2019-2020年高一數(shù)學(xué)上冊(cè)必修12.5《不等式的證明》教案.doc

2019-2020年高一數(shù)學(xué)上冊(cè)必修12.5不等式的證明教案一、教學(xué)內(nèi)容分析 有關(guān)不等式的證明問(wèn)題一直是數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)，除一些基本方法外還牽涉到相當(dāng)多的技巧問(wèn)題.作為高一的不等式證明重在基本證明思路、方法的介紹，所以教材中也不牽涉過(guò)多的技巧問(wèn)題，主要涉及利用不等式基本性質(zhì)以及基本不等式來(lái)進(jìn)行證明.二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)1、掌握用比較法、綜合法和分析法證明不等式的基本思路.2、能利用比較法、綜合法和分析法進(jìn)行簡(jiǎn)單不等式的證明.3、在證明的過(guò)程中，加強(qiáng)不等式性質(zhì)及基本不等式的應(yīng)用.4、代數(shù)證明基本能力的提升以及邏輯推理水平的進(jìn)一步加強(qiáng)。三、教學(xué)重點(diǎn)及難點(diǎn)重點(diǎn) 利用比較法、綜合法和分析法進(jìn)行簡(jiǎn)單不等式的證明.難點(diǎn) 分析法的基本思路及其表達(dá).四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)一、比較法比較法有兩種：（1）比差法：求差與比.（2）比商法：求商與比，要注意討論分母的符號(hào).例1 求證：（1）. （2）.證明：（1）因?yàn)?，所以?（2）因?yàn)椋裕?說(shuō)明本例的幾何意義.（1）的圖像在的下方，如圖所示（A點(diǎn)比B點(diǎn)低1個(gè)單位）.（2）的圖像在的圖像上方，如圖所示（A點(diǎn)比B點(diǎn)高）.例2 設(shè)，求證：.（補(bǔ)充）證明： 因?yàn)?，又，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故 .另證：因?yàn)?，所以，則.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.又，故 .當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.說(shuō)明 此例采用了比差和比商兩種方法給出證明，由證明過(guò)程體會(huì)兩種方法各自的“優(yōu)點(diǎn)”.二、綜合法從已知條件出發(fā)，利用各種已知的定理和運(yùn)算性質(zhì)作為依據(jù)，推導(dǎo)出要證的結(jié)論.這種證明方法稱為綜合法.例3 已知、均為正數(shù)，求證：.證明： ，因?yàn)椤⒕鶠檎龜?shù)，由基本不等式2和不等式性質(zhì)得：即，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，不等式成立.例4 已知、，求證：.證明：.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以不等式成立.例5 求證：.證明：因?yàn)?，由基本不等式得?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，不等式成立.說(shuō)明 此例給出了如何利用基本不等式求函數(shù)最值的一種方法.例6 求證：.證明：一方面， .當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.另一方面，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)同時(shí)成立.說(shuō)明 利用基本不等式證明此例有一定難度，可適當(dāng)選用.三、分析法從要證的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃危治龀鍪惯@個(gè)結(jié)論成立的條件，把證明結(jié)論轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否成立的問(wèn)題，如果能夠判定這些條件都成立，那么就可以斷定原結(jié)論成立.這種證明方法稱為分析法.分析法也可以如下敘述為：欲證結(jié)論，需先證得，欲要證得，需先證得， 欲要證得，需先證得， 欲要證得，需先證得.當(dāng)成立時(shí)，若以上步步可逆，則結(jié)論成立.用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述，必須保證下述過(guò)程成立，因?yàn)槌闪?，所以結(jié)論成立.說(shuō)明分析法的證明過(guò)程即是不斷尋找充分條件的過(guò)程.由于分析法要求的是步步逆向成立，所以需慎重使用.例7 求證：.證明：因?yàn)?，則要證成立，即證成立，即證成立.即證成立，即證成立，即證成立.因?yàn)槌闪ⅲ乙陨喜讲娇赡?，所以?例8 已知：，求證：.證明：要證成立，即證成立即證成立，即證成立， 由成立，且以上步步可逆，故有.例9 設(shè)、，求證：，并指出等號(hào)成立的條件.證：先證“”.注意到，則對(duì)于任意、，要證成即證成立，即證成立，即證成立，由絕對(duì)值定義知，任意、，都有，且以上步步可逆，因而，且等號(hào)成立.再證；“”.由，則對(duì)于任意、，要證成立，即證成立，即證成立，即證成立，即證成立，由絕對(duì)值定義知，任意、，都有，且以上步步可逆，因而，且等號(hào)成立；綜上可得，任意、，不等式成立. 例9證明的不等式對(duì)任意的實(shí)數(shù)、成立，以換得到的不等式，即也成立，此時(shí)，右端等號(hào)成立，左端等號(hào)成立.以上證得的兩個(gè)不等式，是絕對(duì)值不等式的重要性質(zhì)，稱之為三角不等式 對(duì)于任意、，（1），左端等號(hào)成立，右端等號(hào)成立（2），左端等號(hào)成立，右端等號(hào)成立.說(shuō)明 有關(guān)三角不等式的教學(xué)是講全還是選講其中部分，可適學(xué)生的具體情況而定.例10 已知，求證：.證明：由三角不等式可得：.所以，.說(shuō)明 此例為練習(xí)2.4（5）中的一題.四、課堂小結(jié)五、作業(yè)布置選用練習(xí)2.4（4）（5）（6）、習(xí)題2.3中的部分練習(xí).五、教學(xué)目標(biāo)說(shuō)明有關(guān)不等式的證明可分為兩個(gè)課時(shí)進(jìn)行.第一課時(shí)為比較法、綜合法；第二課時(shí)為分析法.有關(guān)不等式證明問(wèn)題的教學(xué)應(yīng)側(cè)重于基本思路與基本方法的講解，難度不易過(guò)高，特別是在證明的技巧性上需嚴(yán)格控制，只需對(duì)不等式的基本性質(zhì)以及基本不等式做適當(dāng)應(yīng)用即可.教學(xué)中的難點(diǎn)為分析法的講解，一定要慎重.講清思路以及它的理論依據(jù)，特別在書(shū)寫格式上應(yīng)提出嚴(yán)格的要求，防止學(xué)生出現(xiàn)證明過(guò)程由結(jié)論推至條件的嚴(yán)重錯(cuò)誤. 三種方法介紹完之后，師生應(yīng)有所歸納與小結(jié)，理清證明思路.事實(shí)上，一題往往會(huì)有多種證法，關(guān)鍵在于對(duì)題目的分析，選用哪種證法更為合適顯得尤為重要.