山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 拋物線練習(xí)（含解析）.doc

拋物線一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1. 以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=42，|DE|=25，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為( )A. 2 B. 4 C. 6 D. 8（正確答案）B【分析】畫(huà)出圖形，設(shè)出拋物線方程，利用勾股定理以及圓的半徑列出方程求解即可本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線與圓的方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用【解答】解：設(shè)拋物線為y2=2px，如圖：|AB|=42，|AM|=22，|DE|=25，|DN|=5，|ON|=p2，xA=(22)22p=4p，|OD|=|OA|，16p2+8=p24+5，解得：p=4C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：4故選B2. 設(shè)F為拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，曲線y=kx(k>0)與C交于點(diǎn)P，PFx軸，則k=( )A. 12 B. 1 C. 32 D. 2（正確答案）D解：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F為(1,0)，曲線y=kx(k>0)與C交于點(diǎn)P在第一象限，由PFx軸得：P點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，代入C得：P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，故k=2，故選：D根據(jù)已知，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再由反比例函數(shù)的性質(zhì)，可得k值本題考查的知識(shí)點(diǎn)是拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，難度中檔3. 設(shè)拋物線y2=2px的焦點(diǎn)在直線2x+3y-8=0上，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( )A. x=-4 B. x=-3 C. x=-2 D. x=-1（正確答案）A解：把y=0代入2x+3y-8=0得：2x-8=0，解得x=4，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)，拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-4故選：A求出直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而得出準(zhǔn)線方程本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題4. 點(diǎn)A(2,1)到拋物線y2=ax準(zhǔn)線的距離為1，則a的值為( )A. -14或-112 B. 14或112 C. -4或-12 D. 4或12（正確答案）C解：拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-a4，點(diǎn)A(2,1)到拋物線y2=ax準(zhǔn)線的距離為|2+a4|=1解得a=-4或a=-12故選C求出拋物線的準(zhǔn)線方程，根據(jù)距離列出方程解出a的值本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，準(zhǔn)線方程，屬于基礎(chǔ)題5. 設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則FMFN=( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 8（正確答案）D解：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，過(guò)點(diǎn)(-2,0)且斜率為23的直線為：3y=2x+4，聯(lián)立直線與拋物線C：y2=4x，消去x可得：y2-6y+8=0，解得y1=2，y2=4，不妨M(1,2)，N(4,4)，F(xiàn)M=(0,2)，F(xiàn)N=(3,4)則FMFN=(0,2)(3,4)=8故選：D求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，直線方程，求出M、N的坐標(biāo)，然后求解向量的數(shù)量積即可本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力6. 已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線x2=20y的焦點(diǎn)重合，且其漸近線方程為3x4y=0，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )A. x29-y216=1 B. y29-x216=1 C. x216-y29=1 D. y216-x29=1（正確答案）B解：拋物線x2=20y中，2p=20，p2=5，拋物線的焦點(diǎn)為F(0,5)，設(shè)雙曲線的方程為y2a2-x2b2=1，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F(0,5)，且漸近線的方程為3x4y=0即y=34x，a2+b2=c=5ab=34，解得a=3，b=4(舍負(fù))，可得該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y29-x216=1. 故選：B根據(jù)拋物線方程，算出其焦點(diǎn)為F(0,5).由此設(shè)雙曲線的方程為y2a2-x2b2=1，根據(jù)基本量的平方關(guān)系與漸近線方程的公式，建立關(guān)于a、b的方程組解出a、b的值，即可得到該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程本題給出雙曲線與已知拋物線有一個(gè)焦點(diǎn)重合，在已知漸近線的情況下求雙曲線的方程.著重考查了拋物線、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題7. 若拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)A(x0,2)到其焦點(diǎn)的距離是A到y(tǒng)軸距離的3倍，則p等于( )A. 12 B. 1 C. 32 D. 2（正確答案）D解：由題意，3x0=x0+p2，x0=p4，p22=2，p>0，p=2，故選D根據(jù)拋物線的定義及題意可知3x0=x0+p2，得出x0求得p，可得答案本題主要考查了拋物線的定義和性質(zhì).考查了考生對(duì)拋物線定義的掌握和靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題8. 若拋物線y2=ax的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是2，則a=( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 8（正確答案）C【分析】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單性質(zhì)，利用拋物線的方程，求出p，即可求出結(jié)果.是基礎(chǔ)題【解答】解：拋物線y2=ax的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是2，可得p=2，則a=2p=4故選C9. 已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C：y2=2px的準(zhǔn)線上，記C的焦點(diǎn)為F，則直線AF的斜率為( )A. -2 B. -43 C. -34 D. -12（正確答案）C解：由點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C：y2=2px的準(zhǔn)線上，即-2=-p2，則p=4，故拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為：(2,0)，則直線AF的斜率k=3-0-2-2=-34，故選C由題意求得拋物線方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的斜率公式即可求得直線AF的斜率本題考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題10. 已知拋物線C：y2=x的焦點(diǎn)為F，A(x0,y0)是C上一點(diǎn)，AF=|54x0|，則x0=( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 8（正確答案）A解：拋物線C：y2=x的焦點(diǎn)為F(14,0)，A(x0,y0)是C上一點(diǎn)，AF=|54x0|，x0>054x0=x0+14，解得x0=1故選：A利用拋物線的定義、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式即可得出本題考查了拋物線的定義、焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，屬于基礎(chǔ)題11. 若直線y=kx-2與拋物線y2=8x交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則k=( )A. 2 B. -1 C. 2或-1 D. 15（正確答案）A解：聯(lián)立直線y=kx-2與拋物線y2=8x，消去y，可得k2x2-(4k+8)x+4=0，(k0)，判別式(4k+8)2-16k2>0，解得k>-1設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則x1+x2=4k+8k2，由AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，即有4k+8k2=4，解得k=2或-1(舍去)，故選：A聯(lián)立直線y=kx-2與拋物線y2=8x，消去y，可得x的方程，由判別式大于0，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，計(jì)算即可求得k=2本題考查拋物線的方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線和拋物線方程，消去未知數(shù)，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，注意判別式大于0，屬于中檔題12. 已知拋物線方程為y=14x2，則該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為( )A. (0,-1) B. (-116,0) C. (116,0) D. (0,1)（正確答案）D解：把拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：x2=4y，拋物線的焦點(diǎn)在y軸的正半軸，p=2，p2=1拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)故選：D把拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式得出焦點(diǎn)坐標(biāo)本題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題二、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 已知F是拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|=_（正確答案）6【分析】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，推出M坐標(biāo)，然后求解即可【解答】解：拋物線C：y2=8x的焦點(diǎn)F(2,0)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，可知M的橫坐標(biāo)為：1，則M的縱坐標(biāo)為：22，|FN|=2|FM|=2(1-2)2+(22-0)2=6故答案為614. 若拋物線y2=4x上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_ （正確答案）9解：拋物線的準(zhǔn)線為x=-1，點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為10，點(diǎn)M到準(zhǔn)線x=-1的距離為10，點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為9故答案為：9根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出M到準(zhǔn)線x=-1的距離為10，故到y(tǒng)軸的距離為9本題考查了拋物線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題15. 設(shè)拋物線x=2pt2y=2pt(t為參數(shù)，p>0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B，設(shè)C(72p,0)，AF與BC相交于點(diǎn)E.若|CF|=2|AF|，且ACE的面積為32，則p的值為_(kāi)（正確答案）6解：拋物線x=2pt2y=2pt(t為參數(shù)，p>0)的普通方程為：y2=2px焦點(diǎn)為F(p2,0)，如圖：過(guò)拋物線上一點(diǎn)A作l的垂線，垂足為B，設(shè)C(72p,0)，AF與BC相交于點(diǎn)E.|CF|=2|AF|，|CF|=3p，|AB|=|AF|=32p，A(p,2p)，ACE的面積為32，AEEF=ABCF=12，可得13SAFC=SACE即：13123p2p=32，解得p=6故答案為：6化簡(jiǎn)參數(shù)方程為普通方程，求出F與l的方程，然后求解A的坐標(biāo)，利用三角形的面積列出方程，求解即可本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，拋物線的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力16. 拋物線y2=2x的準(zhǔn)線方程是_；該拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M(x0,y0)在此拋物線上，且|MF|=52，則x0=_（正確答案）x=-12；2解：拋物線方程為y2=2x 可得2p=2，得p2=12，所以拋物線的焦點(diǎn)為F(12,0)，準(zhǔn)線方程為x=-12；點(diǎn)M(x0,y0)在此拋物線上，根據(jù)拋物線的定義，可得|MF|=x0+p2=52 即x0+12=52，解之得x0=2 故答案為：x=-12，2根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可得拋物線開(kāi)口向右，由2p=2得p2=12，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-12；由拋物線的定義結(jié)合點(diǎn)M坐標(biāo)可得|MF|=x0+p2=52，解之可得x0的值本題給出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求它的準(zhǔn)線方程和滿足|MF|=52的點(diǎn)M的坐標(biāo).著重考查了拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題三、解答題（本大題共3小題，共30分）17. 在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y=t(t0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2=2px(p>0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連結(jié)ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H()求|OH|ON|；()除H以外，直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說(shuō)明理由（正確答案）解：()將直線l與拋物線方程聯(lián)立，解得P(t22p,t)，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，xN+xM2=t22p，yN+yM2=t，N(t2p,t)，ON的方程為y=ptx，與拋物線方程聯(lián)立，解得H(2t2p,2t) |OH|ON|=|yH|yN|=2；()由()知kMH=p2t，直線MH的方程為y=p2tx+t，與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得y2-4ty+4t2=0，=16t2-44t2=0，直線MH與C除點(diǎn)H外沒(méi)有其它公共點(diǎn)()求出P，N，H的坐標(biāo)，利用|OH|ON|=|yH|yN|，求|OH|ON|；()直線MH的方程為y=p2tx+t，與拋物線方程聯(lián)立，消去x可得y2-4ty+4t2=0，利用判別式可得結(jié)論本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確聯(lián)立方程是關(guān)鍵18. 已知拋物線C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)(2,0)的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，圓M是以線段AB為直徑的圓(1)證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)P(4,-2)，求直線l與圓M的方程（正確答案）解：方法一：證明：(1)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，則A(2,2)，B(2,-2)，則OA=(2,2)，OB=(2,-2)，則OAOB=0，OAOB，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；當(dāng)直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程y=k(x-2)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，y=kx-2y2=2x，整理得：k2x2-(4k2+1)x+4k2=0，則x1x2=4，4x1x2=y12y22=(y1y2)2，由y1y2<0，則y1y2=-4，由OAOB=x1x2+y1y2=0，則OAOB，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上，綜上可知：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；方法二：設(shè)直線l的方程x=my+2，x=my+2y2=2x，整理得：y2-3my-4=0，令A(yù)(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1y2=-4，則(y1y2)2=4x1x2，則x1x2=4，則OAOB=x1x2+y1y2=0，則OAOB，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上，坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)由(1)可知：x1x2=4，x1+x2=4k2+2k2，y1+y2=2k，y1y2=-4，圓M過(guò)點(diǎn)P(4,-2)，則AP=(4-x1,-2-y1)，BP=(4-x2,-2-y2)，由APBP=0，則(4-x1)(4-x2)+(-2-y1)(-2-y2)=0，整理得：k2+k-2=0，解得：k=-2，k=1，當(dāng)k=-2時(shí)，直線l的方程為y=-2x+4，則x1+x2=92，y1+y2=-1，則M(94,-12)，半徑為r=丨MP丨=(4-94)2+(-2+12)2=854，圓M的方程(x-94)2+(y+12)2=8516當(dāng)直線斜率k=1時(shí)，直線l的方程為y=x-2，同理求得M(3,1)，則半徑為r=丨MP丨=10，圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10，綜上可知：直線l的方程為y=-2x+4，圓M的方程(x-94)2+(y+12)2=8516或直線l的方程為y=x-2，圓M的方程為(x-3)2+(y-1)2=10(1)方法一：分類討論，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，求得A和B的坐標(biāo)，由OAOB=0，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；當(dāng)直線l斜率存在，代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的可得OAOB=0，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；方法二：設(shè)直線l的方程x=my+2，代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得OAOB=0，則坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上；(2)由題意可知：APBP=0，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求得k的值，求得M點(diǎn)坐標(biāo)，則半徑r=丨MP丨，即可求得圓的方程本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題19. 設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|=8(1)求l的方程；(2)求過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程（正確答案）解：(1)方法一：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，|AB|=4，不滿足；設(shè)直線AB的方程為：y=k(x-1)，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y2=4xy=k(x-1)，整理得：k2x2-2(k2+2)x+k2=0，則x1+x2=2(k2+2)k2，x1x2=1，由|AB|=x1+x2+p=2(k2+2)k2+2=8，解得：k2=1，則k=1，直線l的方程y=x-，；方法二：拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，設(shè)直線AB的傾斜角為，由拋物線的弦長(zhǎng)公式|AB|=2psin2=4sin2=8，解得：sin2=12，=4，則直線的斜率k=1，直線l的方程y=x-1；(2)過(guò)A，B分別向準(zhǔn)線x=-1作垂線，垂足分別為A1，B1，設(shè)AB的中點(diǎn)為D，過(guò)D作DD1準(zhǔn)線l，垂足為D，則|DD1|=12(|AA1|+|BB1|)由拋物線的定義可知：|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，則r=|DD1|=4，以AB為直徑的圓與x=-1相切，且該圓的圓心為AB的中點(diǎn)D，由(1)可知：x1+x2=6，y1+y2=x1+x2-2=4，則D(3,2)，過(guò)點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程(x-3)2+(y-2)2=16.(1)方法一：設(shè)直線AB的方程，代入拋物線方程，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式即可求得k的值，即可求得直線l的方程；方法二：根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)弦公式|AB|=2psin2，求得直線AB的傾斜角，即可求得直線l的斜率，求得直線l的方程；(2)根據(jù)過(guò)A，B分別向準(zhǔn)線l作垂線，根據(jù)拋物線的定義即可求得半徑，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可求得圓心，求得圓的方程本題考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系，拋物線的焦點(diǎn)弦公式，考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查轉(zhuǎn)換思想思想，屬于中檔題