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新編高三數學 第29練 正弦定理、余弦定理練習

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新編高三數學 第29練 正弦定理、余弦定理練習

第29練 正弦定理、余弦定理訓練目標(1)正弦定理、余弦定理;(2)解三角形訓練題型(1)正弦定理、余弦定理及其應用;(2)三角形面積;(3)三角形形狀判斷;(4)解三角形的綜合應用解題策略(1)解三角形時可利用正弦、余弦定理列方程(組);(2)對已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時要根據圖形和“大邊對大角”判斷解的情況;(3)判斷三角形形狀可通過三角變換或因式分解尋求邊角關系.一、選擇題1(20xx·隆化期中)在ABC中,如果sin Asin Bsin C234,那么cosC等于()A.BCD2北京第29屆奧運會開幕式上舉行升旗儀式,在坡度15°的看臺上,同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°,第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示),旗桿底部與第一排在一個水平面上,已知國歌長度為50秒,升旗手勻速升旗的速度為()A.(米/秒) B.(米/秒)C.(米/秒) D.(米/秒)3(20xx·安慶檢測)在ABC中,內角A、B、C的對邊分別是a、b、c.若a2c2bc,sin B2sin C,則A等于()A. B.C.D.4(20xx·武漢調研)在ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且b2a2bc,A,則角C等于()A.B.C.D.或5(20xx·衡水中學第二學期調研)設銳角ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且a1,B2A,則b的取值范圍為()A(,) B(1,)C(,2) D(0,2)6(20xx·東營期中)在ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,S表示ABC的面積,若acosBbcosAcsinC,S(b2c2a2),則B等于()A90° B60°C45° D30°7(20xx·山西大學附中期中)已知三個向量m,n,p共線,其中a、b、c、A、B、C分別是ABC的三條邊及相對三個角,則ABC的形狀是()A等腰三角形B等邊三角形C直角三角形D等腰直角三角形8已知點O是ABC的外接圓圓心,且AB3,AC4.若存在非零實數x,y,使得xy,且x2y1,則cosBAC的值為()A.B.C.D.二、填空題9ABC中,A、B、C是其內角,若sin 2Asin(AC)sin B0,則ABC的形狀是_10(20xx·惠州二調)在ABC中,設角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且C60°,c,則_.11(20xx·佛山期中)如圖,一艘船以每小時15 km的速度向東航行,船在A處看到一燈塔M在北偏東60°方向,行駛4 h后,船到達B處,看到這個燈塔在北偏東15°方向,這時船與燈塔的距離為_ km.12(20xx·吉安期中)在ABC中,D為BC邊上一點,若ABD是等邊三角形,且AC4,則ADC的面積的最大值為_.答案精析1D由正弦定理可得sin Asin Bsin Cabc234,可設a2k,b3k,c4k(k>0),由余弦定理可得cosC.2A由條件得ABD中,DAB45°,ABD105°,ADB30°,AB10,由正弦定理得BD·AB20,則在RtBCD中,CD20×sin 60°30,所以速度v(米/秒),故選A.3D已知sin B2sin C,利用正弦定理化簡得b2c,代入a2c2bc,得a2c26c2,即ac,cosA.A為三角形內角,A,故選D.4B在ABC中,由余弦定理,得cosA,即,所以b2c2a2bc,又b2a2bc,所以c2bcbc,所以c(1)b<b,ab,所以cosC,所以C.5AB2A,sin Bsin 2A,sin B2sin AcosA,b2acos A,又a1,b2cos A.ABC為銳角三角形,0<A<,0<B<,0<C<,即0<A<,0<2A<,0<A2A<,<A<,<cosA<,<2cos A<,b(,)6C由正弦定理可知acosBbcosA2Rsin AcosB2Rsin BcosA2Rsin(AB)2Rsin C2Rsin C·sinC,sin C1,C90°.Sab(b2c2a2),解得ab,因此B45°.故選C.7Bm與n共線,acosbcos,由正弦定理,得sin Acossin Bcos,sin A2sin cos,sin B2sin cos,2sin coscos2sin coscos,化簡,得sin sin .又0<<,0<<,可得AB.同理,由n與p共線得到BC,ABC,可得ABC是等邊三角形8A設線段AC的中點為點D,則直線ODAC.因為xy,所以x2y.又x2y1,所以點O、B、D三點共線,即點B在線段AC的中垂線上,則ABBC3.在ABC中,由余弦定理,得cosBAC.故選A.9等腰或直角三角形解析因為sin 2Asin(AC)sin Bsin 2Asin(AC)sin(AC)2sin AcosA2sin CcosA2cos A(sin Asin C)0,所以cosA0或sin Asin C,所以A或AC.故ABC為等腰或直角三角形104解析由正弦定理知2,所以a2sin A,代入得原式4·4.1130解析依題意有AB15×460,MAB30°,AMB45°,在AMB中,由正弦定理得,解得BM30.124解析在ACD中,cosADC,整理得AD2DC248AD·DC2AD·DC,AD·DC16,當且僅當ADCD時等號成立,ADC的面積SAD·DC·sinADCAD·DC4.

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