2019-2020年高三數(shù)學(xué)《不等式的證明》教案.doc

2019-2020年高三數(shù)學(xué)不等式的證明教案鞏固夯實(shí)基礎(chǔ) 一、自主梳理 1.用綜合法證明不等式:利用不等式的性質(zhì)和已證明過的不等式以及函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)出待證不等式的方法叫綜合法,概括為“由因?qū)Ч? 2.用分析法證明不等式：從待證不等式出發(fā)，分析并尋求使這個(gè)不等式成立的充分條件的方法叫分析法，概括為“執(zhí)果索因”. 除三種基本方法外,還有以下常用方法: (1)反證法:是先假設(shè)結(jié)論不成立,并由此出發(fā),推出與題設(shè)條件或已經(jīng)知道的結(jié)論相矛盾的結(jié)果,從而說明結(jié)論成立. (2)換元法:原不等式的代數(shù)式,經(jīng)適當(dāng)?shù)娜谴鷵Q或代數(shù)換元,能使證明的過程簡化. (3)放縮法:借助于不等式的傳遞性,要證a>b,只需證a>c,c>b,或借助于其他途徑放縮,如舍項(xiàng)、添項(xiàng)等. 值得注意的是,放縮法是高考的“熱點(diǎn)”，特別在解答題中，注意使用. (4)構(gòu)造函數(shù)法、導(dǎo)數(shù)法在證明不等式時(shí),也經(jīng)常使用. (5)數(shù)學(xué)歸納法證明不等式在數(shù)列中的運(yùn)用也應(yīng)引起重視.鏈接提示 不等式證明方法多,證法靈活,其中比較法、分析法、綜合法是基本方法,要熟練掌握,其他方法作為輔助,這些方法之間不能截然分開,要綜合運(yùn)用. 二、點(diǎn)擊雙基1.若a、b、cR,a>b,則下列不等式成立的是( )A.< B.a2>b2 C.> D.a|c|>b|c|解析：由不等式的性質(zhì)容易得答案C.答案：C2.(理)若不等式(-1)na<2+對(duì)任意nN*恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A.-2, B.-2,) C.-3, D.(-3,)解析:當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí), a<2-,又2-為增函數(shù), a<2-=.當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí),-a<2+,a>-2-. 而-2-為增函數(shù),-2-<-2,a-2.故a-2,).答案:A(文)(經(jīng)典回放)若0，則下列結(jié)論不正確的是( )A.a2b2 B.abb2 C.+2 D.|a|+|b|a+b|解析:由0,知ba0. A不正確.答案:A3.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上,周期為3的奇函數(shù),若f(1)<1,f(2)=,則( )A.a<且a-1 B.-1<a<0 C.a<-1或a>0 D.-1<a<2解析:由題意得f(-2)=f(1-3)=f(1)<1, -f(2)<1, 即- <1. >0,即3a(a+1)>0. a<-1或a>0.故選C.答案:C4.同學(xué)們都知道,在一次考試后,如果按順序去掉一些高分,那么班級(jí)的平均分將降低;反之,如果按順序去掉一些低分,那么班級(jí)的平均分將提高.這兩個(gè)事實(shí)可以用數(shù)學(xué)語言描述為:若有限數(shù)列a1,a2,an滿足a1a2an,則_(結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示).解析：設(shè)原有人數(shù)為n,去掉n-m個(gè)人(1m<n), n個(gè)人的平均分為; m個(gè)人的平均分為. 依題意, 答案:(1m<n)和(1m<n)誘思實(shí)例點(diǎn)撥【例1】 設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2=0，0a1.求證：loga（axay）<loga2剖析:不等式左端含x、y，而右端不含x、y，故從左向右變形時(shí)應(yīng)消去x、y.證明:ax0，ay0， axay2=2 x-x2=-（x-）2，0a1， axay2=2 loga（axay）<loga2=loga2講評(píng):本題的證題思路可由分析法獲得.要證原不等式成立，只要證axay2即可【例2】 已知a、b、cR+，且a+b+c=1.求證：（1+a)(1+b)(1+c)8(1-a)(1-b)(1-c).剖析:在條件“a+b+c=1”的作用下，將不等式的“真面目”隱含了，給證明不等式帶來困難，若用“a+b+c”換成“1”，則還原出原不等式的“真面目”，從而抓住實(shí)質(zhì)，解決問題.證明:a、b、cR+且a+b+c=1, 要證原不等式成立, 即證(a+b+c)+a(a+b+c)+b(a+b+c)+c8(a+b+c)-a(a+b+c)-b(a+b+c)-c, 也就是證(a+b)+(c+a)(a+b)+(b+c)(c+a)+(b+c)8(b+c)(c+a)(a+b). (a+b)+(b+c)20,(b+c)+(c+a)20, (c+a)+(a+b)20, 三式相乘得式成立. 故原不等式得證.【例3】 已知a、bR.求證:+.證法一:當(dāng)|a+b|=0時(shí),原不等式成立. 當(dāng)|a+b|0時(shí), = =+ +.證法二:構(gòu)造函數(shù)f(x)=(x0), 研究其單調(diào)性, f(x)=>0. f(x)在0,+上單調(diào)遞增. |a+b|a|+|b|, =+ +.講評(píng):證法一是放縮法,證法二是單調(diào)性法,這樣直接證可以嗎? . 分式放縮時(shí),分子、分母能同時(shí)放大或縮小嗎?應(yīng)用習(xí)題精練鞏固篇1.若x>0,y>0,且+=1,則xy有( )A.最大值64 B.最小值64 C.最大值 D.最小值解析：1=+2=8, xy64.答案：B2.已知m2+n2=1,a2+b2=2,則am+bn的最大值是( )A.1 B. C.2 D.以上都不對(duì)解析：三角代換:令m=cos,n=sin,a=cos,b=sin. am+bn=cos(+).答案：C3.已知0<a<1,b>1且ab>1,則下列不等式中成立的是( )A.logb<logab<loga B.logab<logb<logaC.logab<loga<logb D.loga>loga<logab解析：特殊值法.令a=,b=100.答案：B4.已知|a+b|<-c(a、b、cR),給出下列不等式:a<-b-c;a>-b+c;a<b-c;|a|<|b|-c;|a|<-|b|-c.其中一定成立的不等式是_.(注:把成立的不等式序號(hào)都填上)解析：|a+b|<-c, c<a+b<-c. a<-b-c,a>-b+c,成立. 又|a|-|b|<|a+b|<-c, |a|<|b|-c成立. 當(dāng)a=3,b=-3,c=-1時(shí),雖|a+b|=0<-c, 但3>3-1=2,3>-3+1,故不成立.答案:5.已知abc且a+b+c=0,求證：a.證明:要證a,只需證b2-ac3a2, 即證b2+a(a+b)3a2,即證(a-b)(2a+b)0, 即證(a-b)(a-c)0. abc,(a-b)(a-c)0成立. 原不等式成立.6.已知a+b+c=0,求證:ab+bc+ca0.證法一:(綜合法)a+b+c=0,（a+b+c）2=0. 展開得ab+bc+ca=-, ab+bc+ca0.證法二:(分析法)要證ab+bc+ca0, a+b+c=0，故只需證ab+bc+ca(a+b+c)2， 即證a2+b2+c2+ab+bc+ca0， 亦即證（a+b）2（bc）2（ca）20 而這是顯然的，由于以上相應(yīng)各步均可逆，原不等式成立.證法三:a+b+c=0，-c=a+b. ab+bc+ca=ab+(b+a)c=ab-(a+b)2=-a2-b2-ab=-（a）20 ab+bc+ca0.提高篇7.設(shè)a、b、c均為實(shí)數(shù)，求證：+.證明:a、b、c均為實(shí)數(shù)， （），當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立； （），當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立； （）,當(dāng)c=a時(shí)等號(hào)成立 三個(gè)不等式相加即得，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立.8.(全新創(chuàng)編題)有一位同學(xué)寫了一個(gè)不等式(xR),她發(fā)現(xiàn)當(dāng)c=1,2,3時(shí),不等式都成立,試問:不等式是否對(duì)任何正實(shí)數(shù)c都成立?為什么?解：設(shè)f(x)=,z=(z), 則f(x)-=, 原不等式成立. 則0, 只需z-10x2-c-c0cc1. 故原不等式對(duì)任何正數(shù)c不都成立.教學(xué)參考 一、教學(xué)思路 1.若已知x2+y2=a2或+=1常用三角代換. 2.放縮時(shí),最重要的是放縮適度,特別地,認(rèn)真總結(jié)放縮的技巧,充分運(yùn)用不等式的性質(zhì),及均值不等式、絕對(duì)值不等式和題設(shè)條件是進(jìn)行放縮的關(guān)鍵. 3.函數(shù)的有關(guān)知識(shí)如值域、單調(diào)性,在證明不等式時(shí)也應(yīng)考慮. 4.分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)換、互相滲透、互為前提,充分利用這一辯證關(guān)系,可以增加解題的思路,開闊視野;放縮法和換元法的合理運(yùn)用,可以擺脫習(xí)慣思維方法的局限,轉(zhuǎn)換解題途徑;反證法是逆向思維的過程,它能增大思維的發(fā)散量,克服思維定勢的影響. 5.證明不等式是學(xué)習(xí)不等式的主要目的之一,復(fù)習(xí)中應(yīng)時(shí)刻強(qiáng)化“考試要求”中所陳述的證明不等式的基本方法:比較法(作差、作商)、綜合法、分析法.在熟練掌握這三種基本方法的同時(shí),還應(yīng)根據(jù)題目的特點(diǎn),試探著使用數(shù)學(xué)歸納法、判別式法、換元法、函數(shù)法、反證法等證明通法,以融會(huì)貫通所學(xué)知識(shí)和方法. 二、注意問題 1.在證明不等式的過程中,分析法和綜合法是不能分離的,如果使用綜合法證明不等式難以入手時(shí),常用分析法探索證題途徑,之后用綜合法的形式寫出它的證明過程,以適應(yīng)學(xué)生習(xí)慣的思維規(guī)律.有時(shí)問題證明難度較大,常使用分析綜合法,實(shí)現(xiàn)兩頭往中間靠以達(dá)到證題目的. 2.由于高考試題不會(huì)出現(xiàn)單一的不等式的證明題,常常與函數(shù)、數(shù)列、三角、方程綜合在一起,不等式的證明除常用的三種方法外,還需學(xué)會(huì)其他方法,如函數(shù)的單調(diào)性法、判別式法、換元法(特別是三角換元)、放縮法以及數(shù)學(xué)歸納法等,注意它們之間的知識(shí)交匯聯(lián)系. 三、參考資料【例1】 已知a、b為正數(shù)，求證：（1）若+1,則對(duì)于任何大于1的正數(shù)x,恒有ax+b成立；（2）若對(duì)于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+b成立，則+1.剖析:對(duì)帶條件的不等式的證明，條件的利用常有兩種方法：(1)證明過程中代入條件；(2)由條件變形得出要證的不等式.證明:(1)ax+=a(x-1)+1+a2+1+a=(+1)2. +1b(b0), (+1)2b2. (2)ax+b對(duì)于大于1的實(shí)數(shù)x恒成立，即x1時(shí)，ax+minb, 而ax+=a(x-1)+1+a2+1+a=(+1)2, 當(dāng)且僅當(dāng)a(x-1)=，即x=1+1時(shí)取等號(hào).故ax+min=(+1)2. 則(+1)2b,即+1b.【例2】已知數(shù)列l(wèi)og2(an-1)(nN*)為等差數(shù)列,且a1=3,a3=9.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)證明+<1.(1)解:設(shè)等差數(shù)列l(wèi)og2(an-1)的公差為d, 由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28得d=1. 所以log2(an-1)=1+(n-1)1=n, 即an=2n+1.(2)證明:=, + =+ =1-<1.