新編高三數學 第29練 正弦定理、余弦定理練習

第29練 正弦定理、余弦定理訓練目標(1)正弦定理、余弦定理；(2)解三角形訓練題型(1)正弦定理、余弦定理及其應用；(2)三角形面積；(3)三角形形狀判斷；(4)解三角形的綜合應用解題策略(1)解三角形時可利用正弦、余弦定理列方程(組)；(2)對已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時要根據圖形和“大邊對大角”判斷解的情況；(3)判斷三角形形狀可通過三角變換或因式分解尋求邊角關系.一、選擇題1(20xx·隆化期中)在ABC中，如果sin Asin Bsin C234，那么cosC等于()A.BCD2北京第29屆奧運會開幕式上舉行升旗儀式，在坡度15°的看臺上，同一列上的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上，已知國歌長度為50秒，升旗手勻速升旗的速度為()A.(米/秒) B.(米/秒)C.(米/秒) D.(米/秒)3(20xx·安慶檢測)在ABC中，內角A、B、C的對邊分別是a、b、c.若a2c2bc，sin B2sin C，則A等于()A. B.C.D.4(20xx·武漢調研)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b2a2bc，A，則角C等于()A.B.C.D.或5(20xx·衡水中學第二學期調研)設銳角ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a1，B2A，則b的取值范圍為()A(，) B(1，)C(，2) D(0,2)6(20xx·東營期中)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，S表示ABC的面積，若acosBbcosAcsinC，S(b2c2a2)，則B等于()A90° B60°C45° D30°7(20xx·山西大學附中期中)已知三個向量m，n，p共線，其中a、b、c、A、B、C分別是ABC的三條邊及相對三個角，則ABC的形狀是()A等腰三角形B等邊三角形C直角三角形D等腰直角三角形8已知點O是ABC的外接圓圓心，且AB3，AC4.若存在非零實數x，y，使得xy，且x2y1，則cosBAC的值為()A.B.C.D.二、填空題9ABC中，A、B、C是其內角，若sin 2Asin(AC)sin B0，則ABC的形狀是_10(20xx·惠州二調)在ABC中，設角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且C60°，c，則_.11(20xx·佛山期中)如圖，一艘船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一燈塔M在北偏東60°方向，行駛4 h后，船到達B處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為_ km.12(20xx·吉安期中)在ABC中，D為BC邊上一點，若ABD是等邊三角形，且AC4，則ADC的面積的最大值為_.答案精析1D由正弦定理可得sin Asin Bsin Cabc234，可設a2k，b3k，c4k(k>0)，由余弦定理可得cosC.2A由條件得ABD中，DAB45°，ABD105°，ADB30°，AB10，由正弦定理得BD·AB20，則在RtBCD中，CD20×sin 60°30，所以速度v(米/秒)，故選A.3D已知sin B2sin C，利用正弦定理化簡得b2c，代入a2c2bc，得a2c26c2，即ac，cosA.A為三角形內角，A，故選D.4B在ABC中，由余弦定理，得cosA，即，所以b2c2a2bc，又b2a2bc，所以c2bcbc，所以c(1)b<b，ab，所以cosC，所以C.5AB2A，sin Bsin 2A，sin B2sin AcosA，b2acos A，又a1，b2cos A.ABC為銳角三角形，0<A<，0<B<，0<C<，即0<A<，0<2A<，0<A2A<，<A<，<cosA<，<2cos A<，b(，)6C由正弦定理可知acosBbcosA2Rsin AcosB2Rsin BcosA2Rsin(AB)2Rsin C2Rsin C·sinC，sin C1，C90°.Sab(b2c2a2)，解得ab，因此B45°.故選C.7Bm與n共線，acosbcos，由正弦定理，得sin Acossin Bcos，sin A2sin cos，sin B2sin cos，2sin coscos2sin coscos，化簡，得sin sin .又0<<，0<<，可得AB.同理，由n與p共線得到BC，ABC，可得ABC是等邊三角形8A設線段AC的中點為點D，則直線ODAC.因為xy，所以x2y.又x2y1，所以點O、B、D三點共線，即點B在線段AC的中垂線上，則ABBC3.在ABC中，由余弦定理，得cosBAC.故選A.9等腰或直角三角形解析因為sin 2Asin(AC)sin Bsin 2Asin(AC)sin(AC)2sin AcosA2sin CcosA2cos A(sin Asin C)0，所以cosA0或sin Asin C，所以A或AC.故ABC為等腰或直角三角形104解析由正弦定理知2，所以a2sin A，代入得原式4·4.1130解析依題意有AB15×460，MAB30°，AMB45°，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30.124解析在ACD中，cosADC，整理得AD2DC248AD·DC2AD·DC，AD·DC16，當且僅當ADCD時等號成立，ADC的面積SAD·DC·sinADCAD·DC4.