2018年秋高中數(shù)學(xué) 第二章 隨機(jī)變量及其分布 階段復(fù)習(xí)課 第2課 隨機(jī)變量及其分布學(xué)案 新人教A版選修2-3.doc

第二課隨機(jī)變量及其分布核心速填(建議用時(shí)5分鐘)1離散型隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X的所有可能的取值都能一一列出，則稱X為離散型隨機(jī)變量2條件概率的性質(zhì)(1)非負(fù)性：0P(B|A)1.(2)可加性：如果是兩個(gè)互斥事件，則P(BC|A)P(B|A)P(C|A)3相互獨(dú)立事件的性質(zhì)(1)推廣：一般地，如果事件A1，A2，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(2)對(duì)于互斥事件A與B有下面的關(guān)系：P(AB)P(A)P(B)4二項(xiàng)分布滿足的條件(1)每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的(3)每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生(4)隨機(jī)變量是這n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件發(fā)生的次數(shù)5超幾何分布與二項(xiàng)分布的概率計(jì)算(1)超幾何分布：P(Xk)(其中k為非負(fù)整數(shù))(2)二項(xiàng)分布：P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)6期望與方差及性質(zhì)(1)E(X)X1P1X2P2XnPn.(2)D(X)(X1E(X)2P1(X2E(X)2P2(xnE(X)2Pn.(3)若ab(a，b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，E()E(ab)aE()b.(4)D(ab)a2D()(5)D()E(2)(E()2.7正態(tài)變量在三個(gè)特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率(1)P(X)68.27%.(2)P(2X2)95.45%.(3)P(3X3)99.73%.體系構(gòu)建題型探究條件概率條件概率是學(xué)習(xí)相互獨(dú)立事件的前提和基礎(chǔ)，計(jì)算條件概率時(shí)，必須搞清欲求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率求條件概率的主要方法有：(1)利用條件概率公式P(B|A)；(2)針對(duì)古典概型，可通過縮減基本事件總數(shù)求解在5道題中有3道理科題和2道文科題如果不放回地依次抽取2道題，求：(1)第1次抽到理科題的概率；(2)第1次和第2次都抽到理科題的概率；(3)在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032213】解設(shè)“第1次抽到理科題”為事件A，“第2次抽到理科題”為事件B，則“第1次和第2次都抽到理科題”為事件AB.(1)從5道題中不放回地依次抽取2道題的事件數(shù)為n()A20.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，n(A)AA12.于是P(A).(2)因?yàn)閚(AB)A6，所以P(AB).(3)法一(定義法)：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科題的條件下，第2次抽到理科題的概率P(B|A).法二(直接法)：因?yàn)閚(AB)6，n(A)12，所以P(B|A).規(guī)律方法條件概率的兩個(gè)求解策略(1)定義法：計(jì)算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)求解(2)縮小樣本空間法(直接法)：利用P(B|A)求解其中(2)常用于古典概型的概率計(jì)算問題跟蹤訓(xùn)練1拋擲5枚硬幣，在已知至少出現(xiàn)了2枚正面朝上的情況下，問：正面朝上數(shù)恰好是3枚的條件概率是多少？解法一(直接法)：記至少出現(xiàn)2枚正面朝上為事件A，恰好出現(xiàn)3枚正面朝上為事件B，所求概率為P(B|A)，事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)為n(A)CCCC26，事件B包含的基本事件的個(gè)數(shù)為n(B)C10，P(B|A).法二(定義法)：事件A，B同上，則P(A)，P(AB)P(B)，所以P(B|A).相互獨(dú)立事件的概率與二項(xiàng)分布求相互獨(dú)立事件一般與互斥事件、對(duì)立事件結(jié)合在一起進(jìn)行考查，解答此類問題時(shí)應(yīng)分清事件間的內(nèi)部聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上用基本事件之間的交、并、補(bǔ)運(yùn)算表示出有關(guān)事件，并運(yùn)用相應(yīng)公式求解特別注意以下兩公式的使用前提：(1)若A，B互斥，則P(AB)P(A)P(B)，反之不成立(2)若A，B相互獨(dú)立，則P(AB)P(A)P(B)，反之成立一個(gè)暗箱里放著6個(gè)黑球、4個(gè)白球(1)依次取出3個(gè)球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率(2)有放回地依次取出3個(gè)球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率(3)有放回地依次取出3個(gè)球，求取到白球個(gè)數(shù)的分布列和期望. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032214】解設(shè)事件A為“第1次取出的是白球，第3次取到黑球”，B為“第2次取到白球”，C為“第3次取到白球”，(1)P(A).(2)因?yàn)槊看稳〕鲋鞍迪涞那闆r沒有變化，所以每次取球互不影響，所以P().(3)設(shè)事件D為“取一次球，取到白球”，則P(D)，P()，這3次取出球互不影響，則B，所以P(k)C(k0,1,2,3)E()3.提醒：有放回地依次取出3個(gè)球，相當(dāng)于獨(dú)立重復(fù)事件，即B，則可根據(jù)獨(dú)立重復(fù)事件的定義求解規(guī)律方法求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率需注意的三個(gè)問題(1)“P(AB)P(A)P(B)”是判斷事件是否相互獨(dú)立的充要條件，也是解答相互獨(dú)立事件概率問題的唯一工具(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率問題，務(wù)必分清事件間的相互關(guān)系(3)公式“P(AB)1P()”常應(yīng)用于求相互獨(dú)立事件至少有一個(gè)發(fā)生的概率跟蹤訓(xùn)練2紅隊(duì)隊(duì)員甲、乙、丙與藍(lán)隊(duì)隊(duì)員A，B，C進(jìn)行圍棋比賽，甲對(duì)A、乙對(duì)B、丙對(duì)C各一盤已知甲勝A、乙勝B、丙勝C的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1)求紅隊(duì)至少兩名隊(duì)員獲勝的概率；(2)用表示紅隊(duì)隊(duì)員獲勝的總盤數(shù)，求P(1)解(1)設(shè)“甲勝A”為事件D，“乙勝B”為事件E，“丙勝C”為事件F，則，分別表示甲不勝A、乙不勝B、丙不勝C的事件因?yàn)镻(D)0.6，P(E)0.5，P(F)0.5，由對(duì)立事件的概率公式，知P()0.4，P()0.5，P()0.5.紅隊(duì)至少兩人獲勝的事件有DE，DF，EF，DEF.由于以上四個(gè)事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，因此紅隊(duì)至少兩人獲勝的概率為PP(DE)P(DF)P(EF)P(DEF)0.60.50.50.60.50.50.40.50.50.60.50.50.55.(2)由題意，知的可能取值為0,1,2,3.P(0)P()0.40.50.50.1，P(1)P(F)P(E)P(D)0.40.50.50.40.50.50.60.50.50.35，所以P(1)P(0)P(1)0.45.離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差1.含義：均值和方差分別反映了隨機(jī)變量取值的平均水平及其穩(wěn)定性2應(yīng)用范圍：均值和方差在實(shí)際優(yōu)化問題中應(yīng)用非常廣泛，如同等資本下比較收益的高低、相同條件下比較質(zhì)量的優(yōu)劣、性能的好壞等3求解思路：應(yīng)用時(shí)，先要將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，然后求出隨機(jī)變量的概率分布列對(duì)于一般類型的隨機(jī)變量，應(yīng)先求其分布列，再代入公式計(jì)算，此時(shí)解題的關(guān)鍵是概率的計(jì)算計(jì)算概率時(shí)要結(jié)合事件的特點(diǎn)，靈活地結(jié)合排列組合、古典概型、獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率、互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率等知識(shí)求解若離散型隨機(jī)變量服從特殊分布(如兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等)，則可直接代入公式計(jì)算其數(shù)學(xué)期望與方差一次同時(shí)投擲兩枚相同的正方體骰子(骰子質(zhì)地均勻，且各面分別刻有1,2,2,3,3,3六個(gè)數(shù)字)(1)設(shè)隨機(jī)變量表示一次擲得的點(diǎn)數(shù)和，求的分布列(2)若連續(xù)投擲10次，設(shè)隨機(jī)變量表示一次擲得的點(diǎn)數(shù)和大于5的次數(shù)，求E()，D()解(1)由已知，隨機(jī)變量的取值為：2,3,4,5,6.設(shè)擲一次正方體骰子所得點(diǎn)數(shù)為0，則0的分布列為：P(01)，P(02)，P(03)，所以的分布列為：P(2)，P(3)2，P(4)2，P(5)2.P(6).(2)由已知，滿足條件的一次投擲的點(diǎn)數(shù)和取值為6，設(shè)其發(fā)生的概率為p，由(1)知，p，因?yàn)殡S機(jī)變量B，所以E()np10，D()np(1p)10.規(guī)律方法求離散型隨機(jī)變量的期望與方差的步驟跟蹤訓(xùn)練3為推動(dòng)乒乓球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員組隊(duì)參加現(xiàn)有來自甲協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會(huì)的運(yùn)動(dòng)員5名，其中種子選手3名從這8名運(yùn)動(dòng)員中隨機(jī)選擇4人參加比賽(1)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個(gè)協(xié)會(huì)”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)由已知，有P(A).所以，事件A發(fā)生的概率為.(2)隨機(jī)變量X的所有可能取值為1,2,3,4.P(Xk)(k1,2,3,4)所以，隨機(jī)變量X的分布列為X1234P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)1234.正態(tài)分布的概率對(duì)于正態(tài)分布問題，課標(biāo)要求不是很高，只要求了解正態(tài)分布中最基礎(chǔ)的知識(shí)，主要是：(1)掌握正態(tài)分布曲線函數(shù)關(guān)系式；(2)理解正態(tài)分布曲線的性質(zhì)；(3)記住正態(tài)分布在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率，運(yùn)用對(duì)稱性結(jié)合圖象求相應(yīng)的概率正態(tài)分布下兩類常見的概率計(jì)算(1)利用正態(tài)分布密度曲線的對(duì)稱性研究相關(guān)概率問題，涉及的知識(shí)主要是正態(tài)曲線關(guān)于直線x對(duì)稱，曲線與x軸之間的面積為1.(2)利用3原則求概率問題時(shí)，要注意把給出的區(qū)間或范圍與正態(tài)變量的、進(jìn)行對(duì)比聯(lián)系，確定它們屬于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一個(gè)設(shè)XN(10,1)(1)證明：P(1X2)P(18X19)(2)設(shè)P(X2)a，求P(10X18). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：95032215】解(1)證明：因?yàn)閄N(10,1)，所以，正態(tài)曲線，(x)關(guān)于直線x10對(duì)稱，而區(qū)間(1,2)和(18,19)關(guān)于直線x10對(duì)稱，所以，(x)dx，(x)dx即P(1X2)P(18X19)(2)因?yàn)镻(X2)P(2X10)P(10X18)P(X18)1，P(X2)P(X18)a，P(2X10)P(10X18)，所以，2a2P(10X18)1，即P(10X18)a.母題探究：(改變結(jié)論)在題設(shè)條件不變的情況下，求P(8X12)解由XN(10,1)可知，10，21，又P(8X12)P(102X102)0.954 5.規(guī)律方法正態(tài)分布的概率求法(1)注意“3”原則，記住正態(tài)總體在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率(2)注意數(shù)形結(jié)合由于正態(tài)分布密度曲線具有完美的對(duì)稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想，因此運(yùn)用對(duì)稱性結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點(diǎn)問題跟蹤訓(xùn)練4為了了解某地區(qū)高三男生的身體發(fā)育狀況，抽查了該地區(qū)1 000名年齡在17.5歲至19歲的高三男生的體重情況，抽查結(jié)果表明他們的體重X(kg)服從正態(tài)分布N(，22)，且正態(tài)分布密度曲線如圖22所示若體重大于58.5 kg小于等于62.5 kg屬于正常情況，則這1 000名男生中屬于正常情況的人數(shù)是()圖22A997B954C819D683D由題意，可知60.5，2，故P(58.5<X62.5)P(<X)0.682 7，從而屬于正常情況的人數(shù)是1 0000.682 7683.