2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 專(zhuān)題2.4 等比數(shù)列試題 新人教A版必修5.doc

2.4 等比數(shù)列1等比數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于_，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示定義也可敘述為：在數(shù)列中，若為常數(shù)且，則是等比數(shù)列2等比中項(xiàng)如果在與中間插入一個(gè)數(shù)，使，成等比數(shù)列，那么_叫做與的等比中項(xiàng)3等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則這個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是4等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)（1）等比數(shù)列的圖象等比數(shù)列的通項(xiàng)公式還可以改寫(xiě)為，當(dāng)且時(shí)，是指數(shù)函數(shù)，是指數(shù)型函數(shù)，因此數(shù)列的圖象是函數(shù)的圖象上一些孤立的點(diǎn)例如，教材第50頁(yè)【探究】（2），的圖象如下圖所示 （2）等比數(shù)列的單調(diào)性已知等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則當(dāng)或時(shí)，是_數(shù)列；當(dāng)或時(shí)，是_數(shù)列；當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列；當(dāng)時(shí)，為擺動(dòng)數(shù)列，所有的奇數(shù)項(xiàng)（偶數(shù)項(xiàng)）同號(hào)，奇數(shù)項(xiàng)與偶數(shù)項(xiàng)異號(hào)K知識(shí)參考答案：1同一常數(shù)234遞增 遞減K重點(diǎn)等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式、性質(zhì)的理解與簡(jiǎn)單應(yīng)用K難點(diǎn)靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)解決一些相關(guān)問(wèn)題K易錯(cuò)對(duì)等比數(shù)列的定義理解不深刻、忽略等比數(shù)列問(wèn)題中的隱含條件等比數(shù)列的判定與證明判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列的方法：（1）定義法：判斷是否為常數(shù)；（2）等比中項(xiàng)法：判斷是否成立；（3）通項(xiàng)公式法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式形如，則數(shù)列是等比數(shù)列（1）若的通項(xiàng)公式為，試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列（2）若成等比數(shù)列，均不為零，求證：成等比數(shù)列【答案】（1）是等比數(shù)列，證明見(jiàn)解析；（2）成等比數(shù)列，證明見(jiàn)解析【解析】（1），4為非零常數(shù)，由定義可知是等比數(shù)列（2）由成等比數(shù)列，可設(shè)，因?yàn)榫粸榱?，所以，所以成等比?shù)列【名師點(diǎn)睛】不能僅由數(shù)列的前有限項(xiàng)成等比數(shù)列得出數(shù)列是等比數(shù)列，而要否定一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，只需得到其連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用（1）在等比數(shù)列中，若則_；（2）在等比數(shù)列中，已知若，則_【答案】（1）；（2）【解析】（1）方法1：因?yàn)?，所以，兩式相除得，即，于是，所以方?：因?yàn)?，所以，即，所以?）方法1：因?yàn)?，兩式相除得，所以，由，可得，解得方?：因?yàn)?，所以，由可得，由，可得，解得【名師點(diǎn)睛】（1）已知數(shù)列為等比數(shù)列時(shí)，可利用條件構(gòu)建方程（組）求出基本量與，即可寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)已知等比數(shù)列中的某項(xiàng)，求出公比后，可繞過(guò)求而直接寫(xiě)出其通項(xiàng)公式，即等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，由等比數(shù)列的定義可得等比數(shù)列具有如下性質(zhì)：（1）若，則；若，則推廣：若，則（2）若成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列（3）數(shù)列仍是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列是公比為的等比數(shù)列（4）成等比數(shù)列，公比為（5）連續(xù)相鄰項(xiàng)的和（或積）構(gòu)成公比為或的等比數(shù)列已知等比數(shù)列滿(mǎn)足（1）若則_；（2）若，則當(dāng)時(shí)，_【答案】（1）6；（2）【解析】（1）方法1：因?yàn)橛傻缺葦?shù)列的性質(zhì)可得，所以方法2：由等比數(shù)列的性質(zhì)知成等比數(shù)列，所以，所以（2）方法1：由得又所以故方法2：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得由于所以所以【名師點(diǎn)睛】在等比數(shù)列的有關(guān)運(yùn)算中，常常涉及次數(shù)較高的指數(shù)運(yùn)算，往往是建立關(guān)于的方程組，但這樣解起來(lái)很麻煩，若能避開(kāi)求，直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解，則比較簡(jiǎn)捷，同時(shí)在應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)時(shí)，需注意等比數(shù)列性質(zhì)成立的前提條件由遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列求數(shù)列的通項(xiàng)公式（1）形如的遞推關(guān)系式利用待定系數(shù)法可化為，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列；由，兩式相減，得當(dāng)時(shí)，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列（2）形如的遞推關(guān)系式除利用待定系數(shù)法直接化歸為等比數(shù)列外，也可以?xún)蛇呁瑫r(shí)除以，進(jìn)而化歸為等比數(shù)列（1）在數(shù)列中，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)；（2）在數(shù)列中，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)【答案】（1）；（2）【解析】（1）方法1：令即與比較得，又，故數(shù)列是以4為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以方法2：因?yàn)樗运运允堑缺葦?shù)列，首項(xiàng)公比，所以即，即（2）方法1：令即與比較可得，又，所以是以4為首項(xiàng)，6為公比的等比數(shù)列，所以，即方法2：由，兩邊同時(shí)除以得由待定系數(shù)法易得故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以即【名師點(diǎn)睛】當(dāng)已知數(shù)列不是等比數(shù)列時(shí)，往往需要利用待定系數(shù)法構(gòu)造與之相關(guān)的等比數(shù)列利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出包含的關(guān)系式，進(jìn)而求得忽略等比數(shù)列中所有項(xiàng)不為零導(dǎo)致錯(cuò)誤已知等比數(shù)列的前三項(xiàng)分別為，則_【錯(cuò)解】因?yàn)闉榕c的等比中項(xiàng)，所以，解得或【錯(cuò)因分析】若，則這三項(xiàng)為，不符合等比數(shù)列的定義【正解】因?yàn)闉榕c的等比中項(xiàng)，所以，解得或由于時(shí)，所以應(yīng)舍去，故【名師點(diǎn)睛】因?yàn)榈缺葦?shù)列中各項(xiàng)均不為零，所以解題時(shí)一定要注意將所求結(jié)果代入題中驗(yàn)證，若所求結(jié)果使等比數(shù)列中的某些項(xiàng)為零，則一定要舍去忽略等比數(shù)列中項(xiàng)的符號(hào)導(dǎo)致錯(cuò)誤在等比數(shù)列中，則_【錯(cuò)解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，由可得，故【錯(cuò)因分析】錯(cuò)解中忽略了在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)或偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同這一隱含條件【正解】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，由可得，故又在等比數(shù)列中，所有的奇數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同，所以，所以【名師點(diǎn)睛】在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)或者偶數(shù)項(xiàng)的符號(hào)相同因此，在求等比數(shù)列的某一項(xiàng)或者某些項(xiàng)時(shí)要注意這些項(xiàng)的正負(fù)問(wèn)題，要充分挖掘題目中的隱含條件1已知五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則的值為ABCD2在等比數(shù)列中，則項(xiàng)數(shù)為A3B4C5D63已知等比數(shù)列為遞增數(shù)列，若，且，則數(shù)列的公比A2或BCD4已知數(shù)列是等比數(shù)列，是1和3的等差中項(xiàng)，則A16B8C2D45已知等比數(shù)列中，則的值為A2B4C8D166在等比數(shù)列中，若是方程的兩根，則的值是ABC或D7已知三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，它們的積為27，它們的平方和為91，則這三個(gè)數(shù)的和為A13B7C7或13D無(wú)法求解8已知，且是成等比數(shù)列的整數(shù)，n為大于1的整數(shù)，則下列關(guān)于，的說(shuō)法正確的是A成等差數(shù)列B成等比數(shù)列C各項(xiàng)的倒數(shù)成等差數(shù)列D以上都不對(duì)9已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，則_10在等比數(shù)列中，公比若成等差數(shù)列，則的值是_11在等比數(shù)列中，則_12已知單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿(mǎn)足，且是，的等差中項(xiàng)，則公比_，通項(xiàng)公式為_(kāi) 13已知等比數(shù)列中，求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式14已知數(shù)列滿(mǎn)足遞推式，其中（1）求；（2）求證：數(shù)列為等比數(shù)列15已知數(shù)列與等比數(shù)列滿(mǎn)足（1）試判斷是何種數(shù)列；（2）若，求16已知是等比數(shù)列，且，則ABCD17已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的首項(xiàng)都是1，公差和公比都是2，則A24B25C26D2718若等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則ABCD19各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列中，與的等比中項(xiàng)為，則的值為A4B3C2D120已知等差數(shù)列和等比數(shù)列的首項(xiàng)都是1，公差和公比都是2，則A24B25C26D8421在等比數(shù)列中，公比若成等差數(shù)列，則_22已知數(shù)列滿(mǎn)足，且，則=_23已知成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則_24等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且（1）求與；（2）求和：25已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，在數(shù)列中，且（1）設(shè)，求證：是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式26（2018北京文）“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于若第一個(gè)單音的頻率，則第八個(gè)單音頻率為ABCD27（2016四川理）某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是（參考數(shù)據(jù)：lg 1.120.05，lg 1.30.11，lg20.30）A2018年B2019年C2020年D2021年28（2017北京理）若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿(mǎn)足，則=_29（2017新課標(biāo)全國(guó)理）設(shè)等比數(shù)列滿(mǎn)足a1+a2=1,a1a3=3，則a4=_30（2018新課標(biāo)全國(guó)文）已知數(shù)列滿(mǎn)足，設(shè)（1）求，；（2）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；（3）求的通項(xiàng)公式31（2016新課標(biāo)全國(guó)文）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列滿(mǎn)足，（1）求；（2）求的通項(xiàng)公式1【答案】B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為q由題意得，又，所以，故選B2【答案】C【解析】根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式有，解得，故選C5【答案】B【解析】由題意得，所以，因?yàn)椋?，所以，所以，故選B6【答案】B【解析】由是方程的兩根有，故都為正數(shù)，而，所以，由于，所以，故選B 7【答案】C【解析】由題意，可設(shè)這三個(gè)數(shù)分別為，a，aq，則或，所以或，故這三個(gè)數(shù)為1，3，9或1，3，9或9，3，1或9，3，1故這三個(gè)數(shù)的和為13或7故選C9【答案】5【解析】因?yàn)椋詳?shù)列是以3為公比的等比數(shù)列，10【答案】【解析】由題意得或（舍去），從而11【答案】或【解析】由等比數(shù)列性質(zhì)知，又，所以，或，所以或12【答案】 【解析】由題意得，所以或（舍去），所以通項(xiàng)公式為13【答案】或【解析】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，由題意得或所以或，即或，所以或故等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為或14【答案】（1），；（2）見(jiàn)解析【解析】（1）由及知解得同理可得（2）由可得，是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列（2）因?yàn)?，所?10m，所以 16【答案】B【解析】由題意知，則，所以，故選B17【答案】B【解析】等比數(shù)列首項(xiàng)是，公比是，所以，等差數(shù)列的首項(xiàng)是，公差是，所以，故選B18【答案】C【解析】在等比數(shù)列中，所以，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算可知，故選C19【答案】B【解析】由與的等比中項(xiàng)為，得，所以，故選B20【答案】D【解析】等差數(shù)列首項(xiàng)是，公差是，所以，等比數(shù)列首項(xiàng)是，公比是，所以，故選D21【答案】【解析】由題意得或（舍去），從而22【答案】【解析】，即數(shù)列是以3為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，則，即23【答案】【解析】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，設(shè)公差為，所以，因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，即，由于與同號(hào)，所以，所以，所以24【答案】（1），；（2）【解析】（1）設(shè)的公差為，的公比為，則，依題意有解得或(舍去)，故，（2），所以25【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）因?yàn)?，所以 ，得，所以，所以，所以，所以是等比數(shù)列因?yàn)槭醉?xiàng)，所以，所以，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列（2）由（1）可知，所以故當(dāng)時(shí)，又代入上式也符合，所以26【答案】D【解析】因?yàn)槊恳粋€(gè)單音與前一個(gè)單音頻率比為，所以，又，則，故選D【名師點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是能夠判斷單音成等比數(shù)列等比數(shù)列的判斷方法主要有如下兩種：（1）定義法，若或， 數(shù)列是等比數(shù)列；（2）等比中項(xiàng)公式法，若數(shù)列中，且，則數(shù)列是等比數(shù)列 28【答案】1【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差和等比數(shù)列的公比分別為和，則，求得，那么29【答案】【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，很明顯，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和題意可得方程組：，由可得：，代入可得，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得30【答案】（1），；（2）數(shù)列是等比數(shù)列，理由見(jiàn)解析；（3）【解析】（1）由條件可得，將代入得，而，所以將代入得，所以從而，31【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意得（2）由，得因?yàn)榈母黜?xiàng)都為正數(shù)，所以，故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，因此