2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)《數(shù)列求和》講義.doc

2019-2020年高三數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)數(shù)列求和講義要點(diǎn)梳理1. 等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn_ na1d _，推導(dǎo)方法：_倒序相加法_；等比數(shù)列前n項(xiàng)和Sn na1推導(dǎo)方法：乘公比，錯(cuò)位相減法.2.常見數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)123n_；(2)2462n_ n2n _；(3)135(2n1)_ n2_；(4)122232n2_；(5)132333n3_2_.3.數(shù)列求和的常用方法（1）公式法：能直接用等差或等比數(shù)列的求和公式的方法。（2）拆項(xiàng)求和法：將一個(gè)數(shù)列拆成若干個(gè)簡(jiǎn)單數(shù)列（等差、等比、常數(shù)列）然后分別求和的方法。（3）并項(xiàng)求和法：將數(shù)列相鄰的兩項(xiàng)或幾項(xiàng)并成一組，得到一個(gè)新的更易求和的數(shù)列的方法。（4）裂項(xiàng)相消法：將數(shù)列的通項(xiàng)分成二項(xiàng)的差的形式，相加消去中間項(xiàng)，剩下有限項(xiàng)再求和的方法。（5）錯(cuò)位相減法：將一個(gè)數(shù)列的每一項(xiàng)都作相同的變換，然后將得到的新數(shù)列錯(cuò)動(dòng)一個(gè)位置與原數(shù)列的各項(xiàng)相減，也即是仿照推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法。若為等差、為等比數(shù)列，則求數(shù)列的前項(xiàng)和可用此法。（6）倒序求和法：即仿照推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法 (1)一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，先求通項(xiàng)，然后通過觀察數(shù)列通項(xiàng)公式特點(diǎn)和規(guī)律，判斷求和類型，尋找合適的求和方法. 求和過程中同時(shí)要對(duì)項(xiàng)數(shù)作出準(zhǔn)確判斷. 含有字母的數(shù)列求和，常伴隨著分類討論.(2)解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路：轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來完成.不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來求和.4.常見的拆項(xiàng)公式； ； 基礎(chǔ)自測(cè)1.若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和為()A.2nn21 B.2n1n21C.2n1n22 D.2nn22.已知an是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和，且9S3S6，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為()A.或5 B.或5C. D.3.已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為不等于1的正數(shù)，數(shù)列bn滿足bnlg an，b318，b612，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和的最大值等于()A.126 B.130C.132 D.1344.已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項(xiàng)，Sn為an的前n項(xiàng)和，nN*，則S10的值為 ()A.110 B.90 C.90 D.1105.如果數(shù)列an滿足a1，a2a1，a3a2，anan1，是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，則an等于 ()A. B. C. D.6.數(shù)列1，的前n項(xiàng)和Sn_.7.已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an，其中前n項(xiàng)和Sn，則項(xiàng)數(shù)n_6_.8.已知數(shù)列an中，a160，an1an3，則這個(gè)數(shù)列前30項(xiàng)的絕對(duì)值的和是_765_.9.設(shè)數(shù)列an是公差大于0的等差數(shù)列，a3，a5分別是方程x214x450的兩個(gè)實(shí)根.則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an_.2n1_；若bn，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn_2_.例題分析：題型一分組轉(zhuǎn)化求和例1求和：(1)Sn；(2)Sn222.解(1)由于ann，Sn(123n)1.(2)當(dāng)x1時(shí)，Sn4n.當(dāng)x1時(shí)，Sn222 (x2x4x2n)2n2n2n.Sn探究提高某些數(shù)列的求和是將數(shù)列分解轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，這就要通過對(duì)數(shù)列通項(xiàng)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行分析研究，將數(shù)列的通項(xiàng)合理分解轉(zhuǎn)化.特別注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論.變式訓(xùn)練1 （1）解：（1） 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（2）求和Sn1.解和式中第k項(xiàng)為ak12.Sn22(111()22n2.題型二錯(cuò)位相減法求和例2設(shè)數(shù)列an滿足a13a232a33n1an，nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn.解(1)a13a232a33n1an，當(dāng)n2時(shí)， a13a232a33n2an1得3n1an，an.在中，令n1，得a1，適合an，an.(2)bn，bnn3n.Sn3232333n3n，3Sn32233334n3n1.得2Snn3n1(332333n)，即2Snn3n1，Sn.變式訓(xùn)練2 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Snn2an (nN*).(1)證明：數(shù)列an1為等比數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bn(2n1)an2n1，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn.求滿足不等式>2 013的n的最小值.(1)證明因?yàn)镾nn2an，即Sn2ann，所以Sn12an1(n1) (n2，nN*).兩式相減化簡(jiǎn)，得an2an11.所以an12(an11) (n2，nN*)，所以數(shù)列an1為等比數(shù)列.因?yàn)镾nn2an，令n1，得a11.a112，所以an12n，所以an2n1.(2)解因?yàn)閎n(2n1)an2n1，所以bn(2n1)2n.所以Tn32522723(2n1)2n1(2n1)2n，2Tn322523(2n1)2n(2n1)2n1，得Tn322(22232n)(2n1)2n162(2n1)2n122n2(2n1)2n12(2n1)2n1.所以Tn2(2n1)2n1.若>2 013，則>2 013，即2n1>2 013.由于2101 024,2112 048，所以n111，即n10.所以滿足不等式>2 013的n的最小值是10.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an12Sn1 (nN*)，等差數(shù)列bn中，bn>0 (nN*)，且b1b2b315，又a1b1、a2b2、a3b3成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列an、bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)a11，an12Sn1 (nN*)，an2Sn11 (nN*，n>1)，an1an2(SnSn1)，即an1an2an，an13an (nN*，n>1).而a22a113，a23a1.數(shù)列an是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，an3n1 (nN*).a11，a23，a39，在等差數(shù)列bn中，b1b2b315，b25.又a1b1、a2b2、a3b3成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，則有(a1b1)(a3b3)(a2b2)2.(15d)(95d)64，解得d10或d2，bn>0 (nN*)，舍去d10，取d2，b13，bn2n1 (nN*).(2)由(1)知Tn3153732(2n1)3n2(2n1)3n1，3Tn33532733(2n1)3n1(2n1)3n，得2Tn312323223323n1(2n1)3n32(332333n1)(2n1)3n32(2n1)3n3n(2n1)3n2n3n.Tnn3n.在等差數(shù)列中，前項(xiàng)和滿足條件， （）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和。解：（）設(shè)等差數(shù)列的公差為,由得：，所以，即，所以。（）由，得。所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即。題型三 裂項(xiàng)相消法求和例3已知數(shù)列an中，a11，當(dāng)n2時(shí)，其前n項(xiàng)和Sn滿足San.(1)求Sn的表達(dá)式；(2)設(shè)bn，求bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)San，anSnSn1 (n2)，S(SnSn1)，即2Sn1SnSn1Sn，由題意Sn1Sn0，式兩邊同除以Sn1Sn，得2，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列.12(n1)2n1，Sn.(2)又bn，Tnb1b2bn.探究提高使用裂項(xiàng)法求和時(shí)，要注意正負(fù)項(xiàng)相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，未被消去的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)，實(shí)質(zhì)上造成正負(fù)相消是此法的根源與目的.變式訓(xùn)練3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，an1Sn(n1,2,3，).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bn，求 Tn(1)解由已知得 (n2)，得到an1an (n2).數(shù)列an是以a2為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.又a2S1a1，ana2n2 n2 (n2).an(2)證明bnn.Tn1.正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，且 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)解（1）=1 ，得即而故數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列。（2）題型四 倒序求和法例4（1）設(shè)，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法，可求的值為A B C D解：由于，則原式，選A題型五 并項(xiàng)求和例5 數(shù)列的前項(xiàng)和為 ，滿足：，其中， 且（）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（）設(shè)數(shù)列的公比為，數(shù)列滿足求的通項(xiàng)式.（）記求證：解（）當(dāng)時(shí)， ,得： （）又，解得： , 是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列。（） , 則（）變式訓(xùn)練5 的值是A2525 B5050 C10100 D20200解：原式，選B例6數(shù)列的通項(xiàng)，其前項(xiàng)和為. (1) 求; (2) 求數(shù)列的前項(xiàng)和.解: (1) 由于,故,故 ()(2) 兩式相減得故 數(shù)列求和練習(xí)（1）1數(shù)列的通項(xiàng)公式是，若它的前項(xiàng)和為10，則其項(xiàng)數(shù)為A11 B99 C120 D121解： ，則由，得，選C2數(shù)列的通項(xiàng)是，則數(shù)列的的前項(xiàng)和為A B C D解：，則，選A3已知數(shù)列的前項(xiàng)和為 ，則的值是 A65 B67 C61 D56解： 由，得，則原式，選B4數(shù)列的前項(xiàng)和為，則A B C D分析：代入檢驗(yàn)，因，故選A5在等比數(shù)列中，則A B C D分析：有，則，故原式，選D6數(shù)列的通項(xiàng)公式 ，前n項(xiàng)和 .，7若數(shù)列滿足 ，則數(shù)列的通項(xiàng)公式_.8數(shù)列中，則_。解：為奇數(shù)時(shí)，；為偶數(shù)時(shí)，9數(shù)列中，則此數(shù)列的前xx項(xiàng)之和為_.解：由題設(shè)可知，（），則10已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （II）求和：.解：（）設(shè)等差數(shù)列的公差是d，依題意得，解得, 數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （）解：， =11設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，為等比數(shù)列，且 （）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式； （）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）：當(dāng)時(shí)，故an的通項(xiàng)公式為，即是，公差的等差數(shù)列設(shè)bn的通項(xiàng)公式為故，即的通項(xiàng)公式為（II）兩式相減得 12.已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a11，an12Sn (nN*).(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an；(2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和Tn.解(1)an12Sn，Sn1Sn2Sn，3.又S1a11，數(shù)列Sn是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，Sn3n1 (nN*).當(dāng)n2時(shí)，an2Sn123n2，an(2)Tna12a23a3nan，當(dāng)n1時(shí)，T11；當(dāng)n2時(shí)，Tn14306312n3n2，3Tn34316322n3n1，得：2Tn22(31323n2)2n3n1222n3n11(12n)3n1.Tn3n1 (n2).又T1也滿足上式，故Tn3n1 (nN*).13設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)，。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)數(shù)列，從第幾項(xiàng)起？（參考數(shù)據(jù)：） 解(1) , , 當(dāng)時(shí), = (2) , . 由,解得,而n是正整數(shù),于是n46. 從第46項(xiàng)起.14已知數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列中（1） 求；（2）若，求的前項(xiàng)和數(shù)列求和練習(xí)（2）1.數(shù)列1，的前n項(xiàng)和Sn_.解：，則，2Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若an，則Sn_.答案：(nN*)3已知等比數(shù)列an滿足an>0，n1,2，且a5a2n522n(n3)，則當(dāng)n1時(shí)，log2a1log2a3log2a2n1_.解析：由題意知an2n，log2a2n12n1，log2a1log2a3log2a2n113(2n1)n2.答案：n24.數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(1)n1(4n3)，則它的前100項(xiàng)之和S100等于 ()A.200 B.200C.400 D.400解析：S100(15)(913)(4993)(41003)(4)50200.5.已知數(shù)列2 008,2 009,1，2 008，2 009，這個(gè)數(shù)列的特點(diǎn)是從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于它的前后兩項(xiàng)之和，則這個(gè)數(shù)列的前2 013項(xiàng)之和S2 013等于()A.4 018 B.2 010 C.1 D.06.已知等差數(shù)列的公差d<0，前n項(xiàng)和記為Sn，滿足S20>0，S21<0，則當(dāng)n_10_時(shí)，Sn達(dá)到最大值.7.若數(shù)列an是正項(xiàng)數(shù)列，且n23n (nN*)，則_.解析：令n1得4，即a116，當(dāng)n2時(shí)，(n23n)(n1)23(n1)2n2，所以an4(n1)2，當(dāng)n1時(shí)，也適合，所以an4(n1)2(nN*)于是4(n1)，故2n26n.8.設(shè)f(x)是定義在R上恒不為0的函數(shù)，對(duì)任意x，yR，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(n為常數(shù))，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍為_解析：f(2)f2(1)，f(3)f(1)f(2)f3(1)， f(4)f(1)f(3)f4(1)，f(n)n，Sn1.答案： ，1）9等差數(shù)列an的公差不為零，a47，a1，a2，a5成等比數(shù)列，數(shù)列Tn滿足條件Tna2a4a8，則Tn_.解析：設(shè)an的公差為d0，由a1，a2，a5成等比數(shù)列，得aa1a5，即(72d)2(73d)(7d) d2或d0(舍去)an7(n4)22n1. 又22n12n11，Tn(221)(231)(241)(2n11)(22232n1)n2n2n4.10在等差數(shù)列an中，滿足3a47a7，且a1>0，Sn是數(shù)列an前n項(xiàng)的和，若Sn取得最大值，則n_.解析：設(shè)公差為d，由題設(shè)3(a13d)7(a16d)，所以da1<0.解不等式an>0，即a1(n1)>0，所以n<，則n9，當(dāng)x9時(shí)，an>0，同理可得n10時(shí)，an<0.故當(dāng)n9時(shí)，Sn取得最大值答案：911已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Snn5an85，nN*.(1)證明：an1是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列Sn的通項(xiàng)公式請(qǐng)指出n為何值時(shí)，Sn取得最小值，并說明理由(1)證明：當(dāng)n1時(shí)，a1S115a185，解得a114，則a1115.當(dāng)n2時(shí)，Sn1(n1)5an185，anSnSn115an5an1，6an5an11，即an1(an11)，an1是首項(xiàng)為15，公比為的等比數(shù)列(2)解：an115n1，an115n1Snn585n75n190.an =115n1>0，即15n1<1，解得n>log115.85. n>16時(shí)an >0故n15時(shí)，Sn取得最小值