新版新課標Ⅱ版高考數學分項匯編 專題10 立體幾何含解析理

1 1專題10 立體幾何一基礎題組1. 【20xx課標全國，理4】已知m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，則()A且lB且lC與相交，且交線垂直于lD與相交，且交線平行于l【答案】：D2. 【20xx全國，理4】已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，E為CC1的中點，則直線AC1與平面BED的距離為()A2 B C D1【答案】 D由BDAC，ECBD知，BD面EOC，CMBDCM面BDE.HM為直線AC1到平面BDE的距離又ACC1為等腰直角三角形，CH=2.HM=1.3. 【20xx新課標，理6】在一個幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如下圖所示，則相應的側視圖可以為()(正視圖)(俯視圖)【答案】D【解析】4. 【2006全國2，理4】過球的一條半徑的中點,作垂直于該半徑的平面,則所得截面的面積與球的表面積的比為A. B. C. D. 【答案】:A【解析】:設球半徑為R,截面半徑為r.()2+r2=R2,r2=R2.=.選A.5. 【2006全國2，理7】如圖,平面平面,A,B,AB與兩平面,所成的角分別為和.過A,B分別作兩平面交線的垂線,垂足為A,B,則ABAB等于A.21B.31C.32D.43【答案】:A6. 【2005全國3，理4】設三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，P、Q分別是側棱AA1、CC1上的點，且PA=QC1，則四棱錐BAPQC的體積為（ ）A B C D【答案】C【解析】連接，在側面平行四邊形中， 四邊形APQC的面積=四邊形的面積，記B到面的距離為h，.7. 【2005全國2，理2】正方體中，、分別是、的中點那么，正方體的過、的截面圖形是（ ）(A) 三角形(B) 四邊形(C) 五邊形(D) 六邊形【答案】D8. 【20xx新課標，理18】（本小題滿分12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點.（）證明：PB平面AEC；（）設二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.【解析】（）證明：設O為AC與BD交點，連結OE，則由矩形ABCD知：O為BD的中點，因為E是BD的中點，所以OEPB，因為OE面AEC，PB面AEC，所以PB平面AEC。9. 【20xx全國，理18】ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos(AC)cosB1，a2c，如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為菱形，PA底面ABCD，PA2，E是PC上的一點，PE2EC(1)證明：PC平面BED；(2)設二面角APBC為90°，求PD與平面PBC所成角的大小【解析】解法一：(1)證明：因為底面ABCD為菱形，所以BDAC又PA底面ABCD，所以PCBD設ACBD=F，連結EF.因為，PA=2，PE=2EC，故，從而，因為，FCE=PCA，設C(，0,0)，D(，b,0)，其中b0，則P(0,0,2)，E(，0，)，B(，b,0)于是(，0，2)，(，b，)，(，b，)，從而，故PCBE，PCDE.又BEDEE，所以PC平面BDE.10. 【2006全國2，理19】如圖,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB=BC,D,E分別為BB1,AC1的中點.(1)證明:ED為異面直線BB1與AC1的公垂線;(2)設AA1=AC=AB,求二面角A1-AD-C1的大小.【解析】解法一:(1)設O為AC中點,連結EO,BO,則EOC1C.又C1CB1B,EODB,EOBD為平行四邊形,EDOB.AB=BC,BOAC.又平面ABC平面ACC1A1,BO面ABC,故BO平面ACC1A1,ED平面ACC1A1,EDAC1,EDCC1.EDBB1,ED為異面直線AC1與BB1的公垂線.解法二:(1)如圖,建立直角坐標系Oxyz,其中原點O為AC的中點.設A(A,0,0),B(0,b,0),B1(0,b,2c),則C(-A,0,0),C1(-A,0,2c),E(0,0,c),D(0,b,c).=(0,b,0),=(0,0,2c).·=0,EDBB1.又=(-2A,0,2c),·=0,EDAC1.ED是異面直線BB1與AC1的公垂線.(2)不妨設A(1,0,0),則B(0,1,0),C(-1,0,0),A1(1,0,2),=(-1,-1,0),=(-1,1,0),=(0,0,2),·=0,·=0,即BCAB,BCAA1,又ABAA1=A,BC面A1AD.又E(0,0,1),D(0,1,1),C(-1,0,0),=(-1,0,-1),=(-1,0,1),=(0,1,0),·=0,·=0,即ECAE,ECED,又AEED=E,EC面C1AD.cos,=,即得和的夾角為60°.二面角A1-AD-C1為60°.11. 【2005全國3，理18】(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD （）證明AB平面VAD； （）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小【解析】：證明：方法一：（）證明： （）解：取VD的中點E，連結AF，BE，VAD是正三形， AEVD，AE=AB平面VAD， ABAE.又由三垂線定理知BEVD. 因此，tanAEB=即得所求二面角的大小為（）設E為DV中點，則，由因此，AEB是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小為12. 【20xx高考新課標2，理6】一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如右圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為( )A B C D【答案】D【考點定位】三視圖二能力題組1. 【20xx新課標，理6】如圖，網格紙上正方形小格的邊長為1（表示1cm）,圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C2. 【20xx全國2，理9】已知正四棱錐SABCD中，SA2，那么當該棱錐的體積最大時，它的高為()A1 B. C2 D3【答案】：CVSABCD×a2×h (242h2)×hh38hV2h28，令V0得h2.當h(0,2)時，V單調遞增，當h(2,2)時，V單調遞減，當h2時，V取得最大值3. 【20xx新課標，理15】已知矩形ABCD的頂點都在半徑為4的球O的球面上，且AB6，BC，則棱錐O­ABCD的體積為_【答案】【解析】4. 【20xx課標全國，理18】(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1ACCB.(1)證明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值 (2)由ACCB得，ACBC.以C為坐標原點，的方向為x軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.5. 【20xx新課標，理18】如圖，四棱錐P­ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60°，AB2AD，PD底面ABCD(1)證明：PABD；(2)設PDAD，求二面角APBC的余弦值【解析】：(1)因為DAB60°，AB2AD，由余弦定理得.從而BD2AD2AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD故PABD6. 【20xx全國2，理19】如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AA1AB，D為BB1的中點，E為AB1上的一點，AE3EB1.(1)證明DE為異面直線AB1與CD的公垂線；(2)設異面直線AB1與CD的夾角為45°，求二面角A1AC1B1的大小【解析】：解法一：(1)證明：連結A1B，記A1B與AB1的交點為F，因為面AA1B1B為正方形，故A1BAB1，且AFFB1，又AE3EB1，所以FEEB1，又D為BB1的中點，故DEBF，DEAB1.作CGAB，G為垂足，由ACBC知，G為AB中點又由底面ABC面AA1B1B，得CG面AA1B1B，連結DG，則DGAB1，故DEDG，由三垂線定理，得DECD，所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線所以二面角A1AC1B1的大小為arctan.解法二：(1)證明：以B為坐標原點，射線BA為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz，設AB2，則A(2,0,0)，B1(0,2,0)，D(0,1,0)，E(，0)，又設C(1,0，c)，則(，0)，(2，2,0)，(1，1，c)于是0，0，故DEB1A，DEDC，所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線設平面AB1C1的法向量為n(p，q，r)，則n·0，n·0，即p2qr0,2p2q0，令p，則q，r1，故n(，1)所以cosm，n.由于m，n等于二面角A1AC1B1的平面角，所以二面角A1AC1B1的大小為arccos.7. 【20xx高考新課標2，理9】已知A,B是球O的球面上兩點，AOB=90,C為該球面上的動點，若三棱錐O-ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為( )A36 B.64 C.144 D.256【答案】C三拔高題組1. 【20xx新課標，理11】直三棱柱ABC-A1B1C1中，BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC=CA=CC1，則BM與AN所成的角的余弦值為（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】以C為原點，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線為軸，則設CA=CB=1，則，A（1，0，0），故，所以，故選C.2. 【20xx課標全國，理7】一個四面體的頂點在空間直角坐標系Oxyz中的坐標分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為()【答案】：A3. 【20xx全國2，理11】與正方體ABCDA1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點()A有且只有1個 B有且只有2個C有且只有3個 D有無數個【答案】：D【解析】經驗證線段B1D上的點B，D，中點，四等分點均滿足題意，故由排除法知應有無數個點4. 【2005全國2，理12】將半徑為1的4個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里這個正四面體的高的最小值為（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】由題意知，底面放三個鋼球，上再落一個鋼球時體積最小，于是把鋼球的球心連接，則又可得到一個棱長為2的小正四面體，則不難求出這個小正四面體的高為，且由正四面體的性質可知：正四面體的中心到底面的距離是高的，且小正四面體的中心和正四面體容器的中心應該是重合的，小正四面體的中心到底面的距離是，正四面體的中心到底面的距離是（1即小鋼球的半徑），所以可知正四棱錐的高的最小值為，故選 C5. 【20xx全國，理16】三棱柱ABCA1B1C1中，底面邊長和側棱長都相等，BAA1CAA160°，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_【答案】：6. 【20xx全國2，理16】已知球O的半徑為4，圓M與圓N為該球的兩個小圓，AB為圓M與圓N的公共弦，AB4，若OMON3，則兩圓圓心的距離MN_.答案：3解析：|OM|ON|3，圓M與圓N的半徑相等，且為.取AB中點C，連結MC、NC，則MCAB，NCAB，|MC|NC|，易知OM、CN共面且OMMC，ONNC，|OC|2，sinOCM，|MN|2|MC|·sinOCM2×3. 7. 【2005全國2，理20】(本小題滿分12分)如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，、分別為、的中點() 求證：平面；() 設，求與平面所成的角的大小EFPEFAEFFAPB、FA為平面PAB內的相交直線EF平面PAB以D為坐標原點，DA的長為單位，建立如圖所示的直角坐標系。(I)證明：設E(，0,0)，其中>0，則C(2，0,0)，A(0,1，0)，B(2，1,0)，P(0,0，1)，F(，)。，EFPB，EFAB又PB平面PAB，AB平面PAB，PBAB=BEF平面PAB則sin=cos=，所以，所求角為arcsin8. 【20xx高考新課標2，理19】（本題滿分12分）如圖，長方體中,，點，分別在，上，過點，的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個正方形DD1C1A1EFABCB1（）在圖中畫出這個正方形（不必說出畫法和理由）；（）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（）詳見解析；（）【考點定位】1、直線和平面平行的性質；2、直線和平面所成的角9.