2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 階段復(fù)習(xí)課 第3課 平面向量學(xué)案 新人教A版必修4.doc

第三課平面向量核心速填1向量的運(yùn)算(1)加法：，若四邊形OABC為平行四邊形，則.(2)減法：.(3)數(shù)乘：|a|a|.(4)數(shù)量積：ab|a|b|cos (a與b的夾角為)2兩個(gè)重要定理(1)向量共線定理：向量a(a0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)1，2，使a1e12e2，其中e1，e2是一組基底3兩個(gè)非零向量平行、垂直的充要條件若a(x1，y1)b(x2，y2)，則：(1)abab(0)x1y2x2y10.(2)abab0x1x2y1y20.4平面向量的三個(gè)性質(zhì)(1)若a(x，y)，則|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.(3)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，為a與b的夾角，則cos .體系構(gòu)建題型探究平面向量的線性運(yùn)算(1)平面上有A(2，1)，B(1,4)，D(4，3)三點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AB上，且，連接DC延長至E，使|，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為_圖21(2)如圖21，在正五邊形ABCDE中，若a，b，c，d，e，求作向量acbde. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352275】(1)(1)，()2(3，6)，點(diǎn)C坐標(biāo)為(3，6)由|，且E在DC的延長線上，.設(shè)E(x，y)，則(x3，y6)(4x，3y)，得解得即E.(2)acbde(ab)(cde)()().如圖，連接AC，并延長至點(diǎn)F，使CFAC，則，所以，即為所求作的向量acbde.規(guī)律方法1.向量加法是由三角形法則定義的，要點(diǎn)是“首尾相連”，即.向量加法的平行四邊形法則：將兩向量移至共起點(diǎn)，分別為鄰邊作平行四邊形，則同起點(diǎn)對角線的向量即為向量的和加法滿足交換律、結(jié)合律2向量減法實(shí)質(zhì)是向量加法的逆運(yùn)算，是相反向量的作用幾何意義有兩個(gè)：一是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)，被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量；二是加法的平行四邊形法則的另外一條對角線的向量注意兩向量要移至共起點(diǎn)3數(shù)乘運(yùn)算即通過實(shí)數(shù)與向量的乘積，實(shí)現(xiàn)同向或反向上向量長度的伸縮變換跟蹤訓(xùn)練1如圖22所示，在ABC中，P是BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為_圖22設(shè)，則m(m1).與共線，(m1)0，m.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算(1)已知點(diǎn)A(1,1)、B(1,2)、C(2，1)、D(3,4)，則向量在方向上的投影為()ABCD(2)如圖23，在梯形ABCD中，ABCD，AB4，AD3，CD2，2.若3，則_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352276】圖23(1)A(2)(1)(2,1)，(5,5)，向量(2,1)在(5,5)上的投影為|cos，|.(2)因?yàn)?3，所以.規(guī)律方法向量數(shù)量積的求解策略(1)利用數(shù)量積的定義、運(yùn)算律求解.在數(shù)量積運(yùn)算律中，有兩個(gè)形似實(shí)數(shù)的完全平方公式在解題中的應(yīng)用較為廣泛，即(ab)2a22abb2，(ab)2a22abb2，上述兩公式以及(ab)(ab)a2b2這一類似于實(shí)數(shù)平方差的公式在解題過程中可以直接應(yīng)用.(2)借助零向量.即借助“圍成一個(gè)封閉圖形且首尾相接的向量的和為零向量”，再合理地進(jìn)行向量的移項(xiàng)以及平方等變形，求解數(shù)量積.(3)借助平行向量與垂直向量.即借助向量的拆分，將待求的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為有垂直向量關(guān)系或平行向量關(guān)系的向量數(shù)量積，借助ab，則ab0等解決問題.(4)建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算求解數(shù)量積.跟蹤訓(xùn)練2在邊長為1的菱形ABCD中，BAD60，E是BC的中點(diǎn)，則等于()A. B.C. D.D建立如圖平面直角坐標(biāo)系，則A，C，B.E點(diǎn)坐標(biāo)為，(，0)，.平面向量的平行與垂直問題(1)已知向量m(1,1)，n(2,2)，若(mn)(mn)，則()A4 B3C2D1(2)設(shè)A，B，C，D為平面內(nèi)的四點(diǎn)，且A(1,3)，B(2，2)，C(4,1)若，求D點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)向量a，b，若kab與a3b平行，求實(shí)數(shù)k的值. (1)B(1)因?yàn)閙n(23,3)，mn(1，1)，且(mn)(mn)，所以(mn)(mn)2330，解得3.(2)設(shè)D(x，y)因?yàn)?，所?2，2)(1,3)(x，y)(4,1)，化為(1，5)(x4，y1)，所以解得所以D(5，4)因?yàn)閍(2，2)(1,3)(1，5)，b(4,1)(2，2)(2,3)，所以kabk(1，5)(2,3)(k2，5k3)，a3b(1，5)3(2,3)(7,4)因?yàn)閗ab與a3b平行，所以7(5k3)4(k2)0，解得k.所以k.母題探究：1.將例3(2)中的“”改為“”，“平行”改為“垂直”，求實(shí)數(shù)k的值解因?yàn)閍(1，5)，b(3，2)，所以kab(k3，5k2)，a3b(10，11)，因?yàn)?kab)(a3b)，所以(kab)(a3b)10(k3)11(5k2)65k520，解得k.2在例3(2)中若A，B，D三點(diǎn)共線，且ACCD，求點(diǎn)D的坐標(biāo)解設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則(1，5)，(x1，y3)，(3，2)，(x4，y1)，由題意得，所以整理得解得x2，y2，所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，2)規(guī)律方法1.證明共線問題常用的方法(1)向量a，b(a0)共線存在唯一實(shí)數(shù)，使ba.(2)向量a(x1，y1)，b(x2，y2)共線x1y2x2y10.(3)向量a與b共線|ab|a|b|.(4)向量a與b共線存在不全為零的實(shí)數(shù)1，2，使1a2b0.2證明平面向量垂直問題的常用方法abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2).平面向量的模、夾角(1)已知向量a，b夾角為45，且|a|1，|2ab|，則|b|_.(2)已知cmanb，c(2，2)，ac，b與c的夾角為，bc4，|a|2，求實(shí)數(shù)m，n的值及a與b的夾角. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352278】(1)3(1)因?yàn)橄蛄縜，b夾角為45，且|a|1，|2ab|，所以，化為4|b|24|b|cos 4510，化為|b|22|b|60，因?yàn)閨b|0，解得|b|3.(2)c(2，2)，|c|4.ac，ac0.bc|b|c|cos|b|44，|b|2.cmanb，c2macnbc，16n(4)，n4.在cmanb兩邊同乘以a，得08m4ab.在cmanb兩邊同乘以b，得mab12.由，得m，ab2，cos ，或.規(guī)律方法1.解決向量模的問題常用的策略(1)應(yīng)用公式：|a|(其中a(x，y)(2)應(yīng)用三角形或平行四邊形法則(3)應(yīng)用向量不等式|a|b|ab|a|b|.(4)研究模的平方|ab|2(ab)2.2求向量的夾角設(shè)非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，兩向量夾角(0)的余弦cos .跟蹤訓(xùn)練3已知向量a(1,2)，b(2，4)，|c|，若(cb)a，則a與c的夾角為()A30 B60C120D150Cab10，則(cb)acabaca10，所以ca，設(shè)a與c的夾角為，則cos ，又0，180，所以120.平面向量在平面幾何和物理中的應(yīng)用(1)用兩條成120角的等長的繩子懸掛一個(gè)物體，如圖24所示，已知物體的重力大小為10 N，則每根繩子的拉力大小是_圖24(2)如圖25所示，在正方形ABCD中，P為對角線AC上任一點(diǎn)，PEAB，PFBC，垂足分別為E，F(xiàn)，連接DP，EF，求證：DPEF. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：84352279】圖25(1)10 N因繩子等長，所以每根繩子上的拉力和合力所成的角都相等，且等于60，故每根繩子的拉力大小都是10 N(2)證明：法一：(基向量法)設(shè)正方形ABCD的邊長為1，AEa(0a1)，則EPAEa，PFEB1a，APa，()()1acos 1801(1a)cos 90aacos 45a(1a)cos 45aa2a(1a)0，即DPEF.法二：(坐標(biāo)法)設(shè)正方形邊長為1，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)P(x，x)，則D(0,1)，E(x,0)，F(xiàn)(1，x)，所以(x，x1)，(1x，x)，由x(1x)x(x1)0，所以，即DPEF.規(guī)律方法平面向量兩個(gè)方面的應(yīng)用(1)平面幾何應(yīng)用向量幾何問題共線向量點(diǎn)共線問題、直線與直線平行數(shù)乘向量求線段長度之比數(shù)量積線段的長度、直線與直線的夾角(2)物理應(yīng)用：速度、位移、力、功跟蹤訓(xùn)練4已知點(diǎn)O，N，P在ABC所在平面內(nèi)，且|，0，則點(diǎn)O，N，P依次是ABC的()A重心、外心、垂心 B重心、外心、內(nèi)心C外心、重心、垂心D外心、重心、內(nèi)心C因?yàn)辄c(diǎn)O到ABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，所以點(diǎn)O是ABC的外心因?yàn)?，所以，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M，則2.由此時(shí)可知N為AB邊中線的三等分點(diǎn)(靠近中點(diǎn)M)所以N是ABC的重心因?yàn)椋?)0，即0，所以.同理由可證，所以P是ABC的垂心