2018-2019高中數(shù)學 第三講 柯西不等式與排序不等式 3.1 二維形式的柯西不等式教案 新人教A版選修4-5.docx

3.1二維形式的柯西不等式一、教學目標1認識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義2通過運用柯西不等式分析解決一些簡單問題二、課時安排1課時三、教學重點認識柯西不等式的幾種不同形式，理解其幾何意義四、教學難點通過運用柯西不等式分析解決一些簡單問題五、教學過程（一）導入新課復習基本不等式。（二）講授新課教材整理二維形式的柯西不等式內(nèi)容等號成立的條件代數(shù)形式若a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2b2)(c2d2)當且僅當 時，等號成立向量形式設，是兩個向量，則|當且僅當 ，或，等號成立三角形式設x1，y1，x2，y2R，那么當且僅當時，等號成立（三）重難點精講題型一、二維柯西不等式的向量形式及應例1已知p，q均為正數(shù)，且p3q32.求證：pq2.【精彩點撥】為了利用柯西不等式的向量形式，可分別構造兩個向量【自主解答】設mp，q，n(p，q)，則p2q2ppqq|mn|m|n|.又(pq)22(p2q2)，p2q2，則(pq)48(pq)又pq>0，(pq)38，故pq2.規(guī)律總結：使用二維柯西不等式的向量形式證明不等式，關鍵是合理構造出兩個向量同時，要注意向量模的計算公式|a|對數(shù)學式子變形的影響再練一題1若本例的條件中，把“p3q32”改為“p2q22”，試判斷結論是否仍然成立？【解】設m(p，q)，n(1,1)，則pqp1q1|mn|m|n|.又p2q22.pq2.故仍有結論pq2成立.題型二、運用柯西不等式求最值例2若2x3y1，求4x29y2的最小值【精彩點撥】由2x3y1以及4x29y2的形式，聯(lián)系柯西不等式，可以通過構造(1212)作為一個因式而解決問題【自主解答】由柯西不等式得(4x29y2)(1212)(2x3y)21.4x29y2，當且僅當2x13y1，即x，y時取等號4x29y2的最小值為.規(guī)律總結：1利用柯西不等式求最值，不但要注意等號成立的條件，而且要善于配湊，保證出現(xiàn)常數(shù)結果2常用的配湊的技巧有：巧拆常數(shù)；重新安排某些項的次序；適當添項；適當改變結構，從而達到運用柯西不等式求最值的目的再練一題2若3x4y2，試求x2y2的最小值及最小值點.【解】由柯西不等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，得25(x2y2)4.所以x2y2，當且僅當時，“”成立為求最小值點，需解方程組因此，當x，y時，x2y2取得最小值，最小值為，最小值點為.題型三、二維柯西不等式代數(shù)形式的應用例3已知|3x4y|5，求證：x2y21.【精彩點撥】探求已知條件與待證不等式之間的關系，設法構造柯西不等式進行證明【自主解答】由柯西不等式可知(x2y2)(3242)(3x4y)2，所以(x2y2).又因為|3x4y|5，所以1，即x2y21.規(guī)律總結：1利用二維形式的柯西不等式證明時，要抓住柯西不等式的結構特征，必要時，需要將數(shù)學表達式適當變形2變形往往要求具有很高的技巧，必須善于分析題目的特征，根據(jù)題設條件，綜合地利用添、拆、分解、組合、配方、變量代換、數(shù)形結合等方法才能發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)，找到突破口再練一題3設a，bR且ab2.求證：2.【證明】根據(jù)柯西不等式，有(2a)(2b)()2()2(ab)24.2，當且僅當，即ab1時等號成立2.（四）歸納小結二維柯西不等式（五）隨堂檢測1設x，yR，且2x3y13，則x2y2的最小值為()A. B169 C13 D.0【解析】(2x3y)2(2232)(x2y2)，x2y213.【答案】C2已知a，bR，且ab1，則()2的最大值是()A2 B. C6 D.12【解析】()2(11)2(1212)(4a14b1)24(ab)22(412)12，當且僅當，即ab時等號成立故選D.【答案】D3平面向量a，b中，若a(4，3)，|b|1，且ab5，則向量b_.【解析】|a|5，且 |b|1，ab|a|b|，因此，b與a共線，且方向相同，b.【答案】六、板書設計3.1二維形式的柯西不等式教材整理二維形式的柯西不等式例1：例2：例3：學生板演練習七、作業(yè)布置同步練習：3.1二維形式的柯西不等式八、教學反思