新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第7章學(xué)案34

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料學(xué)案34基本不等式及其應(yīng)用導(dǎo)學(xué)目標： 1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題自主梳理1基本不等式(1)基本不等式成立的條件：_.(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)_時取等號2幾個重要的不等式(1)a2b2_ (a，bR)(2)_(a，b同號)(3)ab2 (a，bR)(4)2_.3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為_，幾何平均數(shù)為_，基本不等式可敘述為：_.4利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)如果積xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)_時，xy有最_值是_(簡記：積定和最小)(2)如果和xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)_時，xy有最_值是_(簡記：和定積最大)自我檢測1“a>b>0”是“ab<”的_條件2已知函數(shù)f(x)x，a、b(0，)，Af，Bf()，Cf，則A、B、C的大小關(guān)系是_3下列函數(shù)中，最小值為4的函數(shù)是_(填上正確的序號)yx；ysin x(0<x<)；yex4ex；ylog3xlogx81.4設(shè)函數(shù)f(x)2x1(x<0)，則f(x)最大值為_5(2010·山東)若對任意x>0，a恒成立，則a的取值范圍為_探究點一利用基本不等式求最值例1(1)已知x>0，y>0，且1，求xy的最小值；(2)已知x<，求函數(shù)y4x2的最大值；(3)若x，y(0，)且2x8yxy0，求xy的最小值變式遷移1(2011·重慶改編)已知a>0，b>0，ab2，則y的最小值是_探究點二基本不等式在證明不等式中的應(yīng)用例2已知a>0，b>0，ab1，求證：(1)(1)9.變式遷移2已知x>0，y>0，z>0.求證：8.探究點三基本不等式的實際應(yīng)用例3(2010·鎮(zhèn)江模擬)某單位用2 160萬元購得一塊空地，計劃在該空地上建造一棟至少10層，每層2 000平方米的樓房經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x10)層，則每平方米的平均建筑費用為56048x(單位：元)(1)寫出樓房平均綜合費用y關(guān)于建造層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式；(2)該樓房應(yīng)建造多少層時，可使樓房每平方米的平均綜合費用最少？最少值是多少？(注：平均綜合費用平均建筑費用平均購地費用，平均購地費用)變式遷移3某國際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2012年英國倫敦奧運會期間進行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費t萬元之間滿足3x與t1成反比例，如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件，已知2012年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投入32萬元的生產(chǎn)費用，若將每件化妝品的售價定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費的一半之和，則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完(1)將2012年的利潤y(萬元)表示為促銷費t(萬元)的函數(shù)(2)該企業(yè)2012年的促銷費投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？(注：利潤銷售收入生產(chǎn)成本促銷費，生產(chǎn)成本固定費用生產(chǎn)費用)1a2b22ab對a、bR都成立；成立的條件是a0，b0；2成立的條件是ab>0，即a，b同號2利用基本不等式求最值必須滿足一正、二定、三相等三個條件，并且和為定值時，積有最大值，積為定值時，和有最小值3使用基本不等式求最值時，若等號不成立，應(yīng)改用單調(diào)性法一般地函數(shù)yax，當(dāng)a>0，b<0時，函數(shù)在(，0)，(0，)上是增函數(shù)；當(dāng)a<0，b>0時，函數(shù)在(，0)，(0，)上是減函數(shù)；當(dāng)a>0，b>0時函數(shù)在，上是減函數(shù)，在，上是增函數(shù)；當(dāng)a<0，b<0時，可作如下變形：y來解決最值問題 (滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1設(shè)a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項，則的最小值為_2已知不等式(xy)9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則正實數(shù)a的最小值為_3已知a>0，b>0，則2的最小值是_4(2011·南京模擬)一批貨物隨17列貨車從A市以a km/h的速度勻速直達B市，已知兩地鐵路線長400 km，為了安全，兩列車之間的距離不得小于2 km，那么這批貨物全部運到B市，最快需要_h.5設(shè)x，y滿足約束條件，若目標函數(shù)zaxby (a>0，b>0)的最大值為12，則的最小值為_6(2010·浙江)若正實數(shù)x，y滿足2xy6xy，則xy的最小值是_7(2011·江蘇，8)在平面直角坐標系xOy中，過坐標原點的一條直線與函數(shù)f(x)的圖象交于P，Q兩點，則線段PQ長的最小值是_8已知f(x)32x(k1)3x2，當(dāng)xR時，f(x)恒為正值，則k的取值范圍為_二、解答題(共42分)9(14分)(1)已知0<x<，求x(43x)的最大值；(2)點(x，y)在直線x2y3上移動，求2x4y的最小值10(14分)經(jīng)觀測，某公路段在某時段內(nèi)的車流量y(千輛/小時)與汽車的平均速度v(千米/小時)之間有函數(shù)關(guān)系y(v>0)(1)在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時車流量y最大？最大車流量為多少？(2)為保證在該時段內(nèi)車流量至少為10千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？11(14分)某加工廠需定期購買原材料，已知每千克原材料的價格為1.5元，每次購買原材料需支付運費600元，每千克原材料每天的保管費用為0.03元，該廠每天需要消耗原材料400千克，每次購買的原材料當(dāng)天即開始使用(即有400千克不需要保管)(1)設(shè)該廠每x天購買一次原材料，試寫出每次購買的原材料在x天內(nèi)總的保管費用y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該廠多少天購買一次原材料才能使平均每天支付的總費用y最小，并求出這個最小值學(xué)案34基本不等式及其應(yīng)用答案自主梳理1(1)a0，b0(2)ab2.(1)2ab(2)2(4)3.兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)4.(1)xy小2(2)xy大自我檢測1充分不必要2.ABC3.4.215，)課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引基本不等式的功能在于“和與積”的相互轉(zhuǎn)化，使用基本不等式求最值時，給定的形式不一定能直接適合基本不等式，往往需要拆添項或配湊因式(一般是湊和或積為定值的形式)，構(gòu)造出基本不等式的形式再進行求解基本不等式成立的條件是“一正、二定、三相等”，“三相等”就是必須驗證等號成立的條件解(1)x>0，y>0，1，xy(xy)1061016.當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立，又1，x4，y12時，(xy)min16.(2)x<，54x>0.y4x232 31，當(dāng)且僅當(dāng)54x，即x1時，上式等號成立，故當(dāng)x1時，ymax1.(3)由2x8yxy0，得2x8yxy，1.xy(xy)10102102×2× 18，當(dāng)且僅當(dāng)，即x2y時取等號又2x8yxy0，x12，y6.當(dāng)x12，y6時，xy取最小值18.變式遷移1解析ab2，1.()()()2(當(dāng)且僅當(dāng)，即b2a時，“”成立)，故y的最小值為.例2解題導(dǎo)引“1”的巧妙代換在不等式證明中經(jīng)常用到，也會給解決問題提供簡捷的方法在不等式證明時，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，而且也是檢驗轉(zhuǎn)化是否有誤的一種方法證明方法一因為a>0，b>0，ab1，所以112.同理12.所以(1)(1)(2)(2)52()549.所以(1)(1)9(當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立)方法二(1)(1)111，因為a，b為正數(shù)，ab1，所以ab()2，于是4，8，因此(1)(1)189(當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立)變式遷移2證明x>0，y>0，z>0，>0，>0，>0.8.當(dāng)且僅當(dāng)xyz時等號成立所以()()()8.例3解題導(dǎo)引1.用基本不等式解應(yīng)用題的思維程序為：2在應(yīng)用基本不等式解決實際問題時，要注意以下四點：(1)先理解題意，設(shè)變量，一般把要求最值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)最值問題；(3)在定義域內(nèi)求函數(shù)最值；(4)正確寫出答案解(1)依題意得y(56048x)56048x (x10，xN*)(2)x>0，48x21 440，當(dāng)且僅當(dāng)48x，即x15時取到“”，此時，平均綜合費用的最小值為5601 4402 000(元)答當(dāng)該樓房建造15層時，可使樓房每平方米的平均綜合費用最少，最少值為2 000元變式遷移3解(1)由題意可設(shè)3x，將t0，x1代入，得k2.x3.當(dāng)年生產(chǎn)x萬件時，年生產(chǎn)成本年生產(chǎn)費用固定費用，年生產(chǎn)成本為32x3323.當(dāng)銷售x(萬件)時，年銷售收入為×150%t.由題意，生產(chǎn)x萬件化妝品正好銷完，由年利潤年銷售收入年生產(chǎn)成本促銷費，得年利潤y (t0)(2)y5050250242(萬元)，當(dāng)且僅當(dāng)，即t7時，ymax42，當(dāng)促銷費投入7萬元時，企業(yè)的年利潤最大課后練習(xí)區(qū)1424解析不等式(xy)9對任意正實數(shù)x，y恒成立，則1aa219，2或4(舍去)正實數(shù)a的最小值為4.34解析因為22224，當(dāng)且僅當(dāng)且 ，即ab1時，取“”號48解析第一列貨車到達B市的時間為 h，由于兩列貨車的間距不得小于2 km，所以第17列貨車到達時間為8，當(dāng)且僅當(dāng)，即a100 km/h時成立，所以最快需要8 h.5.解析不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分，當(dāng)直線axbyz (a>0，b>0)過直線xy20與直線3xy60的交點(4,6)時，目標函數(shù)zaxby (a>0，b>0)取得最大值12，即4a6b12，即2a3b6，而·2(ab時，取“”)618解析由x>0，y>0,2xy6xy，得xy26(當(dāng)且僅當(dāng)2xy時，取“”)，即()2260，(3)·()0.又>0，3，即xy18.故xy的最小值為18.74解析過原點的直線與f(x)交于P、Q兩點，則直線的斜率k>0，設(shè)直線方程為ykx，由得或P(，)，Q(，)或P(，)，Q(，)PQ24.8(，21)解析由f(x)>0得32x(k1)·3x2>0，解得k1<3x，而3x2，k1<2，k<21.9解(1)0<x<，0<3x<4.x(43x)(3x)(43x)2，(5分)當(dāng)且僅當(dāng)3x43x，即x時，“”成立當(dāng)x時，x(43x)的最大值為.(7分)(2)已知點(x，y)在直線x2y3上移動，x2y3.2x4y2224.(12分)當(dāng)且僅當(dāng)即x，y時，“”成立當(dāng)x，y時，2x4y的最小值為4.(14分)10解(1)y11.08.(6分)當(dāng)v，即v40千米/小時時，車流量最大，最大值為11.08千輛/小時(9分)(2)據(jù)題意有10，(11分)化簡得v289v1 6000，即(v25)(v64)0，所以25v64.所以汽車的平均速度應(yīng)控制在25,64這個范圍內(nèi)(14分)11解(1)每次購買原材料后，當(dāng)天用掉的400千克原材料不需要保管費，第二天用掉的400千克原材料需保管1天，第三天用掉的400千克原材料需保管2天，第四天用掉的400千克原材料需保管3天，第x天(也就是下次購買原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x1)天每次購買的原材料在x天內(nèi)總的保管費用y1400×0.03×123(x1)6x26x.(6分)(2)由(1)可知，購買一次原材料的總費用為6x26x6001.5×400x，購買一次原材料平均每天支付的總費用為y(6x26x600)1.5×4006x594.(9分)y2594714，(12分)當(dāng)且僅當(dāng)6x，即x10時，取等號該廠10天購買一次原材料可以使平均每天支付的總費用y最小，且最小為714元(14分)