2018年秋高中數學 第二章 數列 階段復習課 第2課 數列學案 新人教A版必修5.doc

第二課數列核心速填等差、等比數列的性質項目等差數列等比數列通項公式ana1(n1)dana1qn1anam(nm)danamqnm中項若三個數a，A，b成等差數列，這時A叫做a與b的等差中項，且A若三個數a，G，b成等比數列，這時G叫做a與b的等比中項，且G前n項和公式Snna1dq1時，Snq1時，Snna1性質下標性質m、n、p、qN*且mnpqamanapaqamanapaqSm，S2mSm，S3mS2m成等差數列成等比數列體系構建題型探究等差(比)數列的基本運算等比數列an中，已知a12，a416.(1)求數列an的通項公式；(2)若a3，a5分別為等差數列bn的第3項和第5項，試求數列bn的通項公式及前n項和Sn.解(1)設an的公比為q，由已知得162q3，解得q2，an22n12n.(2)由(1)得a38，a532，則b38，b532.設bn的公差為d，則有解得所以bn1612(n1)12n28.所以數列bn的前n項和Sn6n222n.規(guī)律方法在等差數列和等比數列的通項公式an與前n項和公式Sn中，共涉及五個量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)為基本量，“知三求二”是指將已知條件轉換成關于a1，d(q)，an，Sn，n的方程組，利用方程的思想求出需要的量，當然在求解中若能運用等差(比)數列的性質會更好，這樣可以化繁為簡，減少運算量，同時還要注意整體代入思想方法的運用.跟蹤訓練1已知等差數列an的公差d1，前n項和為Sn.(1)若1，a1，a3成等比數列，求a1；(2)若S5>a1a9，求a1的取值范圍.【導學號：91432240】解(1)因為數列an的公差d1，且1，a1，a3成等比數列，所以a1(a12)，即aa120，解得a11或a12.(2)因為數列an的公差d1，且S5>a1a9，所以5a110>a8a1，即a3a110<0，解得5<a1<2.求數列的通項公式(1)已知數列an的前n項和Sn32n，求an.(2)數列an的前n項和為Sn且a11，an1Sn，求an.思路探究：(1)已知Sn求an時，應分n1與n2討論；(2)在已知式中既有Sn又有an時，應轉化為Sn或an形式求解解(1)當n2時，anSnSn132n(32n1)2n1，當n1時，a1S15不適合上式an(2)Sn3an1， n2時，Sn13an. 得SnSn13an13an，3an14an，又a2S1a1.n2時，ann2，不適合n1.an 規(guī)律方法數列通項公式的求法（1）定義法，即直接利用等差數列或等比數列的定義求通項的方法叫定義法，這種方法適用于已知數列類型的題目.（2）已知Sn求an.若已知數列的前n項和Sn與an的關系，求數列an的通項an可用公式an求解.（3）)累加或累乘法,形如anan1f（n）（n2）的遞推式，可用累加法求通項公式；形如f（n）（n2）的遞推式，可用累乘法求通項公式. 跟蹤訓練2設數列an是首項為1的正項數列，且an1anan1an0(nN*)，求an的通項公式.【導學號：91432241】解an1anan1an0，1.又1，是首項為1，公差為1的等差數列故n.an.等差(比)數列的判定數列an的前n項和為Sn，a11，Sn14an2(nN*)(1)設bnan12an，求證：bn是等比數列(2)設cn，求證：cn是等差數列思路探究：分別利用等比數列與等差數列的定義進行證明證明(1)an2Sn2Sn14an124an24an14an.2.因為S2a1a24a12，所以a25.所以b1a22a13.所以數列bn是首項為3，公比為2的等比數列(2)由(1)知bn32n1an12an，所以3.所以cn1cn3，且c12，所以數列cn是等差數列，公差為3，首項為2.規(guī)律方法等差數列、等比數列的判斷方法（1）定義法：an1and（常數）an是等差數列；（q為常數，q0）an是等比數列.（2）中項公式法：2an1anan2an是等差數列；是等比數列.（3）通項公式法：anknb（k，b是常數）an是等差數列；ancqn（c，q為非零常數）an是等比數列.（4）前n項和公式法：SnAn2Bn（A，B為常數，nN*）an是等差數列；SnAqnA（A，q為常數，且A0，q0，q1，nN*）an是等比數列.特別提醒：前兩種方法是判定等差、等比數列的常用方法，而后兩種方法常用于選擇、填空題中的判定.若要判定一個數列不是等差(比)數列，則只需判定其任意的連續(xù)三項不成等差(比)即可.跟蹤訓練3(2018全國卷)已知數列an滿足a11，nan12(n1)an.設bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數列bn是否為等比數列，并說明理由；(3)求an的通項公式解(1)由條件可得an1an.將n1代入得，a24a1，而a11，所以，a24.將n2代入得，a33a2，所以，a312.從而b11，b22，b34.(2)bn是首項為1，公比為2的等比數列由條件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首項為1，公比為2的等比數列(3)由(2)可得2n1，所以ann2n1.數列求和探究問題1若數列cn是公差為d的等差數列，數列bn是公比為q(q1)的等比數列，且ancnbn，如何求數列an的前n項和？提示：數列an的前n項和等于數列cn和bn的前n項和的和2有些數列單獨看求和困難，但相鄰項結合后會變成熟悉的等差數列、等比數列求和試用此種方法求和：122232429921002.提示：122232429921002(1222)(3242)(9921002)(12)(12)(34)(34)(99100)(99100)(123499100)5 050.3我們知道，試用此公式求和：.提示：由得 11.已知數列an的前n項和Snkcnk(其中c、k為常數)，且a24，a68a3，(1)求an；(2)求數列nan的前n項和Tn.【導學號：91432242】思路探究：(1)已知Sn，據an與Sn的關系an確定an；(2)若an為等比數列，則nan是由等差數列和等比數列的對應項的積構成的新數列，則可用錯位相減法求和解(1)當n>1時，anSnSn1k(cncn1)，則a6k(c6c5)，a3k(c3c2)，c38，c2.a24，即k(c2c1)4，解得k2，an2n.當n1時，a1S12.綜上所述，an2n(nN*)(2)nann2n，則Tn2222323n2n，2Tn122223324(n1)2nn2n1，兩式作差得Tn222232nn2n1，Tn2(n1)2n1.母題探究：1.(變結論)例題中的條件不變，(2)中“求數列nan的前n項和Tn”變?yōu)椤扒髷盗衝an的前n項和Tn”解由題知Tn12222323n2n(123n)(2222n)2n12.2(變結論)例題中的條件不變，將(2)中“求數列nan的前n項和Tn”變?yōu)椤扒髷盗械那皀項和Tn”解由題Tn，Tn，得：Tn1n，Tn22.規(guī)律方法數列求和問題一般轉化為等差數列或等比數列的前n項和問題或已知公式的數列求和，不能轉化的再根據數列通項公式的特點選擇恰當的方法求解.,一般常見的求和方法有：(1)公式法：利用等差數列或等比數列前n項和公式；(2)分組求和法：把一個數列分成幾個可以直接求和的數列.(3)裂項(相消)法：有時把一個數列的通項公式分成兩項差的形式，相加過程消去中間項，只剩有限項再求和.(4)錯位相減法：適用于一個等差數列和一個等比數列對應項相乘構成 的數列求和.(5)倒序相加法：例如，等差數列前n項和公式的推導.