2018版高中數(shù)學 第3章 不等式 3.1.1 不等關系與不等式 3.1.2 不等式的性質學案 新人教B版必修5.doc

3.1.1不等關系與不等式3.1.2不等式的性質1.了解不等式的性質.(重點)2.能用不等式(組)表示實際問題中的不等關系.(難點)基礎初探教材整理1不等關系與不等式閱讀教材P61P62例1，完成下列問題.1.不等式的定義所含的兩個要點(1)不等符號<，>，或.(2)所表示的關系是不等關系.2.不等式中的文字語言與符號語言之間的轉換大于大于等于小于小于等于至多至少不少于不多于3.比較兩實數(shù)a，b大小的依據(jù)判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)某隧道入口豎立著“限高4.5米”的警示牌，是指示司機要安全通過隧道，應使車載貨物高度h滿足關系為h4.5.()(2)用不等式表示“a與b的差是非負數(shù)”為ab>0.()(3)不等式x2的含義是指x不小于2.()(4)若a<b或ab之中有一個正確，則ab正確.()【解析】(1).因為“限高4.5米”即為“高度不超過4.5米”.不超過用“”表示，故此說法正確.(2).因為“非負數(shù)”即為“不是負數(shù)”，所以ab0，故此說法錯誤.(3).因為不等式x2表示x>2或x2，即x不小于2，故此說法是正確的.(4).因為不等式ab表示a<b或ab.故若a<b或ab中有一個正確，則ab一定正確.【答案】(1)(2)(3)(4)教材整理2不等式的性質閱讀教材P64P65例，完成下列問題.常用不等式的重要性質名稱式子表達性質1(對稱性)abba性質2(傳遞性)a>b，b>ca>c性質3(可加性)abac>bc推論1abcacb推論2ab，cdacbd性質4(可乘性)ab，c0acbc；ab，c0acbc推論1ab0，cd0acbd推論2ab0 anbn(nN，n1)推論3ab0(nN，n>1)用不等號填空：(1)若a>b，則ac2_bc2.(2)若ab>0，b<0，則b_a.(3)若a>b，c<d，則ac_bd.(4)已知x<1，則x22_3x.【解析】(1)因為當c2>0時，有ac2>bc2.當c20時，有ac2bc2，故應填“”.(2)因為ab>0，b<0，所以a>0，故應填“<”.(3)因為c<d，所以c>d，又因為a>b，所以ac>bd，故應填“>”.(4)因為x223x(x2)(x1)，而x<1，所以x2<0，x1<0，則(x2)(x1)>0，即x223x>0，所以x22>3x，故應填“>”.【答案】(1)(2)<(3)>(4)> 小組合作型用不等式(組)表示不等關系你有過乘坐火車的經(jīng)歷嗎？火車站售票處有規(guī)定：兒童身高不足1.2 m的免票，身高1.2 m1.5 m的兒童火車票為半價，身高超過1.5 m的兒童買全價票.你能用不等式表示這些規(guī)定嗎？【精彩點撥】本題關鍵是要提取問題中所提供的表示不等關系的信息：身高不足1.2 m，身高1.2 m1.5 m，身高超過1.5 m，抓住表示不等關系的詞語即可.【自主解答】設身高為h m，文字表述身高不足1.2 m身高在1.2 m1.5 m間身高超過1.5 m符號表示h<1.21.2h1.5h>1.5票價免票半價票全價票1.此類問題的難點是如何正確地找出題中的顯性不等關系和隱性不等關系.2.當問題中同時滿足幾個不等關系，則應用不等式組來表示它們之間的不等關系，另外若問題有幾個變量，選用幾個字母分別表示這些變量即可.3.用不等式(組)表示不等關系的步驟：(1)審清題意，明確表示不等關系的關鍵詞語：至多、至少、大于等.(2)適當?shù)脑O未知數(shù)表示變量.(3)用不等號表示關鍵詞語，并連接變量得不等式.再練一題1.用不等式(組)表示下列問題中的不等關系：(1)限速80 km/h的路標；(2)橋頭上限重10噸的標志；(3)某酸奶的質量檢查規(guī)定，酸奶中脂肪的含量f應不多于2.5%，蛋白質的含量p不少于2.3%.【解】(1)設汽車行駛的速度為v km/h，則v80.(2)設汽車的重量為噸，則10.(3)比較兩數(shù)(式)的大小比較下列各組中兩個代數(shù)式的大?。?1)x23與3x；(2)已知a，b為正數(shù)，且ab，比較a3b3與a2bab2.【精彩點撥】我們知道，ab0ab，ab0ab，因此，若要比較兩式的大小，只需作差與0作比較即可.【自主解答】(1)(x23)3xx23x30，x233x.(2)(a3b3)(a2bab2)a3b3a2bab2a2(ab)b2(ab)(ab)(a2b2)(ab)2(ab)，a0，b0 且 ab，(ab)20，ab0.(a3b3)(a2bab2)0，即a3b3a2bab2.1.作差法比較兩個數(shù)大小的步驟及變形方法：(1)作差法比較的步驟：作差變形定號結論.(2)變形的方法：因式分解；配方；通分；對數(shù)與指數(shù)的運算性質；分母或分子有理化；分類討論.2.如果兩實數(shù)同號，亦可采用作商法來比較大小，即作商后看商是大于1，等于1，還是小于1.再練一題2.已知a>0，試比較a與的大小. 【導學號：18082042】【解】因為a，因為a>0，所以當a>1時，>0，有a>；當a1時，0，有a；當0<a<1時，<0，有a<.綜上，當a>1時，a>；當a1時，a；當0<a<1時，a<.探究共研型不等式的性質應用探究1小明同學做題時進行如下變形：2<b<3，<<，又6<a<8，2<<4.你認為正確嗎？為什么？【提示】不正確.因為不等式兩邊同乘以一個正數(shù)，不等號的方向不變，但同乘以一個負數(shù)，不等號方向改變，在本題中只知道6<a<8.不明確a值的正負.故不能將<<與6<a<8兩邊分別相乘，只有兩邊都是正數(shù)的同向不等式才能分別相乘.探究2由6<a<8，4<b<2，兩邊分別相減得2<ab<6，你認為正確嗎？【提示】不正確.因為同向不等式具有可加法與可乘性.但不能相減或相除，解題時要充分利用條件，運用不等式的性質進行等價變形，而不可隨意“創(chuàng)造”性質.探究3你知道下面的推理、變形錯在哪兒嗎？2<ab<4，4<ba<2.又2<ab<2，0<a<3，3<b<0，3<ab<3.這怎么與2<ab<2矛盾了呢？【提示】利用幾個不等式的范圍來確定某不等式的范圍要注意：同向不等式兩邊可以相加(相乘)，這種轉化不是等價變形.本題中將2<ab<4與2<ab<2兩邊相加得0<a<3，又將4<ba<2與2<ab<4兩邊相加得出3<b<2，又將該式與0<a<3兩邊相加得出3<ab<3，多次使用了這種轉化，導致了ab范圍的擴大.(1)已知<，試求的取值范圍；(2)設f(x)ax2bx且1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范圍.【精彩點撥】(1)【自主解答】(1)<，<，<，<，<.又<，<0，<0.的取值范圍是.(2)法一：設f(2)mf(1)nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a2bm(ab)n(ab)(mn)a(nm)b，于是得解得f(2)3f(1)f(1).又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，即f(2)的取值范圍是5,10.法二：由得f(2)4a2b3f(1)f(1).又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，即f(2)的取值范圍是5,10.1.利用不等式的性質證明不等式注意事項(1)利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式.解決此類問題一定要在理解的基礎上， 記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用.(2)應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則.2.利用不等式性質求代數(shù)式的范圍要注意的問題(1)恰當設計解題步驟，合理利用不等式的性質.(2)運用不等式的性質時要切實注意不等式性質的前提條件，切不可用似乎是很顯然的理由，代替不等式的性質，如由a>b及c>d，推不出ac>bd；由a>b，推不出a2>b2等.(3)準確使用不等式的性質，不能出現(xiàn)同向不等式相減、相除的錯誤.再練一題3.(1)已知12<a<60,15<b<36，求ab與的取值范圍；(2)若bcad0，bd>0，求證：. 【導學號：18082043】【解】(1)15<b<36，36<b<15，1236<ab<6015，即24<ab<45.<<，<<，<<4.ab和的取值范圍分別是(24,45)，.(2)證明：bcad0，bcad，bcbdadbd，即b(cd)d(ab).又bd>0，兩邊同除以bd得，.1.完成一項裝修工程，請木工共需付工資每人500元，請瓦工共需付工資每人400元，現(xiàn)有工人工資預算20 000元，設木工x人，瓦工y人，則工人滿足的關系式是()A.5x4y<200B.5x4y200C.5x4y200D.5x4y200【解析】據(jù)題意知，500x400y20 000，即5x4y200，故選D.【答案】D2.若x2且y1，則Mx2y24x2y的值與5的大小關系是()A.M>5B.M<5C.M5D.M5【解析】M(5)x2y24x2y5(x2)2(y1)2，x2，y1，(x2)2>0，(y1)2>0，因此(x2)2(y1)2>0.故M>5.【答案】A3.b g糖水中有a g糖(b>a>0)，若再添上m g糖(m>0)，則糖水變甜了，根據(jù)這個事實提煉的一個不等式為()A.B.C.D.【解析】變甜了，意味著含糖量大了，即濃度高了.加糖之前糖水的濃度為，加糖之后糖水的濃度為，故>.【答案】B4.已知1<2x1<1，則1的取值范圍是_.【解析】1<2x1<10<x<1>1>21>1.【答案】(1，)5.(1)已知x1，比較3x3與3x2x1的大?。?2)若a>b>0，c<d<0，e<0，求證：>.【解】(1)3x3(3x2x1)(3x33x2)(x1)3x2(x1)(x1)(x1)(3x21).x1，x10.又3x21>0，(x1)(3x21)0，3x33x2x1.(2)證明：c<d<0，c>d>0.又a>b>0，ac>bd>0，則(ac)2>(bd)2>0，即<.又e<0，>.