概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案.ppt

習(xí)題選解 第一章習(xí)題1 1 第7頁(yè) 1 2 3 4 5 6 A 1 3 5 1 用集合的形式寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間 與隨機(jī)事件A 1 拋一顆骰子 觀察向上一面的點(diǎn)數(shù) A表示 出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn) 2 對(duì)一個(gè)目標(biāo)進(jìn)行射擊 一旦擊中便停止射擊 觀察射擊的次數(shù) A表示 射擊不超過3次 3 把單位長(zhǎng)度的一根細(xì)棒折成三段 觀察各段的長(zhǎng)度 A表示 三段細(xì)棒能構(gòu)成一個(gè)三角形 1 2 3 A 1 2 3 a b 1 a b a b 0且a b 1 2 把表示成n個(gè)兩兩互不相容事件的和 A a b 1 a b 00 5 a b c a b c 0且a b c 1 a b c 0 a b c 0 5且a b c 1 解n 2時(shí) n 3時(shí) 一般地 3 在某班學(xué)生中任選一個(gè)同學(xué) 以A表示選到的是男同學(xué) B表示選到的人不喜歡唱歌 C表示選到的人是運(yùn)動(dòng)員 1 表述ABC及ABC 2 什么條件下成立ABC A ABC表示 選到的是不喜歡唱歌不是運(yùn)動(dòng)員的男同學(xué) 成立的條件是 男同學(xué)一定是不喜歡唱歌的運(yùn)動(dòng)員 ABC表示 選到的是喜歡唱歌的男運(yùn)動(dòng)員同學(xué) 3 何時(shí)成立 成立的條件是 非運(yùn)動(dòng)員同學(xué)一定不喜歡唱歌 4 何時(shí)同時(shí)成立A B與A C 成立的條件是 男同學(xué)都不是運(yùn)動(dòng)員都不喜歡唱歌 女同學(xué)都是喜歡唱歌的運(yùn)動(dòng)員 AB AC BC ABC A B C 4 設(shè)A B C為三個(gè)隨機(jī)事件 用A B C的運(yùn)算及關(guān)系表示下列各事件 1 A發(fā)生 B與C不發(fā)生 2 A和B都發(fā)生 而C不發(fā)生 4 A B C都發(fā)生 3 A B C至少有一個(gè)發(fā)生 8 A B C至少有二個(gè)發(fā)生 5 A B C都不發(fā)生 6 A B C不多于一個(gè)發(fā)生 7 A B C不多于兩個(gè)發(fā)生 第一章習(xí)題1 2 第12頁(yè) 1 某城市共發(fā)行三種報(bào)紙A B C 已知城市居民訂購(gòu)A的占45 訂購(gòu)B的占35 訂購(gòu)C的占30 同時(shí)訂購(gòu)A與B的占10 同時(shí)訂購(gòu)A與C的占8 同時(shí)訂購(gòu)B與C的占5 同時(shí)訂購(gòu)A B C的占3 求下列事件的概率 1 只訂購(gòu)A 2 只訂購(gòu)A與B P A B C P A P A B C P A P AB P AC P ABC 0 45 0 1 0 08 0 03 0 3 P AB C P AB P ABC 0 1 0 03 0 07 1 某城市共發(fā)行三種報(bào)紙A B C 已知城市居民訂購(gòu)A的占45 訂購(gòu)B的占35 訂購(gòu)C的占30 同時(shí)訂購(gòu)A與B的占10 同時(shí)訂購(gòu)A與C的占8 同時(shí)訂購(gòu)B與C的占5 同時(shí)訂購(gòu)A B C的占3 求下列事件的概率 3 只訂購(gòu)一種報(bào)紙 由 1 知 P 只訂購(gòu)A P A P AB P AC P ABC 0 3 同理 P 只訂購(gòu)B P B P AB P BC P ABC 0 23 或P P A B C P AB P AC P BC 2P ABC P 只訂購(gòu)C P C P AC P BC P ABC 0 2 所以 P 只訂購(gòu)一種報(bào)紙 0 3 0 23 0 2 0 73 P A P B P C 2P AB 2P AC 2P BC 3P ABC 0 45 0 35 0 3 0 2 0 16 0 1 0 09 0 73 1 某城市共發(fā)行三種報(bào)紙A B C 已知城市居民訂購(gòu)A的占45 訂購(gòu)B的占35 訂購(gòu)C的占30 同時(shí)訂購(gòu)A與B的占10 同時(shí)訂購(gòu)A與C的占8 同時(shí)訂購(gòu)B與C的占5 同時(shí)訂購(gòu)A B C的占3 求下列事件的概率 4 正好訂購(gòu)兩種報(bào)紙 P 正好訂購(gòu)A B P AB P ABC 0 07 所以 P 正好訂購(gòu)兩種報(bào)紙 0 14 P AB P AC P BC 3P ABC 0 1 0 08 0 05 0 09 0 14 P 正好訂購(gòu)A C P AC P ABC 0 05 P 正好訂購(gòu)B C P BC P ABC 0 02 或直接寫出 P 正好訂購(gòu)兩種報(bào)紙 1 某城市共發(fā)行三種報(bào)紙A B C 已知城市居民訂購(gòu)A的占45 訂購(gòu)B的占35 訂購(gòu)C的占30 同時(shí)訂購(gòu)A與B的占10 同時(shí)訂購(gòu)A與C的占8 同時(shí)訂購(gòu)B與C的占5 同時(shí)訂購(gòu)A B C的占3 求下列事件的概率 5 至少訂購(gòu)一種報(bào)紙 P 至少訂購(gòu)一種報(bào)紙 P 只訂購(gòu)一種報(bào)紙 P ABC 0 9 P 不訂購(gòu)任何報(bào)紙 1 P 至少訂購(gòu)一種報(bào)紙 1 0 9 0 1 P 正好訂購(gòu)兩種報(bào)紙 P 訂購(gòu)三種報(bào)紙 0 9 或P A B C P A P B P C P AB P AC P BC 6 不訂購(gòu)任何報(bào)紙 1 某城市共發(fā)行三種報(bào)紙A B C 已知城市居民訂購(gòu)A的占45 訂購(gòu)B的占35 訂購(gòu)C的占30 同時(shí)訂購(gòu)A與B的占10 同時(shí)訂購(gòu)A與C的占8 同時(shí)訂購(gòu)B與C的占5 同時(shí)訂購(gòu)A B C的占3 求下列事件的概率 7 至多訂購(gòu)一種報(bào)紙 P 至多訂購(gòu)一種報(bào)紙 或P 至多訂購(gòu)一種報(bào)紙 1 0 14 0 03 0 83 P 不訂購(gòu)任何報(bào)紙 P 只訂購(gòu)一種報(bào)紙 0 1 0 73 0 83 或 1 P 正好訂購(gòu)二種報(bào)紙 P 訂購(gòu)三種報(bào)紙 2 設(shè)在統(tǒng)計(jì)課考試中 學(xué)生A不及格的概率是0 5 學(xué)生B不及格的概率是0 2 兩人同時(shí)不及格的概率是0 1 求 1 兩人中至少有一人不及格的概率 解記A 學(xué)生A不及格 B 學(xué)生B不及格 則 1 P A B P A P B P AB 0 5 0 2 0 1 0 6 2 P AB P A B 1 P A B 1 0 6 0 4 2 兩人都及格的概率 3 兩人中只有一個(gè)人不及格的概率 3 P 只有一人不及格 P 至少有一人不及格 P 兩人都不及格 0 6 0 1 0 5 3 設(shè)A B為兩個(gè)隨機(jī)事件 P A 0 7 P A B 0 3 求P AB 解由于P A B P A AB P A P AB 4 設(shè)P A P B 0 5 證明 P AB P AB 所以 P AB 1 P AB 1 0 4 0 6 證明P AB P A P B P A B 1 P A B P A B P AB 7 人體血型的一個(gè)簡(jiǎn)化模型包括4種血型和2種抗體 A B AB與O型 抗A與抗B 抗體根據(jù)血型與人的血液以不同的形式發(fā)生作用 抗A只與A AB型血發(fā)生作用 不與B O型血作用 抗B只與B AB型血發(fā)生作用 不與A O型血作用 假設(shè)一個(gè)人的血型是O型血的概率為0 5 是A型血的概率為0 34 是B型血的概率為0 12 求 2 一個(gè)人的血型與兩種抗體都發(fā)生作用的概率 1 抗A 抗B分別與任意一人的血型發(fā)生作用的概率 解由已知可得 一個(gè)人血型是AB型血的概率為0 04 1 PA 0 34 0 04 0 38 PB 0 12 0 04 0 16 2 P 0 04 第一章章末習(xí)題1 第35頁(yè) 1 已知隨機(jī)事件A B滿足P AB P AB 且P A p 求P B 解由于P AB P A P B P A B P A P B 1 P A B P A P B 1 P AB 所以 P A P B 1 0 即 P B 1 P A 1 p 第一章習(xí)題1 3 第19頁(yè) 2 在1500個(gè)產(chǎn)品中 有400個(gè)次品 1100個(gè)正品 從中任取200個(gè) 求 1 恰有90個(gè)次品的概率 2 至少有2個(gè)次品的概率 解 1 n 2 P2 1 P 至多有一個(gè)次品 所以 P1 n1 n 1 P 沒有次品 P 恰有一個(gè)次品 3 一個(gè)口袋里裝有10只球 分別編有號(hào)碼1 2 10 隨機(jī)地從這個(gè)口袋取三只球 求 解 1 組合法 n 1 最小號(hào)碼是5的概率 2 最大號(hào)碼是5的概率 所以 P1 n1 n 或用排列法 2 P2 n2 n 1 P1 n1 n 2 P2 n2 n 5 進(jìn)行一個(gè)試驗(yàn) 先拋一枚均勻的硬幣 然后拋一個(gè)均勻的骰子 解 1 設(shè)試驗(yàn)是觀察硬幣正反面和骰子的點(diǎn)數(shù) 則 正面 1點(diǎn) 正面 2點(diǎn) 正面 3點(diǎn) 正面 4點(diǎn) 正面 5點(diǎn) 正面 6點(diǎn) 反面 1點(diǎn) 反面 2點(diǎn) 反面 3點(diǎn) 反面 4點(diǎn) 反面 5點(diǎn) 反面 6點(diǎn) 2 P 3 12 1 4 0 25 1 描述該試驗(yàn)的樣本空間 2 硬幣是正面且骰子點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)的概率是多少 6 假設(shè)2個(gè)叫Davis的男孩 3個(gè)叫Jones的男孩 4個(gè)叫Smith的男孩隨意地坐在一排9座的座位上 那么叫Davis的男孩剛好坐在前兩個(gè)座位上 叫Jones的男孩坐在挨著的3個(gè)座位上 叫Smith的男孩坐在最后4個(gè)座位上的概率是多少 解n 所以 P nA n 解記兩艘船到達(dá)泊位的時(shí)間分別為x y 則樣本空間為 x y 0 x 24 0 y 24 A x y x y 且 4 x y 3 m 242 576 m A 242 212 2 202 2 7 某碼頭只能容納一只船 現(xiàn)知某日獨(dú)立地來兩只船 且在24小時(shí)內(nèi)各時(shí)刻來到的可能性相等 若它們需要?？康臅r(shí)間分別為3小時(shí)和4小時(shí) 那么有一只船需要等待進(jìn)入碼頭的概率是多少 155 5 所以 P A 155 5 576 0 27 9 把長(zhǎng)度為l的線段任意折成3段 求它們能構(gòu)成三角形的概率 解記3段長(zhǎng)度為x y z則有 x y z x y z 0且x y z l A x y z 0 x y z l 2且x y z l m m A 所以 P A 1 4 0 25 或 第i個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率為 第一章章末習(xí)題1 第35頁(yè) 4 50只鉚釘隨機(jī)地取來用在10個(gè)部件上 其中有3個(gè)鉚釘強(qiáng)度太弱 每個(gè)部件用3只鉚釘 若將3只強(qiáng)度太弱的鉚釘都裝在一個(gè)部件上 則這個(gè)部件的強(qiáng)度就太弱 問發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少 k p 解n 所以 發(fā)生一個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率為 8 甲 乙兩人輪流擲一顆骰子 每輪擲一次 誰先擲出6點(diǎn)誰取勝 若從甲開始 問甲乙取勝的概率各為多少 解由于每輪擲出6點(diǎn)的概率為1 6 擲不出概率為5 6 顯然 奇數(shù)輪擲出甲取勝 所以甲取勝的概率為 所以 第i輪擲出6點(diǎn)的概率為 乙取勝的概率為 p乙勝 1 p甲勝 5 11 第一章習(xí)題1 4 第23頁(yè) 1 已知P A 0 8 P B 0 7 P A B 0 8 求P AB 解由于P AB P B P A B 0 7 0 8 0 56 所以 P A B P A P B P AB 0 94 于是 P AB P A B 1 P A B 0 06 解P A B P A P B P AB 0 8 P B A B P BA P A P AB 0 2 P B A B P B A B P A B 0 25 3 據(jù)以往資料 某一3口之家 患某種傳染病的概率有以下規(guī)律 P 孩子得病 0 6 P 母親得病 孩子得病 0 5 P 父親得病 母親及孩子得病 0 4 求母親及孩子得病但父親未得病的概率 解P 母親及孩子得病 P 母親及孩子得病但父親未得病 P 父親未得病 母親及孩子得病 1 0 4 0 6 0 3 0 6 0 18 P 孩子得病 P 母親得病 孩子得病 0 3 P 母親及孩子得病 P 父親未得病 母親及孩子得病 4 若M件產(chǎn)品中有m件廢品 今在其中任區(qū)兩件 1 已知取出的兩件中至少有一件是廢品 求另一件也是廢品的概率 解記Ai 取出的兩件中有i件廢品 i 0 1 2 則 2 已知取出的兩件中至少有一件不是廢品 求另一件是廢品的概率 3 求取出的兩件中至少有一件是廢品的概率 1 P1 P A2 A1 A2 P A2 P A1 A2 2 P2 P A1 A0 A1 P A1 P A0 A1 3 P3 P A1 A2 P A1 P A2 所以 P AB都有效 P B有效 P A失靈B有效 0 862 5 為防止意外事故 礦井內(nèi)同時(shí)安裝了兩個(gè)警報(bào)系統(tǒng)A與B 每個(gè)系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí) 有效率A為0 92 B為0 93 在A失靈條件下B的有效率為0 85 求 解 1 P A失靈B有效 P A失靈 P B有效 A失靈 0 068 2 在B失靈的條件下 A有效的概率 1 發(fā)生事故時(shí) 這兩個(gè)警報(bào)系統(tǒng)至少有一個(gè)有效的概率 因此 P AB至少有一個(gè)有效 P A有效 P B有效 P AB都有效 0 92 0 93 0 8636 0 988 2 P A有效B失靈 P A有效 P AB都有效 0 058 P A有效 B失靈 P A有效B失靈 P B失靈 0 829 6 一顧客每次購(gòu)買牙膏都選擇品牌A或B 假定初次購(gòu)買后 以后每次購(gòu)買時(shí)他仍選擇上一次品牌的概率為1 3 設(shè)該顧客第一次購(gòu)買時(shí)選擇A或B的概率相等 求他第一次和第二次都購(gòu)買A牌牙膏而第三次和第四次都購(gòu)買B牌牙膏的概率 解記Ai 第i次購(gòu)買A牌牙膏 Bi 第i次購(gòu)買B牌牙膏 P A1A2B3B4 P A1 P A2 A1 P B3 A1A2 P B4 A1A2B3 1 2 1 3 2 3 1 3 1 27 2 若已知至少取出一個(gè)紅色卡片 求兩個(gè)卡片都是紅色的概率 1 若已知卡片A被抽出 求兩個(gè)卡片都是紅色的概率 解 1 P 兩個(gè)紅色 A被取出 P A 一紅 P A被取出 7 假定一個(gè)箱子里共裝有一個(gè)藍(lán)色卡片和四個(gè)分別記為A B C D的紅色卡片 設(shè)從箱子中一次隨機(jī)地抽出兩個(gè)卡片 2 1 5 3 4 2 5 3 4 2 P 兩個(gè)紅色 至少一紅 P 兩個(gè)紅色 P 至少一紅 P 兩個(gè)紅色 4 5 3 4 3 5 8 某人忘了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字 因而他隨意地?fù)芴?hào) 求他撥號(hào)不超過三次就接通所要撥打的電話的概率 若已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù) 那么此概率又是多少 解P1 1 10 9 10 1 9 9 10 8 9 1 8 3 10 0 3 P2 1 5 4 5 1 4 4 5 3 4 1 3 3 5 0 6 1 已知產(chǎn)品中96 是合格的 現(xiàn)有一種簡(jiǎn)化的檢查方法 它把真正的合格品確認(rèn)為合格品的概率為0 98 而誤認(rèn)廢品為合格品的概率為0 05 求以簡(jiǎn)化法檢查為合格品的一個(gè)產(chǎn)品確實(shí)是合格品的概率 解記A 檢查為合格品 B 確實(shí)是合格品 則 第一章習(xí)題1 5 第27頁(yè) P B A 0 9979 解記A 目標(biāo)被擊毀 B1 距目標(biāo)250米處發(fā)射 B2 距目標(biāo)200米處發(fā)射 B3 距目標(biāo)150米處發(fā)射 P B1 A 2 炮戰(zhàn)中 在距目標(biāo)250米 200米 150米處發(fā)射的概率分別為0 1 0 7 0 2 命中目標(biāo)的概率分別為0 05 0 1 0 2 現(xiàn)在已知目標(biāo)被擊毀 求擊毀目標(biāo)的炮彈是由距目標(biāo)250米處發(fā)射的概率 0 04348 解記A 色盲患者 B1 男性 B2 女性 P B1 A 0 9524 3 已知男性有5 是色盲患者 女性有0 25 是色盲患者 今從男女人數(shù)相等的人群中隨機(jī)地挑選一人 恰好是色盲患者 問此人是男性的概率是多少 解記A 收到A B1 發(fā)送A B2 發(fā)送B P B1 A 0 9949 5 將兩條信息分別編碼為A和B傳遞出去 接收站收到時(shí) A被誤收作B的概率為0 02 而B被誤收作A的概率為0 01 信息A與信息B傳送的頻繁程度為2 1 若接收站收到的信息是A 問原發(fā)信息是A的概率是多少 7 有兩箱同種類的零件 第一箱裝50只 其中10只一等品 第二箱裝30只 其中18只一等品 今從兩箱中任挑出一箱 然后從該箱中不放回地抽取零件兩次 每次任取一只 求 1 第一次取到的零件是一等品的概率 2 第一次取到的零件是一等品的條件下 第二次取到的也是一等品的概率 解 1 p1 0 5 10 50 0 5 18 30 2 P 都一等 0 5 10 50 9 49 0 5 18 30 17 29 1 10 3 10 4 10 0 4 9 490 51 290 0 194 p2 P 都一等 p1 0 4856 第一章章末習(xí)題1 第35頁(yè) 5 一打靶場(chǎng)備有5支某種型號(hào)的槍 其中3支已經(jīng)校正 2只未經(jīng)校正 某人使用已校正的槍擊中目標(biāo)的概率為p1 使用未經(jīng)校正的槍擊中目標(biāo)的概率為p2 現(xiàn)在他隨機(jī)地取了一支槍 射擊5次都未擊中 求他使用的是已校正的槍的概率 設(shè)各次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立 解記A 5次都未擊中 B 使用的是已校正的槍 P B A P B P A B P B P A B P B P A B 3 5 1 p1 5 3 5 1 p1 5 2 5 1 p2 5 3 1 p1 5 3 1 p1 5 2 1 p2 5 7 設(shè)甲 乙 丙三門炮同時(shí)獨(dú)立地向某目標(biāo)射擊 命中率分別為0 2 0 3 0 5 目標(biāo)被命中一發(fā)而擊毀的概率為0 2 被命中兩發(fā)而擊毀的概率為0 6 被命中三發(fā)而被擊毀的概率為0 9 求 1 三門炮在一次射擊中擊毀目標(biāo)的概率 2 若已知目標(biāo)被擊毀 求只由甲炮擊中的概率 P B1 0 2 1 0 3 1 0 5 1 0 2 0 3 1 0 5 1 0 2 1 0 3 0 5 0 47 P B2 0 2 0 3 1 0 5 0 2 1 0 3 0 5 解記A 目標(biāo)被擊毀 Bi 被命中i發(fā) i 1 2 3 1 0 2 0 3 0 5 0 22 P B3 0 2 0 3 0 5 0 03 0 47 0 2 0 22 0 6 0 03 0 9 0 253 2 記C 只有甲命中 則 P C 0 2 1 0 3 1 0 5 0 07 于是 1 P A P B1 P A B1 P B2 P A B2 P B3 P A B3 P C A P AC P A P C P A C P A 0 07 0 2 0 253 0 0553 11 假設(shè)一廠家生產(chǎn)的每臺(tái)儀器 以概率0 7直接出廠 以概率0 3需進(jìn)一步調(diào)試 經(jīng)調(diào)試以后以概率0 8出廠 以概率0 2定為不合格不能出廠 現(xiàn)該廠新生產(chǎn)了n n 2 臺(tái)儀器 假設(shè)各臺(tái)儀器的生產(chǎn)過程相互獨(dú)立 求 1 全部能出廠的概率 2 其中恰好有兩臺(tái)不能出廠的概率 3 其中至少有兩臺(tái)不能出廠的概率 解每臺(tái)儀器能出廠的概率p 0 7 0 3 0 8 0 94 1 0 94n 2 Cn2 0 06 2 0 94 n 2 0 0018n n 1 0 94 n 2 3 1 0 94n 0 06n 0 94 n 1 解n個(gè)卵變?yōu)閗個(gè)成蟲的概率為 Cnkpk 1 p n k 1 每蠶養(yǎng)出k個(gè)成蟲的概率為 12 若每蠶產(chǎn)n個(gè)卵的概率為 每個(gè)卵變?yōu)槌上x的概率為p 且各卵是否變?yōu)槌上x是相互獨(dú)立的 1 求每蠶養(yǎng)出k個(gè)成蟲的概率 2 若某蠶養(yǎng)出k個(gè)成蟲 求它產(chǎn)了n個(gè)卵的概率 2 P 產(chǎn)n個(gè)卵 養(yǎng)出k個(gè)成蟲 P 產(chǎn)n個(gè)卵 P 養(yǎng)出k個(gè)蟲 產(chǎn)n個(gè)卵 P 養(yǎng)出k個(gè)蟲 P 產(chǎn)n個(gè)卵且養(yǎng)出k個(gè)成蟲 P 養(yǎng)出k個(gè)成蟲 2 一旦危險(xiǎn)情況C發(fā)生 報(bào)警電路會(huì)閉合發(fā)出警報(bào) 借助兩個(gè)或更多開關(guān)并聯(lián)的報(bào)警電路可以增強(qiáng)報(bào)警系統(tǒng)的可靠性 現(xiàn)在有兩個(gè)開關(guān)并聯(lián)的報(bào)警電路 每個(gè)開關(guān)有0 96的可靠性 問這個(gè)報(bào)警系統(tǒng)的可靠性是多少 如果要求報(bào)警系統(tǒng)的可靠性至少為0 9999 則至少需要多少只開關(guān)并聯(lián) 假設(shè)各開關(guān)的閉合與否是相互獨(dú)立的 解記Ai i個(gè)開關(guān)并聯(lián)的系統(tǒng)發(fā)出警報(bào) 則 第一章習(xí)題1 6 第34頁(yè) P A2 1 P A2 1 0 042 0 9984 P An 1 P An 1 0 04n 0 9999 解得 n ln0 0001 ln0 04 2 86 故至少需要3只開關(guān)并聯(lián) 3 求下圖所示的兩個(gè)系統(tǒng)的可靠性 假設(shè)元件i的可靠性為pi 各元件正常工作與否相互獨(dú)立 解 a 易得 2 3子系統(tǒng)的可靠性是p2p3 2 3 4子系統(tǒng)的可靠性是 1 1 p4 1 p2p3 p4 p2p3 p2p3p4 系統(tǒng)的可靠性為 系統(tǒng)的可靠性為 p1 p4 p2p3 p2p3p4 P A1A2A3A4A5 p P A1A2 A1A3A5 A4A5 A2A3A4 b 若以Ai表示 第i個(gè)元件正常工作 i 1 2 n 則系統(tǒng)的可靠性為 P A1A2 P A1A3A5 P A4A5 P A2A3A4 P A1A2A3A5 P A1A2A4A5 P A1A2A3A4 P A1A3A4A5 P A1A2A3A4A5 P A2A3A4A5 4P A1A2A3A4A5 P A1A2 P A1A3A5 P A4A5 P A2A3A4 P A1A2A3A5 P A1A2A4A5 P A1A2A3A4 P A1A3A4A5 P A2A3A4A5 2P A1A2A3A4A5 p1p2 p4p5 p1p3p5 p2p3p4 p1p2p3p4 p1p2p3p5 p1p2p4p5 p1p3p4p5 p2p3p4p5 2p1p2p3p4p5 4 根據(jù)以往記錄的數(shù)據(jù)分析 某船只運(yùn)送某種物資損壞的情況共有三種 損壞2 記為A1 損壞10 記為A2 損壞90 記為A3 且P A1 0 8 P A2 0 15 P A3 0 05 現(xiàn)從已被運(yùn)送物資中隨機(jī)取3件 發(fā)現(xiàn)3件都是好的 記為B 求 P A1 B P A2 B P A3 B 假設(shè)物資件數(shù)很多 解P B A1 1 0 02 3 0 941 P B A2 1 0 1 3 0 729 P B A3 1 0 9 3 0 001 所以P A1 B P A1 P B A1 P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 0 8 0 941 0 8 0 941 0 15 0 729 0 05 0 001 0 7528 0 7528 0 10935 0 00005 0 873 P A2 B P A2 P B A2 P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 0 15 0 729 0 8 0 941 0 15 0 729 0 05 0 001 0 10935 0 7528 0 10935 0 00005 0 127 P A3 B P A3 P B A3 P A1 P B A1 P A2 P B A2 P A3 P B A3 0 05 0 001 0 8 0 941 0 15 0 729 0 05 0 001 0 00005 0 7528 0 10935 0 00005 0 000058 概率為 而輸出為其它一字母的概率都是 1 2 今將字母串AAAA BBBB CCCC之一輸入信道 輸入AAAA BBBB CCCC的概率分別為p1 p2 p3 p1 p2 p3 1 已知輸出為ABCA 問輸入的是AAAA的概率是多少 設(shè)信道傳輸各個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的 解P 2 p1 1 p1 3 p1 5 將A B C三個(gè)字母之一輸入信道 輸出為原字母的 解P 0 72 0 83 0 2509 6 設(shè)在第一臺(tái)車床上制造一級(jí)品零件的概率為0 7 在第二臺(tái)車床上制造一級(jí)品零件的概率為0 8 第一臺(tái)車床制造了2個(gè)零件 第二臺(tái)車床制造了3個(gè)零件 求這5個(gè)零件均為一級(jí)品的概率 解 1 P1 1 0 5 2n 7 設(shè)實(shí)驗(yàn)室產(chǎn)生甲類細(xì)菌和乙類細(xì)菌的機(jī)會(huì)是相等的 若某次產(chǎn)生了2n個(gè)細(xì)菌 求 1 至少有一個(gè)是甲類細(xì)菌的概率 2 甲 乙兩類細(xì)菌各占一半的概率 2 P2 C2nn 0 5 2n 解P 至少擊中兩彈 1 P 一彈未中 P 只中一彈 8 設(shè)每次射擊打中目標(biāo)的概率是0 001 射擊5000次 求至少擊中兩彈的概率 1 0 9995000 5000 0 001 0 9994999 0 9596 第一章章末習(xí)題1 第35頁(yè) 3 設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件A和B都不發(fā)生的概率為1 9 A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等 求P A 解由于P A P B P AB P AB P A P B 所以P A 1 P B 1 P A P B 故P A P B 又由于P AB 1 P A 1 P B 1 9 所以1 P A 1 3 故P A 2 3 解 1 P A 2 6 1 3 P B 21 36 7 12 6 將一顆骰子擲兩次 考慮兩事件A B A 第一次擲得點(diǎn)數(shù)為2或5 B 兩次點(diǎn)數(shù)之和至少為7 1 求P A P B 2 判斷A B是否相互獨(dú)立 2 P AB 7 36 P A P B 所以 事件A B相互獨(dú)立 10 一射手對(duì)同一目標(biāo)獨(dú)立地進(jìn)行四次射擊后 至少命中一次的概率為80 81 求該射手的命中率 解設(shè)該射手的命中率為p 則有 1 1 p 4 80 81 所以 1 p 4 1 81 故 該射手的命中率為 p 2 3 第二章習(xí)題2 1 第38頁(yè) 隨機(jī)抽出一同學(xué) 他成績(jī)?cè)?0分以上的課程數(shù) 舉出幾個(gè)你所熟悉的能用隨機(jī)變量來描述的社會(huì)或生活現(xiàn)象 拋擲5枚硬幣 正面朝上的個(gè)數(shù) 買10張彩票 中獎(jiǎng)情況 在一些人中隨機(jī)找一人測(cè)其身高 等等 1 問c取何值才能使下列數(shù)列成為分布律 1 第二章習(xí)題2 2 第49頁(yè) 解 1 由 得 c 1 2 由于 2 0為常數(shù) 所以 c 1 e 1 2 已知隨機(jī)變量X只取 1 0 1 2四個(gè)值 相應(yīng)概率依次為1 2c 3 4c 5 8c 7 16c 試確定常數(shù)c 并求P X 1 X 0 解由分布律的性質(zhì)有 1 2c 3 4c 5 8c 7 16c 37 16c 1 所以 c 37 16 P X 1 X 0 P X 1且X 0 P X 0 P X 1 1 P X 0 8 37 1 12 37 8 25 3 一批產(chǎn)品分一 二 三級(jí) 其中一級(jí)品是二級(jí)品的兩倍 三級(jí)品是二級(jí)品的一半 從這批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一個(gè)檢驗(yàn)質(zhì)量 試用隨機(jī)變量描述檢驗(yàn)的可能結(jié)果 并寫出其分布律 解記X i為檢驗(yàn)結(jié)果為i級(jí)品 則X只能取1 2 3 若設(shè)P X 2 p 則P X 1 2p P X 3 0 5P 于是p 2p 0 5p 1 即p 2 7 即X的分布律為 P X 1 4 7 P X 2 2 7 P X 3 1 7 或?qū)懗?4 某運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為0 4 寫出他一次投籃命中數(shù)X的分布律 解顯然 X只能取0 1 其分布律為 P X 0 0 6 P X 1 0 4 或?qū)懗?或 5 上拋兩枚硬幣 寫出正面朝上的個(gè)數(shù)Y的分布律 解顯然 Y只能取0 1 2 其分布律為 P Y 0 0 25 P Y 1 0 5 P Y 2 0 25 7 設(shè)隨機(jī)變量X B 6 p 已知P X 1 P X 5 求P X 2 的值 解由于X B 6 p 所以 P X k C6kpk 1 p 6 k 由已知有 6p 1 p 5 6p5 1 p 所以 p 0 5 因此 P X 2 15 0 52 0 54 15 64 0 2344 8 已知事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0 3 當(dāng)A發(fā)生不少于三次時(shí) 指示燈將發(fā)出信號(hào) 若按一下兩種方式進(jìn)行試驗(yàn) 分別求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率 解 1 P X 3 2 P X 3 1 P X 3 1 進(jìn)行5次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn) 2 進(jìn)行7次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn) 9某實(shí)驗(yàn)室有自動(dòng)控制的儀器10臺(tái) 相互獨(dú)立地運(yùn)行 發(fā)生故障的概率都是0 03 在一般情況下 一臺(tái)儀器的故障需要一個(gè)技師處理 問配備多少技師可以保證在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)處理的概率小于0 05 解記X 同時(shí)發(fā)生故障儀器的臺(tái)數(shù) 則X B 10 0 03 令p X N 0 05 則P X N 0 95 因?yàn)?所以 P X 1 0 7374 0 2281 0 9655 0 95 因此 取N 1便滿足條件 即 配備一名技師便可以保證設(shè)備發(fā)生故障 11 某救援站在長(zhǎng)度為t的時(shí)間 單位 h 內(nèi)收到救援信號(hào)的次數(shù)X服從P t 2 分布且與時(shí)間的起點(diǎn)無關(guān) 試求某天下午救援站在1點(diǎn)至6點(diǎn)間至少收到一次救援信號(hào)的概率 解由已知 1點(diǎn)至6點(diǎn)收到救援信號(hào)的次數(shù)X P 5 2 所以 P X 1 1 P X 0 1 e 2 5 0 9179 12 若X P 且P X 2 P X 3 求P X 5 解由已知有 2e 2 3e 6 所以 3 所以 P X 5 5e 5 35e 3 5 0 1008 13 設(shè)步槍射擊飛機(jī)的命中率為0 001 今射擊6000次 試按泊松分布近似計(jì)算步槍至少擊中飛機(jī)兩彈的概率 并求最可能擊中數(shù) 解記X為擊中彈數(shù) 則X B 6000 0 001 所以 P X 2 1 P X 0 P X 1 1 e 6 6e 6 0 9826 實(shí)際上 P X 2 1 0 9996000 6000 0 001 0 9995999 0 9827 X的最可能數(shù)為 n 1 p 6 001 6 即 最可能擊中數(shù)為6 15 在有8件正品 2件次品的10件產(chǎn)品中隨機(jī)地取3件 寫出取出的次品數(shù)X的分布律 解X H 10 2 3 其分布律為 P X 0 8 10 7 9 6 8 7 15 P X 1 3 8 10 7 9 2 8 7 15 P X 2 3 8 10 2 9 1 8 1 15 16 在一副撲克牌中 按54張計(jì) 隨機(jī)地抽出5張 求抽出黑桃張數(shù)的概率分布 解黑桃張數(shù)X H 54 13 5 其分布律為 17 一批產(chǎn)品的次品率為0 02 從中任取20件 現(xiàn)已初步查出2件次品 求20件中次品數(shù)不小于3的概率 解20件中次品數(shù)X B 20 0 02 于是 P X 3 X 2 P X 3 P X 2 1 P X 3 1 P X 2 1 0 9820 20 0 02 0 9819 190 0 022 0 9818 1 0 9820 20 0 02 0 9819 0 1185 18 自動(dòng)生產(chǎn)線在調(diào)整之后出現(xiàn)廢品的概率為p 且生產(chǎn)過程中一旦出現(xiàn)廢品即刻重新進(jìn)行調(diào)整 求在兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格品數(shù)的分布律 解合格品數(shù)X 1 G P 于是 其分布律為 P X k 1 p kp k 0 1 2 19 某射手有5發(fā)子彈 每射一發(fā)子彈的命中率都是0 7 如果命中目標(biāo)就停止射擊 不中目標(biāo)就一直射擊到子彈用完為止 試求所用子彈數(shù)X的分布律 解顯然 X只能取1 2 3 4 5 X的分布律為 P X 1 0 7 P X 2 0 3 0 7 0 21 P X 3 0 32 0 7 0 063 P X 4 0 33 0 7 0 0189 P X 5 0 34 0 0081 20 從有10件正品 3件次品的產(chǎn)品中一件一件地抽取 每次抽取時(shí) 各件產(chǎn)品被抽到的可能性相等 在下列三種情形下 分別寫出直到取得正品為止所需抽取次數(shù)X的分布律 1 每次取出的產(chǎn)品不再放回 2 每次取出的產(chǎn)品立即放回 3 每次取出一件產(chǎn)品后隨即放回一件正品 解 1 X只能取1 2 3 4 其分布律為 P X 3 3 13 2 12 10 11 5 143 P X 4 3 13 2 12 1 11 1 286 P X 1 10 13 P X 2 3 13 10 12 5 26 解 2 X G 10 13 其分布律為 P X 1 10 13 P X 2 3 13 11 13 33 169 P X k 3 13 k 1 10 13 k 1 2 3 3 X只能取1 2 3 4 其分布律為 P X 3 3 13 2 13 12 13 72 2197 P X 4 3 13 2 13 1 13 6 2197 5 火炮向某目標(biāo)獨(dú)立射擊 每發(fā)炮彈命中目標(biāo)的概率為0 6 且只要命中一發(fā)目標(biāo)就被摧毀 今發(fā)射4發(fā) 求摧毀目標(biāo)的概率 若使目標(biāo)被摧毀的概率達(dá)到0 999以上 則至少要發(fā)射多少發(fā)炮彈 第二章章末習(xí)題2 第72頁(yè) 解4法炮彈中命中目標(biāo)數(shù)X B 4 0 6 所以 若記N發(fā)炮彈命中目標(biāo)數(shù)Y 則Y N 0 6 于是 P X 1 1 P X 0 1 0 44 0 9744 P X 1 1 P X 0 1 0 4N 0 999 則 N ln0 001 ln0 4 7 539 故 至少要發(fā)射8發(fā)炮彈 可使目標(biāo)被摧毀的概率達(dá)到0 999 7 某種動(dòng)物出現(xiàn)畸形概率為0 001 如果在相同的環(huán)境中觀察5000例 試按泊松分布近似計(jì)算其中至多有兩例是畸形的概率 并求最可能畸形例數(shù) 解記X為畸形例數(shù) 則X B 5000 0 001 所以 P X 2 P X 0 P X 1 P X 2 e 5 5e 5 52e 5 2 0 1247 X的最可能數(shù)為 n 1 p 5 001 5 即 最可能畸形例數(shù)為5 9 袋中裝有1個(gè)白球 4個(gè)紅球 每次從中任取一球 直到取出白球?yàn)橹?試寫出取球次數(shù)X的分布律 假定取球方式為每次取出的紅球不再放回 或者每次取出的紅球放回 解取出的紅球不放回 則X的分布律為 P X 1 1 5 P X 2 4 5 1 4 1 5 P X 3 4 5 3 4 1 3 1 5 P X 4 4 5 3 4 2 3 1 2 1 5 每次取出的紅球再放回 則X G 1 5 其分布律為 P X 5 4 5 3 4 2 3 1 2 1 5 P X k 4 5 k 1 1 5 22k 2 5k k 1 2 3 第二章習(xí)題2 3 第58頁(yè) 解 1 由于 所以 c 1 9 1 已知隨機(jī)變量X 求 1 常數(shù)c 2 P 1 X 2 P X 1 P X 2 2 P X 2 0 證明顯然f x 0 且 2 證明函數(shù) c為正的常數(shù) 為密度函數(shù) 所以 f x 是密度函數(shù) 證明密度函數(shù)為 3 設(shè)X U 2 3 寫出X的密度函數(shù) 證明 1 X的密度函數(shù)為 6 設(shè)X E 2 1 寫出X的密度函數(shù) 2 求P 14 2 P 1 X 2 P 0 X 2 1 e 4 0 9817 p 1 x 3 e 2 e 6 0 1329 p x 5 1 e 10 0 99995 p x 4 e 8 0 0003355 10 設(shè)X N 1 16 求P X 1 5 P X1 解P X 2 44 2 44 1 4 0 86 0 8051 P X 1 5 1 1 5 1 4 0 125 0 55 P X 2 8 2 8 1 4 1 0 45 0 3264 P X 4 4 1 4 4 1 4 1 25 0 75 1 0 6678 P X 1 1 P X2 0 25 1 0 75 0 8253 解由于方程無實(shí)根 所以4 X 0 于是有 11 設(shè)X N 2 方程y2 4y X 0無實(shí)根的概率為0 5 求 P 4 X4 0 5 p x 4 1 4 4 0 5 所以 4 0 即 4 解由已知 P 2 X 4 2 0 0 3 12 設(shè)X N 2 2 且P 2 X 4 0 3 求P X 0 所以 2 0 8 P X 0 2 1 2 0 2 A 單調(diào)增大 B 單調(diào)減小 C 保持不變 D 增減不定 13 設(shè)X N 2 則隨著 增大 P X 必然 解由于p X P X 1 2 1 1 所以 應(yīng)選 C A 1 2 C 1 2 14 隨機(jī)變量X N 1 12 Y N 2 22 且P X 1 P Y 2 1 則正確的是 解p X 1 1 P X 1 1 1 1 2 1 1 1 p Y 2 1 P Y 2 2 1 2 2 1 2 1 所以 1 1 1 2 故 1 2 即應(yīng)選 A 15 某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓的長(zhǎng)度 cm 服從參數(shù)為 10 05 0 06的正態(tài)分布 規(guī)定長(zhǎng)度在范圍10 05 0 12內(nèi)為合格品 求一只螺栓為不合格品的概率 解P X 10 05 0 12 P X 10 05 0 06 2 2 2 2 0 0456 解P 120 X 200 P X 160 40 16 設(shè)X N 160 2 若P 120 X 200 0 8 求 2 40 1 0 8 所以 40 0 9 查表得 40 1 29 即 31 008 第二章章末習(xí)題2 第72頁(yè) 6 已知隨機(jī)變量X的概率密度 現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行n次獨(dú)立的重復(fù)觀測(cè) 并以Vn表示觀測(cè)值不大于0 1的次數(shù) 求Vn的概率分布 解由于P X 0 1 所以 Vn B n 0 01 故 Vn的分布律為 P Vn k Cnk 0 01k 0 99n k k 0 1 2 n 11 設(shè)X是區(qū)間 0 1 中的隨機(jī)數(shù) 試確定滿足條件0 a 1的數(shù)a 使得隨機(jī)抽取且可以重復(fù)的4個(gè)數(shù)的數(shù)值中至少有一個(gè)超過a的概率為0 9 解由于P X a P a X 1 1 a 記Y為4個(gè)數(shù)中超過a的個(gè)數(shù) 則Y B 4 1 a P Y 1 1 P Y 0 1 a4 0 9 所以 a 0 11 4 0 5623 13 某軍事掩體的高度是按戰(zhàn)士與掩體門頂撞頭的概率在0 01以下設(shè)計(jì)的 設(shè)戰(zhàn)士身高服從 165cm 5cm的正態(tài)分布 試確定掩體門的高度 解設(shè)門的高度為H 戰(zhàn)士身高為X 由已知有 P X H 1 H 165 5 0 01 所以 H 165 5 0 99 于是 H 165 5 2 33 即 H 176 65cm 14 設(shè)X N 36 Y N 64 記p1 P X 6 p2 P Y 8 則對(duì)任何實(shí)數(shù) 都有 A p1 p2 B p1 p2 C p1 p2 D p1 p2 解P X 6 1 1 1 P Y 8 1 1 所以 p1 p2 故應(yīng)選 A 15 設(shè)X N 0 1 對(duì)給定的 0 1 數(shù)u 滿足P X u 若P X x 則x等于 A u 2 B u1 2 C u 1 2 D u1 解P X x 1 2P X x 所以 P X x 1 2 于是 x u 1 2 故 應(yīng)選 C 第二章習(xí)題2 4 第65頁(yè) 解定義式為 F x P X x 1 寫出分布函數(shù)的定義式以及離散與連續(xù)兩種類型隨機(jī)變量的分布函數(shù)計(jì)算公式 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 2 寫出習(xí)題2 2第3題中隨機(jī)變量的分布函數(shù) 解由于X的分布律為 x 1時(shí) F x 0 1 x 2時(shí) F x P X x P X 1 4 7 2 x 3時(shí) F x P X x P X 1 P X 2 6 7 x 3時(shí) F x P X x P X 1 P X 2 P X 3 1 即 2 x 0時(shí) F x 4 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 求 1 常數(shù)A 2 X的分布函數(shù) 解 1 由于 所以A 1 0 x 1時(shí) F x x 1時(shí) F x 即 7 求與密度函數(shù)對(duì)應(yīng)的分布函數(shù) 0 x 2時(shí) F x 解x 0時(shí) F x x 2時(shí) F x 所以 0 5 0 25x 8 隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F x 1 求常數(shù)A B 2 求P 3 X是連續(xù)型隨機(jī)變量嗎 如果是則求X的密度函數(shù) 解 1 由于 F 1 所以A 1 3 由于F x 是連續(xù)的 所以X是連續(xù)型隨機(jī)變量 X的密度函數(shù)為 又由F 0 F 0 得B 1 2 P 11 設(shè)F1 x 與F2 x 分別為隨機(jī)變量X1與X2的分布函數(shù) 為使F x aF1 x bF2 x 是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù) 在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)取 A a 3 5 b 2 5 B a 2 3 b 2 3 C a 1 2 b 3 2 D a 3 2 b 3 2 解由于 B 中有F 0 D 中有F 3 C 中有F x 0 所以 只能選 A 實(shí)際上 A 中的F x 滿足 0 F x 1 單調(diào)不減 右連續(xù) 且F 0 F 1 所以F x 是分布函數(shù) 12 設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為 x x x F x 是X的分布函數(shù) 則對(duì)任意實(shí)數(shù)a 下列選項(xiàng)正確的是 解由于 C F a F a D F a 2F a 1 P X a 1 P X a 1 F a A F a 1 B F a 1 2 可見 C D 都不對(duì) 取a 0可得 F 0 1 2 于是 所以 應(yīng)選 B 13 設(shè)X1和X2是任意兩個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量 它們的密度函數(shù)分別為f1 x 和f2 x 分布函數(shù)分別為F1 x 和F2 x 則下列選項(xiàng)正確的是 A f1 x f2 x 必為某一隨機(jī)變量的密度函數(shù) A 中有 C 中F1 F2 2 解 D 中的F x F1 F2滿足 0 F x 1 單調(diào)不減 右連續(xù) 且F 0 F 1 所以F x 是分布函數(shù) 選D B f1 x f2 x 必為某一隨機(jī)變量的密度函數(shù) C F1 x F2 x 必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù) D F1 x F2 x 必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù) B 中若取X1 U 0 1 X2 U 2 3 則f1 x f2 x 0 第二章章末習(xí)題2 第72頁(yè) 18 設(shè)X的分布函數(shù)為 1 求常數(shù)A B C 2 求P X 1 2 3 X是連續(xù)型隨機(jī)變量嗎 若是則求X的密度函數(shù) 解 1 由F 0得A 0 由F 2 F 2 得C 2 再由F 1 F 1 得B 1 2 2 P X 1 2 1 F 1 2 1 1 8 7 8 由于F x 是連續(xù)函數(shù) 所以X是連續(xù)型隨機(jī)變量 密度函數(shù)為 19 設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為 若P X 3 0 1 求常數(shù)c 這時(shí)X是連續(xù)型隨機(jī)變量嗎 說明理由 解由于P X 3 F 3 F 3 1 27c 0 1 所以 c 1 30 X不是連續(xù)型隨機(jī)變量 下列任何理由都可說明 F x 在x 3處不連續(xù) P X 3 0 1 0 1 已知隨機(jī)變量X的概率分布為 習(xí)題2 5 第58頁(yè) 解Y和Z的分布律分別為 求隨機(jī)變量Y 2X 1和Z X2的分布律 FY x P Y x P X x 2 解對(duì)任意0 x 2 有 3 設(shè)X的密度函數(shù)為 求Y 2X Z X 1和U X2的密度函數(shù) 所以 fY x F Y x x 2 即Y的密度函數(shù)為 FZ x P Z x P X 1 x 對(duì)任意0 x 1 有 所以 fZ x F Z x 2 1 x 即Z的密度為 FU x P U x P x1 2 X x1 2 對(duì)任意0 x 1 有 所以 fU x F U x 1 即U的密度函數(shù)為 解 1 FY y P Y y p X3 y P X y1 3 5 1 設(shè)X f x 求Y X3的密度函數(shù) 2 設(shè)X E 求Y X3的密度函數(shù) 3 設(shè)X E 1 求Y eX的密度函數(shù) 所以 Y的密度函數(shù)為 2 由 1 得 Y的密度函數(shù)為 FY y P Y y p eX y P X lny 3 對(duì)任意y 1有 所以 F Y y 1 y2 于是Y的密度函數(shù)為 解 1 對(duì)任意1 y 4有 6 設(shè)X U 0 1 求 1 Y 3X 1的密度函數(shù) 2 Y 2lnX的密度函數(shù) 3 Y eX的密度函數(shù) 所以 Y的密度函數(shù)為 Y U 1 4 FY y P Y y p 3X 1 y P X y 1 3 2 對(duì)任意y 0 有 FY y P Y y p 2lnX y P X e y 2 所以 Y的密度函數(shù)為 Y E 1 2 3 對(duì)任意1 y e 有 所以 Y的密度函數(shù)為 FY y P Y y p eX y P X lny 10 設(shè)X U 1 2 隨機(jī)變量Y 試求隨機(jī)變量Y的分布律 解Y只能取 1 0 1三個(gè)值 Y的分布律為 P Y 1 P X 0 P 1 X 0 1 3 P Y 0 P X 0 0 P Y 1 p X 0 P 0 X 2 2 3 或?qū)懗?11 假設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑 單位mm 服從正態(tài)分布N 11 1 內(nèi)徑小于10或大于12的為不合格品 其余為合格品 銷售每件合格品獲利 銷售每件不合格品則虧損 已知銷售利潤(rùn)Y 單位 元 與銷售零件的內(nèi)徑X有關(guān)系 求Y的分布律 P Y 1 P X 10 1 1 1 0 1587 P Y 20 P 10 X 12 2 1 1 0 6826 P Y 5 p X 12 1 1 0 1587 解Y只能取 5 1 20三個(gè)值 Y的分布律為 第二章章末習(xí)題2 第72頁(yè) 20 已知隨機(jī)變量X的分布律為 求X 2 X 1與X2的分布律 解分布律分別為 21 設(shè)隨機(jī)變量X E 2 證明 Y 1 e 2X U 0 1 證明對(duì)任意0 y 1 有 FY y P Y y P 1 e 2X y P 2X ln 1 y P X ln 1 y 2 所以 Y的密度函數(shù)為 即 Y U 0 1 解F y P Y y P lnX y P X ey 22 設(shè)隨機(jī)變量X 求Y lnX的密度函數(shù) 所以 F Y y 即Y的密度函數(shù)為 A 連續(xù)函數(shù) B 至少有兩個(gè)間斷點(diǎn) 24 設(shè)隨機(jī)變量X E 5 則隨機(jī)變量Y min X 2 的分布函數(shù)是 C 階躍函數(shù) D 恰好有一個(gè)間斷點(diǎn) 解由于X 2時(shí)Y X X 2時(shí)Y 2 所以 可見 FY y 不是階躍函數(shù) 也不連續(xù) 只有y 2一個(gè)間斷點(diǎn) 故 應(yīng)選 D 第三章習(xí)題3 1 第75頁(yè) 例如 舉出幾個(gè)你所熟悉的能用多維隨機(jī)變量來描述的社會(huì)或生活現(xiàn)象 描述某種器件的長(zhǎng)度H和重量M 描述某學(xué)生各科考試的成績(jī)Xi 描述平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo) X Y 等等 2 袋中裝有1個(gè)紅球 2個(gè)黑球與3個(gè)白球 現(xiàn)從袋中取兩次 每次取一個(gè)球 以X Y Z分別表示兩次取球所取得的紅球 黑球與白球的個(gè)數(shù) 若每次取出的球 1 立即放回袋中 再取下一個(gè) 或者 2 不再放回袋中接著便取下一個(gè) 就這兩種取球方式 寫出 X Y 的概率分布 求P X 1 Z 0 第三章習(xí)題3 2 第82頁(yè) 解X Y Z可取0 1 2 且X Y Z 2 所以 X Y 的分布律為 P X 1 Z 0 2 15 3 15 2 3 1 4 1 3 1 9 1 6 1 9 1 36 1 5 2 5 1 15 1 5 2 15 1 2 P X 1 Z 0 1 9 9 36 4 9 解X可取0 1 2 3 Y可取1 3 且Y 1對(duì)應(yīng)X 1或X 2 Y 3對(duì)應(yīng)X 0或X 3 所以 X Y 的分布律為 3 將一硬幣連擲三次 以X表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù) 以Y表示三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)與出現(xiàn)反面的次數(shù)之差的絕對(duì)值 試寫出X和Y的聯(lián)合分布律 P X 0 Y 3 P X 0 1 8 P X 3 Y 3 P X 3 1 8 P X 1 Y 1 P X 1 3 8 P X 2 Y 1 P X 2 3 8 或?qū)懗?解X Y可取0 1 2 且X Y 所以 X Y 的分布律為 5 一射手射擊命中目標(biāo)的概率為p 0 p 1 射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次為止 設(shè)以X表示第一次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù) 以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù) 試求X和Y的聯(lián)合分布律 P X i Y j p2 1 p j 2 i 1 2 j i 1 i 2 解X Y可取 1 1 所以 X Y 的分布律為 7 設(shè)隨機(jī)變量U在區(qū)間 2 2 上服從均勻分布 且 P X 1 Y 1 P U 1 1 4 求X和Y的聯(lián)合概率分布 P X 1 Y 1 P U 1且U 1 0 P X 1 Y 1 P 1 U 1 1 2 P X 1 Y 1 P U 1 1 4 或?qū)懗?解由于P X1X2 0 1 所以 9 已知隨機(jī)變量X1 X2的分布律為 P X1 1 X2 1 P X1 1 X2 1 0 且P X1X2 0 1 求X1和X2的聯(lián)合概率分布 又由于 P X1 1 P X1 1 X2 0 P X1 1 X2 1 所以 P X1 1 X2 0 P X1 1 1 4 同理 P X1 1 X2 0 P X1 1 1 4 P X1 0 X2 1 P X2 1 1 2 P X1 0 X2 0 P X2 0 P X1 0 X2 1 0 即 解由于P X 0 0 4 P X 1 0 6 所以 11 已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p 0 6的0 1分布 且在X 0 X 1條件下隨機(jī)變量Y的條件分布律為 P X 0 Y j P Y j X 0 P X 0 0 4P Y j X 0 求 X Y 的分布律 P X 1 Y j P Y j X 1 P X 1 0 6P Y j X 1 所以 X Y 的分布律為 第三章章末習(xí)題3 第110頁(yè) 3 設(shè)隨機(jī)變量X與Y的聯(lián)合分布律為 且P Y 1 X 0 3 5 求常數(shù)a b的值 解由于P Y 1 X 0 P X 0 Y 1 P X 0 b 2 25 b 3 5 所以 b 3 25 又由于 pij 1 所以 a 14 25 即 a 14 25 b 3 25 解 1 X Y 的邊緣分布律分別為 7 設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 X Y 的分布律為 求 1 邊緣分布律 2 在X 1 Y 2條件下的條件分布律 3 P X Y P X 0 2 在X 1 Y 2條件下的條件分布律分別為 P X 0 1 P X 0 1 P X 1 1 0 18 0 82 3 P X Y 1 P X Y 1 0 07 0 93 8 設(shè)X Y為兩個(gè)隨機(jī)變量 且P X 0 Y 0 3 7 P X 0 P Y 0 4 7 求P max X Y 0 解P max X Y 0 P X 0或Y 0 P X 0 P Y 0 P X 0 Y 0 4 7 4 7 3 7 5 7 1 設(shè)隨機(jī)變量 X Y 的密度函數(shù)為 第三章習(xí)題3 3 第92頁(yè) 解 1 由于 所以 a 21 4 求 1 常數(shù)a 2 P X 0 5 P Y 0 5 2 P X 0 5 P Y 0 5 3 設(shè)隨機(jī)變量 X Y 解 1 由于 所以 c 1 求 1 常數(shù)c 2 P X 1 Y 1 2 P X 1 Y 1 P Y 1 P X 1 Y 1 5 設(shè)二維隨機(jī)變量 X Y 在平面區(qū)域D上服從均勻分布 其中區(qū)域D由曲線y 1 x及直線y 0 x 1 x e2圍成 寫出 X Y 的密度函數(shù) 并求 X Y 關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)在x 2的值 解由于區(qū)域D的面積為 所以 X Y 的密度函數(shù)為 X Y 關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)為 所以 fX 2 1 4 或 6 設(shè)隨機(jī)變量 X Y 在區(qū)域D上服從均勻分布 其中D為x軸 y軸及直線y 2x 1圍成的三角形區(qū)域 求條件密度函數(shù)fY X y x 解由于區(qū)域D的面積為A 1 4 所以 X Y 的密度函數(shù) X Y 關(guān)