醫(yī)用物理學(xué)：第一章剛體力學(xué)

第一章 剛體力學(xué)11-4 1-4 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律1-11-1 質(zhì)點(diǎn)力學(xué)基礎(chǔ)質(zhì)點(diǎn)力學(xué)基礎(chǔ)1 1- -3 3 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量1-51-5 角動量守恒定律角動量守恒定律1-21-2 剛體的轉(zhuǎn)動剛體的轉(zhuǎn)動1-1質(zhì)點(diǎn)力學(xué)基礎(chǔ)一、描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的基本物理概念一、描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的基本物理概念 21.1.質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)只有質(zhì)量沒有大小和形狀的幾何點(diǎn)，只有質(zhì)量沒有大小和形狀的幾何點(diǎn)，理想化力學(xué)模型理想化力學(xué)模型2.2.參考系參考系 描述某物體運(yùn)動時，用來作參考的另描述某物體運(yùn)動時，用來作參考的另一物體或物體系統(tǒng)一物體或物體系統(tǒng)3.3.坐標(biāo)系坐標(biāo)系 用來定量地確定質(zhì)點(diǎn)的位置，描述其用來定量地確定質(zhì)點(diǎn)的位置，描述其運(yùn)動運(yùn)動4.4.位置矢量位置矢量用來確定質(zhì)點(diǎn)在空間的位置用來確定質(zhì)點(diǎn)在空間的位置rxiyjzk一、描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的基本物理概念一、描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的基本物理概念35.5.位移位移描述質(zhì)點(diǎn)空間位置的變化，同時表示描述質(zhì)點(diǎn)空間位置的變化，同時表示了質(zhì)點(diǎn)空間位置變化的距離和方向了質(zhì)點(diǎn)空間位置變化的距離和方向12rrrk k) )z z(z(zj j) )y y(y(yi i) )x x(x(x1 12 21 12 21 12 2kzjyix6.6.速度速度描述質(zhì)點(diǎn)位置變化的快慢和方向描述質(zhì)點(diǎn)位置變化的快慢和方向ttrttrtrv)()(平均dtrdtrvt0lim47.7.加速度加速度描述質(zhì)點(diǎn)速度變化的快慢和速度變化描述質(zhì)點(diǎn)速度變化的快慢和速度變化的方向的方向tva平均220dtrddtvdtvatlim8.8.運(yùn)動方程運(yùn)動方程 位置矢量與時間的函數(shù)關(guān)系位置矢量與時間的函數(shù)關(guān)系)(trr5例題例題1 1已知一質(zhì)點(diǎn)是在已知一質(zhì)點(diǎn)是在OXOX軸線上運(yùn)動且滿軸線上運(yùn)動且滿足運(yùn)動方程足運(yùn)動方程 ，求第求第2 2秒內(nèi)的平均速度，第秒內(nèi)的平均速度，第2 2秒末的速秒末的速度和加速度度和加速度)(mttx3612623解：解：)()()(mxxxxx630361212smtxv/6ttdtdxv2418224m/sv2st時，當(dāng)243622tdtxda2482smast/時，當(dāng)6二、牛頓運(yùn)動定律二、牛頓運(yùn)動定律 1.1.牛頓第一定律牛頓第一定律任何物體都有慣性（慣性定律）任何物體都有慣性（慣性定律）力的作用改變物體的運(yùn)動狀態(tài)力的作用改變物體的運(yùn)動狀態(tài)2.2.牛頓第二定律牛頓第二定律 物體受到合外力物體受到合外力F的作用，所獲的作用，所獲得的加速度大小與得的加速度大小與F成正比與物成正比與物體質(zhì)量體質(zhì)量m成反比成反比22dvd rFmammdtdt3.3.牛頓第三定律牛頓第三定律作用力與反作用力原理作用力與反作用力原理71-2 剛體的定軸轉(zhuǎn)動1.1.剛體剛體 定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動剛體：剛體：在任何情況下物體的形狀和大小都不變在任何情況下物體的形狀和大小都不變化，各部分之間的距離保持不變?；鞑糠种g的距離保持不變。定軸轉(zhuǎn)動：定軸轉(zhuǎn)動：運(yùn)動中各質(zhì)元均作圓周運(yùn)動，且各運(yùn)動中各質(zhì)元均作圓周運(yùn)動，且各圓心都在同一條固定的直線（圓心都在同一條固定的直線（轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸）上。）上。一、角量與線量的關(guān)系一、角量與線量的關(guān)系剛體的平動：剛體在運(yùn)動過程中，剛體上任意兩點(diǎn)的連線始終與初始位置平行。82.2.角位移角位移 角速度角速度 角加速度角加速度角坐標(biāo)（角位置）角坐標(biāo)（角位置）( ) t()( )ttt 角位移角位移可表達(dá)為可表達(dá)為 單位：弧度（單位：弧度（rad）AAPr vOx 9角速度角速度t平均角速度平均角速度0dlimdttt （瞬時）（瞬時）角速度角速度單位：單位：rad.s-1-1* *剛體剛體勻速勻速轉(zhuǎn)動時：轉(zhuǎn)動時：tAAPr vOx10轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向* *角速度方向的規(guī)定：角速度方向的規(guī)定：沿瞬時沿瞬時軸，與轉(zhuǎn)向成右螺旋關(guān)系。軸，與轉(zhuǎn)向成右螺旋關(guān)系。* *通常規(guī)定逆時針方向轉(zhuǎn)動的通常規(guī)定逆時針方向轉(zhuǎn)動的角速度為正，順時針方向轉(zhuǎn)角速度為正，順時針方向轉(zhuǎn)動的角速度為負(fù)。動的角速度為負(fù)。11角加速度角加速度t平均角加速度平均角加速度220ddlimddtttt （瞬時）（瞬時）角加速度：角加速度：單位：單位：rads-2-2* *剛體剛體勻變速勻變速轉(zhuǎn)動時：轉(zhuǎn)動時：0t123.3.角量與線量的關(guān)系角量與線量的關(guān)系定軸轉(zhuǎn)動的剛體上所有質(zhì)元定軸轉(zhuǎn)動的剛體上所有質(zhì)元都在作半徑不等的圓周運(yùn)動；都在作半徑不等的圓周運(yùn)動；各質(zhì)元作圓周運(yùn)動的角量相同，各質(zhì)元作圓周運(yùn)動的角量相同，線量各不相同。線量各不相同。數(shù)學(xué)關(guān)系：數(shù)學(xué)關(guān)系：vrtar22nvarr線量線量角量角量sr AAPr vOx130220001221ttssv tat00vvatt轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動平動平動220220002 ()2a()vvs s 轉(zhuǎn)動與平動運(yùn)動方程的對比（轉(zhuǎn)動與平動運(yùn)動方程的對比（勻變速勻變速）：）：14二、轉(zhuǎn)動動能和轉(zhuǎn)動慣量1.1. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能剛體可看作由許多質(zhì)元構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系：剛體可看作由許多質(zhì)元構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系：222k1 122111222nnEmvm vm v2222221 12 2111222n nm rm rm r22112ni iimr15定義轉(zhuǎn)動慣量：定義轉(zhuǎn)動慣量：21ni iiImr剛體的轉(zhuǎn)動動能：剛體的轉(zhuǎn)動動能：2k12EI22k112ni iiEmr162.2.剛體對轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量：剛體對轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量：2i iiImr若質(zhì)量若質(zhì)量離散離散分布分布若質(zhì)量若質(zhì)量連續(xù)連續(xù)分布分布2dIr m轉(zhuǎn)動慣量僅取決于剛體本身的性質(zhì)，即轉(zhuǎn)動慣量僅取決于剛體本身的性質(zhì)，即與剛體與剛體的形狀、大小、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)的形狀、大小、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。轉(zhuǎn)動慣量是反映剛體轉(zhuǎn)動慣量是反映剛體轉(zhuǎn)動慣性轉(zhuǎn)動慣性的量度。的量度。17 有一有一質(zhì)量為質(zhì)量為m，長為長為L的均勻細(xì)棒，求它的均勻細(xì)棒，求它通過一端及中心的垂直轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。通過一端及中心的垂直轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。ABLxABL/2L/2Cx例題18ABLxABL/2L/2Cx解：建立坐標(biāo)解：建立坐標(biāo)( (如圖如圖) )，取微元，取微元22221d12LLCmIxxmLL2201d3LAmIxxmLLdddmmxxL可以看出：可以看出： 同一剛體對不同的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量也不同。同一剛體對不同的轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動慣量也不同。得連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量得連續(xù)分布剛體的轉(zhuǎn)動慣量19例題：求質(zhì)量為例題：求質(zhì)量為m，半徑為半徑為R均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣均勻圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，軸與盤平面垂直并通過盤心。量，軸與盤平面垂直并通過盤心。解：解：圓盤的質(zhì)量面密度為圓盤的質(zhì)量面密度為d2 dmr r23dd2dIrmr r30d2 dRIIr r2mRRrdr212mR412R取半徑為取半徑為r，寬為寬為dr的薄圓環(huán)的薄圓環(huán)202ImRRO212ImR質(zhì)量均勻的薄圓環(huán)對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：質(zhì)量均勻的薄圓環(huán)對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：可見：給出可見：給出轉(zhuǎn)動慣量時必須指出轉(zhuǎn)軸的位置。轉(zhuǎn)動慣量時必須指出轉(zhuǎn)軸的位置。21mR質(zhì)量均勻的空心球殼質(zhì)量均勻的空心球殼質(zhì)量均勻的實(shí)心球體質(zhì)量均勻的實(shí)心球體223ImR225ImR可知：可知：轉(zhuǎn)動慣量還與物體的轉(zhuǎn)動慣量還與物體的質(zhì)量分布質(zhì)量分布有關(guān)。有關(guān)。22試比較該花樣滑冰運(yùn)動員兩種姿勢的轉(zhuǎn)動慣量。試比較該花樣滑冰運(yùn)動員兩種姿勢的轉(zhuǎn)動慣量。23三、力矩和轉(zhuǎn)動定律1.1.力矩的矢量定義力矩的矢量定義MrFsinMFrFlsinlr其中：其中： 稱為稱為力臂力臂大?。捍笮。悍较颍悍较颍河沂致菪▌t右手螺旋定則（伸出右手，拇指與四指（伸出右手，拇指與四指垂直，四指由徑矢方向經(jīng)小于垂直，四指由徑矢方向經(jīng)小于180180的角度轉(zhuǎn)到力的角度轉(zhuǎn)到力的方向，拇指的方向即為力矩的方向）的方向，拇指的方向即為力矩的方向）單位：單位：N mMFrOPl242.2.轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律dcosdAFrcosdF rdFldM由動能定理可得：力矩對剛體所做的功由動能定理可得：力矩對剛體所做的功等于剛體動動能的增加等于剛體動動能的增加2k1dd()d()2MEI剛體在力剛體在力 作用下繞軸轉(zhuǎn)過作用下繞軸轉(zhuǎn)過 , ,該力的功該力的功 dFFr ddrlOPF1 25ddMIIt當(dāng)剛體的轉(zhuǎn)動慣量不變時當(dāng)剛體的轉(zhuǎn)動慣量不變時剛體的轉(zhuǎn)動定律剛體的轉(zhuǎn)動定律MI或：或：Fr ddrlOPF1 2k1dd()d()2MEI26例題 跳水運(yùn)動員躍離跳板向前空翻三圈，經(jīng)跳水運(yùn)動員躍離跳板向前空翻三圈，經(jīng)2 2s后后達(dá)到最高點(diǎn)，在該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動角速度為達(dá)到最高點(diǎn)，在該點(diǎn)的轉(zhuǎn)動角速度為7.557.55rads-1-1，他的體重為他的體重為6565kg，設(shè)曲體后其轉(zhuǎn)動慣量與實(shí)心圓設(shè)曲體后其轉(zhuǎn)動慣量與實(shí)心圓柱體繞中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量相同（柱體繞中心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量相同（ ），），有有效半徑為效半徑為3030cm，求求:(1):(1)平均轉(zhuǎn)動力矩；平均轉(zhuǎn)動力矩；（2 2）在最）在最高點(diǎn)的高點(diǎn)的轉(zhuǎn)動動能。轉(zhuǎn)動動能。212Imr27 解：將運(yùn)動員的轉(zhuǎn)動看作勻變速轉(zhuǎn)動，則平均解：將運(yùn)動員的轉(zhuǎn)動看作勻變速轉(zhuǎn)動，則平均角加速度為角加速度為0t17.550rad s213.78rad s對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量為對應(yīng)的轉(zhuǎn)動慣量為212Imr222165 0.3 kg m2.93kg m2由轉(zhuǎn)動定律可得由轉(zhuǎn)動定律可得MI2.93 3.78N m 11N m2k12EI在最高點(diǎn)的在最高點(diǎn)的轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能為為212.93 7.55 J83.2J228例題 一根輕繩跨過一個半徑為一根輕繩跨過一個半徑為r，質(zhì)量為，質(zhì)量為m0的的定滑輪，繩的兩端分別系有質(zhì)量為定滑輪，繩的兩端分別系有質(zhì)量為m1 1和和m2 2的物的物體體 ，如圖所示。假設(shè)繩不能伸長，并忽略軸的如圖所示。假設(shè)繩不能伸長，并忽略軸的摩擦，繩與滑輪也無相對滑動。求：定滑輪轉(zhuǎn)動摩擦，繩與滑輪也無相對滑動。求：定滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度和繩兩端的張力。的角加速度和繩兩端的張力。m2 2m1 1m029m2 2m1 1m0m1 1gFT1T1am2 2gFT2T2aFT2T2FT1T1解：分別對物體和滑輪進(jìn)行解：分別對物體和滑輪進(jìn)行受力分析，如圖受力分析，如圖對對m2 21T11m gFm aT222Fm gm a對對定滑輪定滑輪對對m1 12T1T2012F rF rm r且有且有: :ar30聯(lián)立方程，可得聯(lián)立方程，可得12012()()2mm gmmmr0121T1012(2)22mmmmgFmmm0122T2012(2)22mmmmgFmmm31四、剛體的角動量1.1.質(zhì)點(diǎn)對定點(diǎn)的角動量質(zhì)點(diǎn)對定點(diǎn)的角動量質(zhì)點(diǎn)在該圓周上某一點(diǎn)的動量與徑矢的質(zhì)點(diǎn)在該圓周上某一點(diǎn)的動量與徑矢的乘積乘積叫做質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)的角動量叫做質(zhì)點(diǎn)對該點(diǎn)的角動量2LmvrmrLri miviO * *角動量是矢量，與角速度方向一致。角動量是矢量，與角速度方向一致。2.2.剛體（質(zhì)點(diǎn)系）定軸轉(zhuǎn)動的角動量剛體（質(zhì)點(diǎn)系）定軸轉(zhuǎn)動的角動量i i iiLmvr2()i iimrLI 32沖量矩沖量矩3.3.轉(zhuǎn)動定律的角動量陳述轉(zhuǎn)動定律的角動量陳述ddMIItd()dItddLt微分形式：微分形式：ddM tL或：或：積分形式：積分形式：ddM tL4.4.角動量守恒定律角動量守恒定律: :0MI，恒 量例題 一轉(zhuǎn)臺繞豎直軸轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)一周，轉(zhuǎn)臺對一轉(zhuǎn)臺繞豎直軸轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)一周，轉(zhuǎn)臺對軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為 ，質(zhì)量為，質(zhì)量為80kg80kg的人，開的人，開始站在臺的中心，隨后沿半徑向外跑去，問當(dāng)人始站在臺的中心，隨后沿半徑向外跑去，問當(dāng)人離轉(zhuǎn)臺中心離轉(zhuǎn)臺中心2m2m時，轉(zhuǎn)臺的角速度是多少？時，轉(zhuǎn)臺的角速度是多少？3321200kg m解：人在中心時的角速度解：人在中心時的角速度02/60rads222=1200kgm =mr =320kgmII人臺0+III人臺臺根據(jù)角動量守恒 0=/+38Irad sII臺人臺質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動公式質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動公式（剛體的平動）（剛體的平動）剛體的定軸轉(zhuǎn)動公式剛體的定軸轉(zhuǎn)動公式速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度勻速直線運(yùn)動勻速直線運(yùn)動勻變速直線運(yùn)動勻變速直線運(yùn)動勻角速轉(zhuǎn)動勻角速轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動34drvdtdvadt0 xxvt02002200122 ()vvatxxv tatvva xx35質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動公式質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動公式（剛體的平動）（剛體的平動）剛體的定軸轉(zhuǎn)動公式剛體的定軸轉(zhuǎn)動公式力力F F，質(zhì)量，質(zhì)量mm牛頓第二定律牛頓第二定律力矩力矩M, M, 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量 I I轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律動量動量mvmv, ,沖量沖量 （恒力）；（恒力）；動量原理動量原理角動量角動量 沖量矩沖量矩 角動量原理角動量原理 動量守恒定律動量守恒定律平動動能平動動能恒力的功恒力的功動能定理動能定理角動量守恒定律角動量守恒定律轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能恒力矩的功恒力矩的功動能定理動能定理FmaF t0F tmvmv mv 恒量212kEmvAFs222111-22Amvmv質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動公式質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動公式（剛體的平動）（剛體的平動）剛體的定軸轉(zhuǎn)動公式剛體的定軸轉(zhuǎn)動公式速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度勻速直線運(yùn)動勻速直線運(yùn)動勻變速直線運(yùn)動勻變速直線運(yùn)動勻角速轉(zhuǎn)動勻角速轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動勻變速轉(zhuǎn)動36drvdtddtdvadtddt0 xxvt0t02002200122 ()vvatxxv tatvva xx02002200122()ttt 37質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動公式質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動公式（剛體的平動）（剛體的平動）剛體的定軸轉(zhuǎn)動公式剛體的定軸轉(zhuǎn)動公式力力F F，質(zhì)量，質(zhì)量mm牛頓第二定律牛頓第二定律力矩力矩M,M,轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量I I轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律動量動量mvmv, ,沖量沖量 （恒力）；（恒力）；動量原理動量原理角動量角動量 沖量矩沖量矩 角動量原理角動量原理 動量守恒定律動量守恒定律平動動能平動動能恒力的功恒力的功動能定理動能定理角動量守恒定律角動量守恒定律轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能恒力矩的功恒力矩的功動能定理動能定理FmaMIF tIM t0F tmvmv 00M tII mv 恒量=I恒量2/2mv2/2IAFsAM222111-22Amvmv22211122AII