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新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第7章學(xué)案34

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新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第7章學(xué)案34

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料學(xué)案34基本不等式及其應(yīng)用導(dǎo)學(xué)目標: 1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題自主梳理1基本不等式(1)基本不等式成立的條件:_.(2)等號成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)_時取等號2幾個重要的不等式(1)a2b2_ (a,bR)(2)_(a,b同號)(3)ab2 (a,bR)(4)2_.3算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為_,幾何平均數(shù)為_,基本不等式可敘述為:_.4利用基本不等式求最值問題已知x>0,y>0,則(1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)_時,xy有最_值是_(簡記:積定和最小)(2)如果和xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)_時,xy有最_值是_(簡記:和定積最大)自我檢測1“a>b>0”是“ab<”的_條件2已知函數(shù)f(x)x,a、b(0,),Af,Bf(),Cf,則A、B、C的大小關(guān)系是_3下列函數(shù)中,最小值為4的函數(shù)是_(填上正確的序號)yx;ysin x(0<x<);yex4ex;ylog3xlogx81.4設(shè)函數(shù)f(x)2x1(x<0),則f(x)最大值為_5(2010·山東)若對任意x>0,a恒成立,則a的取值范圍為_探究點一利用基本不等式求最值例1(1)已知x>0,y>0,且1,求xy的最小值;(2)已知x<,求函數(shù)y4x2的最大值;(3)若x,y(0,)且2x8yxy0,求xy的最小值變式遷移1(2011·重慶改編)已知a>0,b>0,ab2,則y的最小值是_探究點二基本不等式在證明不等式中的應(yīng)用例2已知a>0,b>0,ab1,求證:(1)(1)9.變式遷移2已知x>0,y>0,z>0.求證:8.探究點三基本不等式的實際應(yīng)用例3(2010·鎮(zhèn)江模擬)某單位用2 160萬元購得一塊空地,計劃在該空地上建造一棟至少10層,每層2 000平方米的樓房經(jīng)測算,如果將樓房建為x(x10)層,則每平方米的平均建筑費用為56048x(單位:元)(1)寫出樓房平均綜合費用y關(guān)于建造層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式;(2)該樓房應(yīng)建造多少層時,可使樓房每平方米的平均綜合費用最少?最少值是多少?(注:平均綜合費用平均建筑費用平均購地費用,平均購地費用)變式遷移3某國際化妝品生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額,擬在2012年英國倫敦奧運會期間進行一系列促銷活動,經(jīng)過市場調(diào)查和測算,化妝品的年銷量x萬件與年促銷費t萬元之間滿足3x與t1成反比例,如果不搞促銷活動,化妝品的年銷量只能是1萬件,已知2012年生產(chǎn)化妝品的設(shè)備折舊、維修等固定費用為3萬元,每生產(chǎn)1萬件化妝品需再投入32萬元的生產(chǎn)費用,若將每件化妝品的售價定為其生產(chǎn)成本的150%與平均每件促銷費的一半之和,則當(dāng)年生產(chǎn)的化妝品正好能銷完(1)將2012年的利潤y(萬元)表示為促銷費t(萬元)的函數(shù)(2)該企業(yè)2012年的促銷費投入多少萬元時,企業(yè)的年利潤最大?(注:利潤銷售收入生產(chǎn)成本促銷費,生產(chǎn)成本固定費用生產(chǎn)費用)1a2b22ab對a、bR都成立;成立的條件是a0,b0;2成立的條件是ab>0,即a,b同號2利用基本不等式求最值必須滿足一正、二定、三相等三個條件,并且和為定值時,積有最大值,積為定值時,和有最小值3使用基本不等式求最值時,若等號不成立,應(yīng)改用單調(diào)性法一般地函數(shù)yax,當(dāng)a>0,b<0時,函數(shù)在(,0),(0,)上是增函數(shù);當(dāng)a<0,b>0時,函數(shù)在(,0),(0,)上是減函數(shù);當(dāng)a>0,b>0時函數(shù)在,上是減函數(shù),在,上是增函數(shù);當(dāng)a<0,b<0時,可作如下變形:y來解決最值問題 (滿分:90分)一、填空題(每小題6分,共48分)1設(shè)a>0,b>0,若是3a與3b的等比中項,則的最小值為_2已知不等式(xy)9對任意正實數(shù)x,y恒成立,則正實數(shù)a的最小值為_3已知a>0,b>0,則2的最小值是_4(2011·南京模擬)一批貨物隨17列貨車從A市以a km/h的速度勻速直達B市,已知兩地鐵路線長400 km,為了安全,兩列車之間的距離不得小于2 km,那么這批貨物全部運到B市,最快需要_h.5設(shè)x,y滿足約束條件,若目標函數(shù)zaxby (a>0,b>0)的最大值為12,則的最小值為_6(2010·浙江)若正實數(shù)x,y滿足2xy6xy,則xy的最小值是_7(2011·江蘇,8)在平面直角坐標系xOy中,過坐標原點的一條直線與函數(shù)f(x)的圖象交于P,Q兩點,則線段PQ長的最小值是_8已知f(x)32x(k1)3x2,當(dāng)xR時,f(x)恒為正值,則k的取值范圍為_二、解答題(共42分)9(14分)(1)已知0<x<,求x(43x)的最大值;(2)點(x,y)在直線x2y3上移動,求2x4y的最小值10(14分)經(jīng)觀測,某公路段在某時段內(nèi)的車流量y(千輛/小時)與汽車的平均速度v(千米/小時)之間有函數(shù)關(guān)系y(v>0)(1)在該時段內(nèi),當(dāng)汽車的平均速度v為多少時車流量y最大?最大車流量為多少?(2)為保證在該時段內(nèi)車流量至少為10千輛/小時,則汽車的平均速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?11(14分)某加工廠需定期購買原材料,已知每千克原材料的價格為1.5元,每次購買原材料需支付運費600元,每千克原材料每天的保管費用為0.03元,該廠每天需要消耗原材料400千克,每次購買的原材料當(dāng)天即開始使用(即有400千克不需要保管)(1)設(shè)該廠每x天購買一次原材料,試寫出每次購買的原材料在x天內(nèi)總的保管費用y1關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(2)求該廠多少天購買一次原材料才能使平均每天支付的總費用y最小,并求出這個最小值學(xué)案34基本不等式及其應(yīng)用答案自主梳理1(1)a0,b0(2)ab2.(1)2ab(2)2(4)3.兩個正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)4.(1)xy小2(2)xy大自我檢測1充分不必要2.ABC3.4.215,)課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引基本不等式的功能在于“和與積”的相互轉(zhuǎn)化,使用基本不等式求最值時,給定的形式不一定能直接適合基本不等式,往往需要拆添項或配湊因式(一般是湊和或積為定值的形式),構(gòu)造出基本不等式的形式再進行求解基本不等式成立的條件是“一正、二定、三相等”,“三相等”就是必須驗證等號成立的條件解(1)x>0,y>0,1,xy(xy)1061016.當(dāng)且僅當(dāng)時,上式等號成立,又1,x4,y12時,(xy)min16.(2)x<,54x>0.y4x232 31,當(dāng)且僅當(dāng)54x,即x1時,上式等號成立,故當(dāng)x1時,ymax1.(3)由2x8yxy0,得2x8yxy,1.xy(xy)10102102×2× 18,當(dāng)且僅當(dāng),即x2y時取等號又2x8yxy0,x12,y6.當(dāng)x12,y6時,xy取最小值18.變式遷移1解析ab2,1.()()()2(當(dāng)且僅當(dāng),即b2a時,“”成立),故y的最小值為.例2解題導(dǎo)引“1”的巧妙代換在不等式證明中經(jīng)常用到,也會給解決問題提供簡捷的方法在不等式證明時,列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟,而且也是檢驗轉(zhuǎn)化是否有誤的一種方法證明方法一因為a>0,b>0,ab1,所以112.同理12.所以(1)(1)(2)(2)52()549.所以(1)(1)9(當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立)方法二(1)(1)111,因為a,b為正數(shù),ab1,所以ab()2,于是4,8,因此(1)(1)189(當(dāng)且僅當(dāng)ab時等號成立)變式遷移2證明x>0,y>0,z>0,>0,>0,>0.8.當(dāng)且僅當(dāng)xyz時等號成立所以()()()8.例3解題導(dǎo)引1.用基本不等式解應(yīng)用題的思維程序為:2在應(yīng)用基本不等式解決實際問題時,要注意以下四點:(1)先理解題意,設(shè)變量,一般把要求最值的變量定為函數(shù);(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,把實際問題抽象為函數(shù)最值問題;(3)在定義域內(nèi)求函數(shù)最值;(4)正確寫出答案解(1)依題意得y(56048x)56048x (x10,xN*)(2)x>0,48x21 440,當(dāng)且僅當(dāng)48x,即x15時取到“”,此時,平均綜合費用的最小值為5601 4402 000(元)答當(dāng)該樓房建造15層時,可使樓房每平方米的平均綜合費用最少,最少值為2 000元變式遷移3解(1)由題意可設(shè)3x,將t0,x1代入,得k2.x3.當(dāng)年生產(chǎn)x萬件時,年生產(chǎn)成本年生產(chǎn)費用固定費用,年生產(chǎn)成本為32x3323.當(dāng)銷售x(萬件)時,年銷售收入為×150%t.由題意,生產(chǎn)x萬件化妝品正好銷完,由年利潤年銷售收入年生產(chǎn)成本促銷費,得年利潤y (t0)(2)y5050250242(萬元),當(dāng)且僅當(dāng),即t7時,ymax42,當(dāng)促銷費投入7萬元時,企業(yè)的年利潤最大課后練習(xí)區(qū)1424解析不等式(xy)9對任意正實數(shù)x,y恒成立,則1aa219,2或4(舍去)正實數(shù)a的最小值為4.34解析因為22224,當(dāng)且僅當(dāng)且 ,即ab1時,取“”號48解析第一列貨車到達B市的時間為 h,由于兩列貨車的間距不得小于2 km,所以第17列貨車到達時間為8,當(dāng)且僅當(dāng),即a100 km/h時成立,所以最快需要8 h.5.解析不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當(dāng)直線axbyz (a>0,b>0)過直線xy20與直線3xy60的交點(4,6)時,目標函數(shù)zaxby (a>0,b>0)取得最大值12,即4a6b12,即2a3b6,而·2(ab時,取“”)618解析由x>0,y>0,2xy6xy,得xy26(當(dāng)且僅當(dāng)2xy時,取“”),即()2260,(3)·()0.又>0,3,即xy18.故xy的最小值為18.74解析過原點的直線與f(x)交于P、Q兩點,則直線的斜率k>0,設(shè)直線方程為ykx,由得或P(,),Q(,)或P(,),Q(,)PQ24.8(,21)解析由f(x)>0得32x(k1)·3x2>0,解得k1<3x,而3x2,k1<2,k<21.9解(1)0<x<,0<3x<4.x(43x)(3x)(43x)2,(5分)當(dāng)且僅當(dāng)3x43x,即x時,“”成立當(dāng)x時,x(43x)的最大值為.(7分)(2)已知點(x,y)在直線x2y3上移動,x2y3.2x4y2224.(12分)當(dāng)且僅當(dāng)即x,y時,“”成立當(dāng)x,y時,2x4y的最小值為4.(14分)10解(1)y11.08.(6分)當(dāng)v,即v40千米/小時時,車流量最大,最大值為11.08千輛/小時(9分)(2)據(jù)題意有10,(11分)化簡得v289v1 6000,即(v25)(v64)0,所以25v64.所以汽車的平均速度應(yīng)控制在25,64這個范圍內(nèi)(14分)11解(1)每次購買原材料后,當(dāng)天用掉的400千克原材料不需要保管費,第二天用掉的400千克原材料需保管1天,第三天用掉的400千克原材料需保管2天,第四天用掉的400千克原材料需保管3天,第x天(也就是下次購買原材料的前一天)用掉最后的400千克原材料需保管(x1)天每次購買的原材料在x天內(nèi)總的保管費用y1400×0.03×123(x1)6x26x.(6分)(2)由(1)可知,購買一次原材料的總費用為6x26x6001.5×400x,購買一次原材料平均每天支付的總費用為y(6x26x600)1.5×4006x594.(9分)y2594714,(12分)當(dāng)且僅當(dāng)6x,即x10時,取等號該廠10天購買一次原材料可以使平均每天支付的總費用y最小,且最小為714元(14分)

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