2019年高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語 1.2 簡(jiǎn)單邏輯聯(lián)結(jié)詞 1.2.2 全稱量詞和存在量詞講義（含解析）湘教版選修2-1.doc

12.2全稱量詞和存在量詞讀教材填要點(diǎn)1全稱量詞與存在量詞(1)全稱量詞：“任意、“所有”、“每一個(gè)”等叫作全稱量詞，數(shù)學(xué)上用符號(hào)“”表示(2)存在量詞：“存在”、“某一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等叫作存在量詞，數(shù)學(xué)上用符號(hào)“”表示2含有“全稱量詞”或“存在量詞”的命題的否定(1)命題“xI, p(x)”的否定是“xI，綈p(x)”；(2)命題“xI，p(x)”的否定是“xI，綈p(x)”小問題大思維1命題p：任何一個(gè)實(shí)數(shù)除以1等于這個(gè)數(shù)；q：等邊三角形的三邊都相等它們各使用了什么量詞？提示：命題p使用了全稱量詞“任何一個(gè)”，“等邊三角形的三邊相等”是指“任意一個(gè)等邊三角形的三邊都相等”，命題q使用了全稱量詞“任意”2下列命題使用了什么量詞？p：存在實(shí)數(shù)x，使x23>0；q：有的實(shí)數(shù)既不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)提示：命題p使用存在量詞“存在”，命題q使用存在量詞“有的”3如何用符號(hào)表示下列命題？(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)，有sin2cos21；(2)存在實(shí)數(shù)x，使得2.提示：(1)用符號(hào)表示為“R，sin2cos21”(2)用符號(hào)表示為“xR，2”用“”或“”表述命題 將下列命題用量詞符號(hào)“”或“”表示，并判斷真假(1)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)；(2)整數(shù)中1最?。?3)方程ax22x10(a1)至少存在一個(gè)負(fù)根；(4)對(duì)于某些實(shí)數(shù)x，有2x10.自主解答(1)xR，x20；真(2)xZ，x1；假(3)x0，有ax22x10(a1)；真(4)xR，有2x10；真同一個(gè)含全稱量詞或存在量詞的命題，可能有不同的表述方法，現(xiàn)列表總結(jié)如下，在實(shí)際應(yīng)用中可以靈活選擇：命題含全稱量詞的命題“xA，p(x)”含存在量詞的命題“xA，p(x)”表述方法所有的xA，p(x)成立對(duì)一切xA，p(x) 成立對(duì)每一個(gè)xA，p(x)成立任意一個(gè)xA，p(x)成立凡xA，都有p(x)成立使p(x)成立存在xA，至少有一個(gè)xA，使p(x)成立對(duì)有些xA，p(x)成立對(duì)某個(gè)xA，p(x)成立有一個(gè)xA，使p(x)成立1用全稱量詞或存在量詞表示下列語句：(1)不等式x2x1>0恒成立；(2)當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，x2x1也是有理數(shù)；(3)等式sin()sin sin 對(duì)有些角，成立；(4)方程3x2y10有整數(shù)解解：(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式x2x1>0成立(2)對(duì)任意有理數(shù)x，x2x1是有理數(shù)(3)存在角，使sin()sin sin 成立(4)存在一對(duì)整數(shù)x，y，使3x2y10成立含全稱量詞或存在量詞的命題的真假判斷 (1)下列命題中的假命題是()AxR，lg x0BxR，tan x1CxR，x2>0DxR，ex>0(2)下列命題中的真命題是()AR，函數(shù)f(x)sin(2x)都不是偶函數(shù)B，R，使cos()cos cos C向量a(2,1)，b(1,0)，則a在b方向上的投影為2D“|x|1”是“x1”的既不充分又不必要條件自主解答(1)對(duì)于A，x1時(shí)，lg x0；對(duì)于B，xk(kZ)時(shí)，tan x1；對(duì)于C，當(dāng)x0時(shí)，x20，所以C中命題為假命題；對(duì)于D，ex>0恒成立(2)對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，f(x)cos 2x，為偶函數(shù)，故A為假命題；對(duì)于B，令，則cos()cos，cos cos 0，cos()cos cos 成立，故B為真命題；對(duì)于C，向量a(2,1)，b(1,0)，則a在b方向上的投影為2，故C為假命題；對(duì)于D，|x|1，即1x1，故充分性成立，若x1，則|x|1不一定成立，所以“|x|1”為“x1”的充分不必要條件，故D為假命題答案(1)C(2)B全稱命題與特稱命題的真假判斷的技巧(1)要判定一個(gè)全稱命題是真命題，必須對(duì)限定集合M中的每個(gè)元素x驗(yàn)證p(x)成立；但要判定全稱命題是假命題，只要能舉出集合M中的一個(gè)x0，使得p(x0)不成立即可(2)要判定一個(gè)特稱命題是真命題，只要在限定集合M中，能找到一個(gè)x0使p(x0)成立即可；否則，這個(gè)特稱命題就是假命題2判斷下列命題是含全稱量詞還是存在量詞，并判斷其真假(1)一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù)；(2)至少有一個(gè)實(shí)數(shù)x，使x20；(3)xZ，log4x>0；(4)xx|x是無理數(shù)，x4是無理數(shù)解：(1)命題中含有全稱量詞“都”，命題為真命題(2)命題中含有存在量詞“至少有一個(gè)”，當(dāng)x0時(shí)，x20，命題為真命題(3)命題中含有存在量詞的符號(hào)“”，當(dāng)x4時(shí)，log4x1>0，命題為真命題(4)命題中含有全稱量詞的符號(hào)“”，由于x時(shí)x44是有理數(shù)因此命題是假命題含有量詞的命題的否定 (1)設(shè)命題p：nN，n2>2n，則綈p為()AnN，n2>2nBnN，n22nCnN，n22nDnN，n22n(2)(2016浙江高考)命題“xR，nN*，使得nx2”的否定形式是()AxR，nN*，使得nx2BxR，nN*，使得nx2CxR，nN*，使得nx2DxR，nN*，使得nx2自主解答(1)因?yàn)椤皒M，p(x)”的否定是“xM，綈p(x)”，所以命題“nN，n2>2n”的否定是“nN，n22n”，故選C.(2)由于特稱命題的否定形式是全稱命題，全稱命題的否定形式是特稱命題，所以“xR，nN*，使得nx2”的否定形式為“xR，nN*，使得nx2”答案(1)C(2)D(1)“xM，p(x)”的否定為“xM，綈p(x)”(2)有些命題省略了全稱量詞，在這種情況下，千萬不要將否定寫成“是”或“不是”(3)命題“xM，p(x)”的否定為“xM，綈p(x)”(4)只有“存在”一詞是量詞時(shí)，它的否定才是“任意”，當(dāng)“存在”一詞不是量詞時(shí)，它的否定是“不存在”例如：三角形存在外接圓這個(gè)命題中的量詞“所有的”被省略了，所以這個(gè)命題的否定是：有些三角形不存在外接圓3寫出下列命題的否定并判斷其真假(1)p：不論m取何實(shí)數(shù)，方程x2mx10必有實(shí)數(shù)根；(2)p：有些三角形的三條邊相等；(3)p：余弦值為負(fù)數(shù)的角是鈍角；(4)p：存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得3x<0.解：(1)這一命題可表述為p：對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，方程x2mx10必有實(shí)數(shù)根其否定為：存在一個(gè)實(shí)數(shù)m，使方程x2mx10沒有實(shí)數(shù)根，因?yàn)樵摲匠痰呐袆e式m24>0恒成立，故為假命題(2)由于存在量詞“有些”的否定的表述為“所有，”因此，原命題的否定為：“所有三角形的三條邊不全相等”，假命題(3)原命題的否定為：“有的余弦值為負(fù)數(shù)的角不是鈍角”，真命題(4)原命題的否定為“對(duì)于所有實(shí)數(shù)x，都滿足3x0”，真命題.解題高手 妙解題 什么是智慧，智慧就是簡(jiǎn)單、高效、不走彎路判斷下列命題的真假(1)xR，x22x1>0；(2)xR，|x|0；(3)xN，log2x>0；(4)xR，cos x.巧思根據(jù)命題中所含量詞的含義，可舉特例判斷妙解(1)當(dāng)x1時(shí)，x22x10，原命題是假命題(2)當(dāng)x0時(shí)，|x|0成立，原命題是真命題(3)當(dāng)x1時(shí)，log2x0，原命題是假命題(4)當(dāng)xR時(shí)，cos x1,1，而>1，不存在xR，使cos x.原命題是假命題1下列命題不是“xR，x23”的表述方法是()A有一個(gè)xR，使得x23B對(duì)有些xR，使得x23C任選一個(gè)xR，使得x23D至少有一個(gè)xR，使得x23解析：選項(xiàng)C是全稱命題答案：C2下列命題中的假命題是()AxR，lg x0BxR，cos x1CxR，x30DxR,2x0解析：選項(xiàng)A，lg x0x1；選項(xiàng)B，cos x1x2k(kZ)；選項(xiàng)C；x30x0；選項(xiàng)D,2x0xR.答案：C3設(shè)命題p：nN，n2>2n，則綈p為()AnN，n2>2nBnN，n22nCnN，n22nDnN，n22n解析：因?yàn)椤皒M，p(x)”的否定是“xM，綈p(x)”，所以命題“nN，n2>2n”的否定是“nN，n22n”，故選C.答案：C4命題“至少有一個(gè)正實(shí)數(shù)x滿足方程x22(a1)x2a60”的否定是_解析：把量詞“至少有一個(gè)”改為“所有”，“滿足”改為“都不滿足”得命題的否定答案：所有正實(shí)數(shù)x都不滿足方程x22(a1)x2a605給出下列命題xR，x220；xN，x41；xZ，x31.其中是真命題的是_(把所有真命題的序號(hào)都填上)解析：由于xR，都有x20，因而有x2220，即x220.所以命題“xR，x220”是真命題由于0N，當(dāng)x0時(shí)，x41不成立所以命題“xN，x41”是假命題由于1Z，當(dāng)x1時(shí)，x31成立所以命題“xZ，x31”是真命題答案：6寫出下列命題的否定，并判斷真假(1)非負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)(2)有的四邊形沒有外接圓解：(1)命題的否定：“存在一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方不是正數(shù)”因?yàn)?20，不是正數(shù)，所以該命題是真命題(2)命題的否定：“所有四邊形都有外接圓”因?yàn)橹挥袑?duì)角互補(bǔ)的四邊形才有外接圓，所以原命題為真，所以命題的否定為假命題.一、選擇題1命題“存在xR,2x0”的否定是()A不存在xR,2x>0B存在xR,2x0C對(duì)任意的xR,2x0D對(duì)任意的xR,2x>0解析：由含有存在量詞的命題否定可知，命題“存在xR,2x0”的否定是“對(duì)任意的xR,2x>0”答案：D2命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是()A所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)B所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)C存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)D存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)解析：否定原命題結(jié)論的同時(shí)要把量詞做相應(yīng)改變，故選D.答案：D3若存在xR，使ax22xa<0是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1)B(，1C(1,1)D(1,1解析：當(dāng)a0時(shí)，顯然存在xR，使ax22xa<0；當(dāng)a>0時(shí)，必需44a2>0，解得1<a<1，故0<a<1.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，1)答案：A4下列四個(gè)命題：p1：x(0，)，x<x；p2：x(0,1)，logx> logx；p3：x(0，)，x>logx；p4：x，x<logx.其中的真命題是()Ap1，p3Bp1，p4Cp2，p3Dp2，p4解析：對(duì)于命題p1，當(dāng)x(0，)時(shí)，總有x>x成立，所以p1是假命題，排除A、B，對(duì)于命題p3，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)yx與函數(shù)ylogx的圖象(圖略)，可知在(0，)上，函數(shù)yx的圖象并不是始終在函數(shù)ylogx的圖象上方，所以p3是假命題，排除C.答案：D二、填空題5命題“有些負(fù)數(shù)滿足不等式(1x)(19x)>0”用“”或“”可表述為_解析：命題“有些負(fù)數(shù)滿足不等式(1x)(19x)>0”為特稱命題，用“”表示為：x<0，使(1x)(19x)>0.答案：x<0，使(1x)(19x)>06命題“零向量與任意向量共線”的否定為：_.解析：命題“零向量與任意向量共線”即“任意向量與零向量共線”，其否定為“有的向量與零向量不共線”答案：有的向量與零向量不共線7下列命題是真命題的有_(1)x1,3,5,5x2是奇數(shù)；(2)xR，x26x50；(3)xR，|x1|0.解析：(1)5127,53217，55227，均為奇數(shù)，是真命題(2)x26x50中，3620560，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，是真命題(3)x1時(shí)，|11|0，是假命題答案：(1)(2)8若命題“xR，ax2ax2>0”是假命題，則a的取值范圍是_解析：“xR，ax2ax2>0”是假命題，則“xR，ax2ax20”是真命題，當(dāng)a0時(shí)，20.符合題意當(dāng)a0時(shí)，要滿足xR，ax2ax20，需有即解得8a<0，綜上，a的取值范圍是8,0答案：8,0三、解答題9用“”“”寫出下列命題的否定，并判斷真假(1)二次函數(shù)的圖象是拋物線；(2)直角坐標(biāo)系中，直線是一次函數(shù)的圖象；(3)有些四邊形存在外接圓；(4)a，bR，方程axb0無解解：(1)f(x)二次函數(shù)，f(x)的圖象不是拋物線它是假命題(2)在直角坐標(biāo)系中，l直線，l不是一次函數(shù)的圖象它是真命題(3)x四邊形，x不存在外接圓它是假命題(4)a，bR，方程axb0至少有一解它是假命題10已知命題p：“存在a>0，使函數(shù)f(x)ax24x在(，2上單調(diào)遞減”，命題q：“存在aR，使xR,16x216(a1)x10”若命題“pq”為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：若p為真，則對(duì)稱軸x在區(qū)間(，2的右側(cè)，即2，0<a1.若q為真，則方程16x216(a1)x10無實(shí)數(shù)根16(a1)2416<0，<a<.命題“pq”為真命題，命題p，q都為真，<a1.故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.