2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.3 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 第1課時(shí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)案 新人教A版必修5.doc

第1課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.了解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程(難點(diǎn)).2.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及其應(yīng)用(重點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知1數(shù)列的前n項(xiàng)和的概念一般地，稱(chēng)a1a2an為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，用Sn表示，即Sna1a2an.思考：如何用Sn和Sn1的表達(dá)式表示an?提示an2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式已知量首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)求和公式SnSnna1d思考：等差數(shù)列an中，若已知a27，能求出前3項(xiàng)和S3嗎？提示S33a221.基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)數(shù)列的前n項(xiàng)和就是指從數(shù)列的第1項(xiàng)a1起，一直到第n項(xiàng)an所有項(xiàng)的和()(2)anSnSn1(n2)化簡(jiǎn)后關(guān)于n與an的函數(shù)式即為數(shù)列an的通項(xiàng)公式()(3)在等差數(shù)列an中，當(dāng)項(xiàng)數(shù)m為偶數(shù)2n時(shí)，則S偶S奇an1.()答案(1)(2)(3)提示：(1)正確由前n項(xiàng)和的定義可知正確(2)錯(cuò)誤例如數(shù)列an中，Snn22.當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1n2(n1)22n1.又因?yàn)閍1S13，所以a1不滿足anSnSn12n1，故命題錯(cuò)誤(3)錯(cuò)誤當(dāng)項(xiàng)數(shù)m為偶數(shù)2n時(shí)，則S偶S奇nd.2等差數(shù)列an中，a11，d1，則其前n項(xiàng)和Sn_.因?yàn)閍11，d1，所以Snn1.3在等差數(shù)列an中，S10120，那么a1a10_.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432163】24由S10120.解得a1a1024.4設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a1，S420，則S6_.48設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由已知得4a1d20，即4d20，解得d3，所以S66334548.合 作 探 究攻 重 難等差數(shù)列前n項(xiàng)和的有關(guān)計(jì)算在等差數(shù)列an中，(1)已知a1，an，Sn5，求n和d；(2)已知a14，S8172，求a8和d.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432164】解(1)由題意得，Sn5，解得n15.又a15(151)d，d.n15，d.(2)由已知得S8172，解得a839，又a84(81)d39，d5.a839，d5.規(guī)律方法a1，d，n稱(chēng)為等差數(shù)列的三個(gè)基本量，an和Sn都可以用這三個(gè)基本量來(lái)表示，五個(gè)量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通過(guò)通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式聯(lián)立方程(組)求解，在求解過(guò)程中要注意整體思想的運(yùn)用.跟蹤訓(xùn)練1在等差數(shù)列an中，(1)已知a610，S55，求a8和S10；(2)已知a3a1540，求S17.解(1)解得a15，d3.a8a62d102316，S1010a1d10(5)59385.(2)S17340.an與Sn的關(guān)系的應(yīng)用探究問(wèn)題1若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，則關(guān)系式anSnSn1的使用條件是什么？提示：使用條件是n2.2若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a2 016a2 017a2 018如何用前n項(xiàng)和Sn表示？提示：a2 016a2 017a2 018S2 018S2 015.3已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an，可利用Sna1a2an求前n項(xiàng)和Sn；反之，如果知道了數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，如何求出它的通項(xiàng)公式？提示：對(duì)所有數(shù)列都有Sna1a2an1an，Sn1a1a2an1(n2)因此，當(dāng)n2時(shí)，有anSnSn1；當(dāng)n1時(shí)，有a1S1.所以an與Sn的關(guān)系為an當(dāng)a1也適合an時(shí)，則通項(xiàng)公式要統(tǒng)一用一個(gè)解析式anf(n)(nN*)來(lái)表示設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Sn2n230n.(1)求a1及an.(2)判斷這個(gè)數(shù)列是否是等差數(shù)列.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432165】思路探究：(1)利用a1S1，求a1，借助于anSnSn1(n2)求通項(xiàng)公式但要驗(yàn)證a1是否符合條件；(2)利用等差數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可解(1)因?yàn)镾n2n230n，所以當(dāng)n1時(shí)，a1S121230128，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n230n2(n1)230(n1)4n32.驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)上式成立，所以an4n32.(2)由an4n32，得an14(n1)32(n2)，所以anan14n324(n1)324(常數(shù))，所以數(shù)列an是等差數(shù)列母題探究：1.(變條件變結(jié)論)將本例的條件“Sn2n230n”改為“l(fā)og2(Sn1)n1”，其他條件不變，求an.解由log2(Sn1)n1得Sn12n1，Sn2n11當(dāng)n2時(shí)anSnSn12n112n12n.當(dāng)n1時(shí)，a1S13.經(jīng)驗(yàn)證不符合上式an2(變條件變結(jié)論)將本例中的條件“Sn2n230n”變?yōu)椤罢龜?shù)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn(bn1)2”，求bn的通項(xiàng)公式解當(dāng)n2時(shí)，bnSnSn1，bn(bn1)2(bn11)2(bb2bn2bn1)整理得：bb2bn2bn10，(bnbn1)(bnbn12)0，bnbn1>0，bnbn12(n2)bn為等差數(shù)列又b1(b11)2，b11，bn1(n1)22n1.規(guī)律方法已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和公式Sn，求通項(xiàng)公式an的步驟：（1）當(dāng)n1時(shí)，a1S1.（2）當(dāng)n2時(shí)，根據(jù)Sn寫(xiě)出Sn1，化簡(jiǎn)anSnSn1.（3）如果a1也滿足當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1的通項(xiàng)公式，那么數(shù)列an的通項(xiàng)公式為anSnSn1；如果a1不滿足當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1的通項(xiàng)公式，那么數(shù)列an的通項(xiàng)公式要分段表示為an等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的實(shí)際應(yīng)用某抗洪指揮部接到預(yù)報(bào)，24小時(shí)后有一洪峰到達(dá)，為確保安全，指揮部決定在洪峰到來(lái)之前臨時(shí)筑一道堤壩作為第二道防線經(jīng)計(jì)算，除現(xiàn)有的參戰(zhàn)軍民連續(xù)奮戰(zhàn)外，還需調(diào)用20臺(tái)同型號(hào)翻斗車(chē)，平均每輛車(chē)工作24小時(shí)從各地緊急抽調(diào)的同型號(hào)翻斗車(chē)目前只有一輛投入使用，每隔20分鐘能有一輛翻斗車(chē)到達(dá)，一共可調(diào)集25輛，那么在24小時(shí)內(nèi)能否構(gòu)筑成第二道防線？思路探究：因?yàn)槊扛?0分鐘到達(dá)一輛車(chē)，所以每輛車(chē)的工作量構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列工作量的總和若大于欲完成的工作量，則說(shuō)明24小時(shí)內(nèi)可完成第二道防線工程解從第一輛車(chē)投入工作算起，各車(chē)工作時(shí)間(單位：小時(shí))依次設(shè)為a1，a2，a25.由題意可知，此數(shù)列為等差數(shù)列，且a124，公差d.25輛翻斗車(chē)完成的工作量為：a1a2a2525242512500，而需要完成的工作量為2420480.500>480，在24小時(shí)內(nèi)能構(gòu)筑成第二道防線規(guī)律方法1本題屬于與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列2遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，建立數(shù)列模型，具體解決要注意以下兩點(diǎn)：(1)抓住實(shí)際問(wèn)題的特征，明確是什么類(lèi)型的數(shù)列模型(2)深入分析題意，確定是求通項(xiàng)公式an，或是求前n項(xiàng)和Sn，還是求項(xiàng)數(shù)n.跟蹤訓(xùn)練2植樹(shù)節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線公路一側(cè)植樹(shù)，每人植樹(shù)一棵，相鄰兩棵樹(shù)相距10米，開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中放置在某一棵樹(shù)坑旁邊，使每位同學(xué)從各自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小，此最小值為_(kāi)米.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432166】2 000假設(shè)20位同學(xué)是1號(hào)到20號(hào)依次排列，使每位同學(xué)從各自樹(shù)坑出發(fā)前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗往返所走的路程總和最小，則樹(shù)苗需放在第10或第11號(hào)樹(shù)坑旁，此時(shí)兩側(cè)的同學(xué)所走的路程分別組成以20為首項(xiàng)，20為公差的等差數(shù)列，故所有同學(xué)往返的總路程為S920201020202 000(米)當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基1(2018全國(guó)卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和若3S3S2S4，a12，則a5()A12B10C10D12B通解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，3S3S2S4，32a1d4a1d，解得da1，a12，d3，a5a14d24(3)10.故選B.優(yōu)解設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，3S3S2S4，3S3S3a3S3a4，S3a4a3，3a1dd.a12，d3，a5a14d24(3)10.故選B.2設(shè)Sn是等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a1a3a53，則S5() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432167】A5 B7C9 D11A由題a1a3a53，3a33.a31又S55.3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Snn2，則()Aan2n1 Ban2n1Can2n1 Dan2n1B由anSnSn1(n2)得an12n，當(dāng)n1時(shí)，S1a11符合上式an2n1.4在一個(gè)等差數(shù)列中，已知a1010，則S19_.190S19190.5已知等差數(shù)列an中，a1，d，Sn15，求n及a12.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：91432168】解Snn15，整理得n27n600，解之得n12或n5(舍去)，a12(121)4.