2019屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十一篇 復(fù)數(shù)、算法、推理與證明 第4節(jié) 直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法訓(xùn)練 理 新人教版.doc

第4節(jié)直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法【選題明細表】知識點、方法題號綜合法與分析法1,3,4,5,7,8,9,13反證法2數(shù)學(xué)歸納法6,10,15推理與證明的綜合應(yīng)用11,12,14基礎(chǔ)鞏固(時間:30分鐘)1.命題“如果數(shù)列an的前n項和Sn=2n2-3n,那么數(shù)列an一定是等差數(shù)列”是否成立(B)(A)不成立 (B)成立(C)不能斷定(D)與n取值有關(guān)解析:因為Sn=2n2-3n,所以n=1時a1=S1=-1,當n2時,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3(n-1)=4n-5,n=1時適合an,且an-an-1=4,故an為等差數(shù)列,即命題成立.故選B.2.用反證法證明某命題時,對結(jié)論:“自然數(shù)a,b,c中恰有一個是偶數(shù)”正確的反設(shè)為(B)(A)a,b,c中至少有兩個偶數(shù)(B)a,b,c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)(C)a,b,c都是奇數(shù)(D)a,b,c都是偶數(shù)解析:a,b,c恰有一個是偶數(shù)說明有且只有一個是偶數(shù).其否定有a,b,c均為奇數(shù)或a,b,c至少有兩個偶數(shù).故選B.3.設(shè)a=-,b=-,c=-,則a,b,c的大小順序是(A)(A)a>b>c (B)b>c>a(C)c>a>b (D)a>c>b解析:因為a=-=,b=-=,c=-=,又因為+>+>+>0,所以a>b>c.故選A.4.分析法又稱執(zhí)果索因法,若用分析法證明:“設(shè)a>b>c,且a+b+c=0,求證<a”索的因應(yīng)是(C)(A)a-b>0 (B)a-c>0(C)(a-b)(a-c)>0 (D)(a-b)(a-c)<0解析:<ab2-ac<3a2(a+c)2-ac<3a2a2+2ac+c2-ac-3a2<0-2a2+ac+c2<02a2-ac-c2>0(a-c)(2a+c)>0(a-c)(a-b)>0.故選C.5.設(shè)0<x<1,a>0,b>0,a,b為常數(shù),+的最小值是(C)(A)4ab (B)2(a2+b2)(C)(a+b)2 (D)(a-b)2解析:(+)(x+1-x)=a2+b2a2+b2+2ab=(a+b)2.當且僅當x=時,等號成立.故選C.6.用數(shù)學(xué)歸納法證明“n3+(n+1)3+(n+2)3(nN*)能被9整除”,要利用歸納假設(shè)證n=k+1時的情況,只需展開(A)(A)(k+3)3 (B)(k+2)3(C)(k+1)3 (D)(k+1)3+(k+2)3解析:假設(shè)當n=k時,原式能被9整除,即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.當n=k+1時,(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3為了能用上面的歸納假設(shè),只需將(k+3)3展開,讓其出現(xiàn)k3即可.故選A.7.(2016蘭州調(diào)研)已知a,b是不相等的正數(shù),x=,y=,則x,y的大小關(guān)系是.解析:因為>(ab)a+b>22(a+b)>a+b+2a+b>>,即x<y.答案:x<y8.已知點An(n,an)為函數(shù)y=圖象上的點,Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點,其中nN*,設(shè)cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關(guān)系為.解析:由已知條件得cn=an-bn=-n=,所以cn隨n的增大而減小,所以cn+1<cn.答案:cn+1<cn能力提升(時間:15分鐘)9.(2017鄭州模擬)設(shè)x>0,P=2x+2-x,Q=(sin x+cos x)2,則(A)(A)P>Q(B)P<Q(C)PQ(D)PQ解析:因為2x+2=2(當且僅當x=0時等號成立),而x>0,所以P>2;又(sin x+cos x)2=1+sin 2x,而sin 2x1,所以Q2.于是P>Q.故選A.10.平面內(nèi)有n條直線,最多可將平面分成f(n)個區(qū)域,則f(n)的表達式為(C)(A)n+1(B)2n(C)(D)n2+n+1解析:1條直線將平面分成1+1個區(qū)域;2條直線最多可將平面分成1+(1+2)=4個區(qū)域;3條直線最多可將平面分成1+(1+2+3)=7個區(qū)域;n條直線最多可將平面分成1+(1+2+3+n)=1+=個區(qū)域.故選C.11.(2017邯鄲模擬)設(shè)a,b是兩個實數(shù),給出下列條件:a+b>1;a+b=2;a+b>2;a2+b2>2;ab>1.其中能推出:“a,b中至少有一個大于1”的條件是.(填序號)解析:若a=,b=,則a+b>1,但a<1,b<1,故推不出;若a=b=1,則a+b=2,故推不出;若a=-2,b=-3,則a2+b2>2,故推不出;若a=-2,b=-3,則ab>1,故推不出;對于,反證法:假設(shè)a1且b1,則a+b2與a+b>2矛盾,因此假設(shè)不成立,故a,b中至少有一個大于1.答案:12.若二次函數(shù)f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1,在區(qū)間-1,1內(nèi)至少存在一點c,使f(c)>0,則實數(shù)p的取值范圍是.解析:法一(補集法)令解得p-3或p,故滿足條件的p的范圍為(-3,).法二(直接法)依題意有f(-1)>0或f(1)>0,即2p2-p-1<0或2p2+3p-9<0,得-<p<1或-3<p<.故滿足條件的p的取值范圍是-3,.答案:(-3,)13.若a>b>c>d>0且a+d=b+c,求證:+<+.證明:要證+<+,只需證(+)2<(+)2,即a+d+2<b+c+2,因a+d=b+c,只需證<,即ad<bc,設(shè)a+d=b+c=t,則ad-bc=(t-d)d-(t-c)c=(c-d)(c+d-t)<0,故ad<bc成立,從而+<+成立.14.某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個式子的值都等于同一個常數(shù):sin213+cos217-sin 13cos 17;sin215+cos215-sin 15cos 15;sin218+cos212-sin 18cos 12;sin2(-18)+cos248-sin(-18)cos 48;sin2(-25)+cos255-sin(-25)cos 55.(1)試從上述五個式子中選擇一個,求出這個常數(shù);(2)根據(jù)(1)的計算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論.解:(1)選擇式,計算如下:sin215+cos215-sin 15cos 15=1-sin 30=1-=.(2)法一三角恒等式為sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=.證明如下:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=sin2+(cos 30cos +sin 30sin )2-sin (cos 30cos +sin 30sin )=sin2+cos2+sin cos +sin2-sin cos -sin2=sin2+cos2=.法二三角恒等式為sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=.證明如下:sin2+cos2(30-)-sin cos(30-)=+-sin (cos 30cos +sin 30sin )= -cos 2+ (cos 60cos 2+sin 60sin 2)-sin cos -sin2=-cos 2+cos 2+sin 2-sin 2- (1-cos 2)=1-cos 2-+cos 2=.15.數(shù)列an滿足a1=,an+1=.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn,證明Sn<n-ln().(1)解:法一an+1-1=-1=,所以=-1+,所以是首項為-2,公差為-1的等差數(shù)列,所以=-n-1,所以an=.法二a2=,a3=,a4=,猜測an=.下面用數(shù)學(xué)歸納法進行證明:當n=1時,由題目已知可知a1=,命題成立; 假設(shè)當n=k(k1,kN)時成立,即ak=,那么當n=k+1,ak+1=,也就是說,當n=k+1時命題也成立. 綜上所述,數(shù)列an的通項公式為an=.(2)證明:設(shè)F(x)=ln(x+1)-x(x>0),則F(x)=-1=<0(x>0).函數(shù)F(x)為(0,+)上的減函數(shù),所以F(x)<F(0)=0,即ln(x+1)<x(x>0),從而ln(1+)<,1-<1-ln(1+),an=1-<1-ln(n+2)+ln(n+1), 所以Sn<(1-ln 3+ln 2)+(1-ln 4+ln 3)+1-ln(n+2)+ln(n+1),所以Sn<n-ln().