǎn)O,則D1O與平面A1B1C1D1所成的角為.解析由上下兩平面平行,易知D1OD為所求角.設(shè)AA1=1,則AD=6AA1=6,底面是正方形,所以DO=3,tanD1OD=DD1DO=13=33,故所成的角為30.答案3011.若一個(gè)n面體中有m個(gè)面是直角三角形,則稱這個(gè)n面體的直度為mn,如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,四面體A1-ABC的直度為.解析由長(zhǎng)方體易知A1AB,A1BC,ABC,A1AC為直角,所以四個(gè)面都是直角三角形,故直度為1.答案112.如圖,在正方形ABCD中,EFAB,若沿EF將正方形折成一個(gè)二面角后,AEEDAD=112,則AF與CE所成角的余弦值為.解析折后有AEDEAD=112,DEAE.由題意得DEEF,AEEF,如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)AB=EF=CD=2,則E(0,0,0),A(1,0,0),F(0,2,0),C(0,2,1),AF=(-1,2,0),EC=(0,2,1),cos<AF,EC>=45,AF與CE所成角的余弦值為45.答案45三、解答題13.在如圖所示的多面體ABEDC中,AB平面ACD,DE平面ACD,AC=AD=CD=DE=2, AB=1,G為AD的中點(diǎn).(1)請(qǐng)?jiān)诰€段CE上找到點(diǎn)F的位置,使得直線BF平面ACD,并給予證明;(2)求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小;(3)求點(diǎn)G到平面BCE的距離.解析以D點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,使得x軸和z軸的正半軸分別經(jīng)過點(diǎn)A和點(diǎn)E, 則各點(diǎn)的坐標(biāo)為D(0,0,0),A(2,0,0),E(0,0,2),B (2,0,1),C(1,3,0),(1)當(dāng)點(diǎn)F是線段CE的中點(diǎn)時(shí),BF平面ACD,證明如下: 設(shè)F是線段CE的中點(diǎn),則點(diǎn)F的坐標(biāo)為12,32,1,BF=-32,32,0, 顯然BF與平面xDy平行,BF平面ACD.(2)設(shè)平面BCE的法向量為n=(x,y,z), 則nCB,且nCE.又CB=(1,-3,1),CE=(-1,-3,2), x-3y+z=0,-x-3y+2z=0,不妨設(shè)y=3,則x=1,z=2,即n=(1,3,2),取平面ACD的一個(gè)法向量為(0,0,1),所求角滿足cos =n(0,0,1)|n|=2221=22,=4.(3)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1,0,0),BG=(-1,0,-1),由(2)可知平面BCE的一個(gè)法向量為n=(1,3,2),所求距離d=BGn|n|=|-1-2|22=324.