非平穩(wěn)時間序列[共76頁]

1 前述的前述的AR(p)、MA(q) 和和ARMA(p,q) 三個模型只適三個模型只適用于刻畫一個平穩(wěn)序列的自相關性。用于刻畫一個平穩(wěn)序列的自相關性。一個平穩(wěn)序列的數(shù)一個平穩(wěn)序列的數(shù)字特征，如均值、方差和協(xié)方差等是不隨時間的變化而字特征，如均值、方差和協(xié)方差等是不隨時間的變化而變化的，時間序列在各個時間點上的隨機性服從一定的變化的，時間序列在各個時間點上的隨機性服從一定的概率分布。概率分布。也就是說，對于一個平穩(wěn)的時間序列也就是說，對于一個平穩(wěn)的時間序列可以通可以通過過去時間點上的信息，建立模型擬合過去信息，進而過過去時間點上的信息，建立模型擬合過去信息，進而預測未來的信息。預測未來的信息。 2 然而，對于一個非平穩(wěn)時間序列而言，時間序列的然而，對于一個非平穩(wěn)時間序列而言，時間序列的某些數(shù)字特征是隨著時間的變化而變化的。某些數(shù)字特征是隨著時間的變化而變化的。 非平穩(wěn)時間序列在各個時間點上的隨機規(guī)律是不同非平穩(wěn)時間序列在各個時間點上的隨機規(guī)律是不同的，難以通過序列已知的信息去掌握時間序列整體上的的，難以通過序列已知的信息去掌握時間序列整體上的隨機性。但在實踐中遇到的經(jīng)濟和金融數(shù)據(jù)大多是非平隨機性。但在實踐中遇到的經(jīng)濟和金融數(shù)據(jù)大多是非平穩(wěn)的時間序列。穩(wěn)的時間序列。 34 描述類似圖描述類似圖5.9形式的非平穩(wěn)經(jīng)濟時間序列有兩種方形式的非平穩(wěn)經(jīng)濟時間序列有兩種方法，一種方法是包含一個確定性時間趨勢法，一種方法是包含一個確定性時間趨勢 (5.3.1) 其中其中 ut 是平穩(wěn)序列；是平穩(wěn)序列；a + t 是線性趨勢函數(shù)。這種過程是線性趨勢函數(shù)。這種過程也稱為也稱為的，因為如果從式的，因為如果從式(5.3.1)中減去中減去 a + t，結果是一個平穩(wěn)過程。注意到像圖結果是一個平穩(wěn)過程。注意到像圖5.9一類的經(jīng)濟時間序一類的經(jīng)濟時間序列常呈指數(shù)趨勢增長，但是指數(shù)趨勢取對數(shù)就可以轉換列常呈指數(shù)趨勢增長，但是指數(shù)趨勢取對數(shù)就可以轉換為線性趨勢為線性趨勢。 ttutay5 一般時間序列可能存在一個非線性函數(shù)形式的確定性一般時間序列可能存在一個非線性函數(shù)形式的確定性時間趨勢，例如可能存在多項式趨勢：時間趨勢，例如可能存在多項式趨勢： (5.3.2) t = 1, 2, , T 同樣可以除去這種確定性趨勢，然后分析和預測去勢同樣可以除去這種確定性趨勢，然后分析和預測去勢后的時間序列。對于中長期預測而言，能準確地給出確定后的時間序列。對于中長期預測而言，能準確地給出確定性時間趨勢的形式很重要。如果性時間趨勢的形式很重要。如果 yt 能夠通過去勢方法排除能夠通過去勢方法排除確定性趨勢，轉化為平穩(wěn)序列，稱為退勢平穩(wěn)過程。確定性趨勢，轉化為平穩(wěn)序列，稱為退勢平穩(wěn)過程。tnntutttay2216 非平穩(wěn)序列中有一類序列可以通過差分運算，得到具非平穩(wěn)序列中有一類序列可以通過差分運算，得到具有平穩(wěn)性的序列，考慮下式有平穩(wěn)性的序列，考慮下式 (5.3.3) 也可寫成也可寫成 (5.3.4)tttuyay1tttuayLy)1 ( 其中其中 a 是常數(shù)，是常數(shù)，ut 是平穩(wěn)序列，若是平穩(wěn)序列，若ut i.i.d. N (0, 2) ，且，且ut 是一個白噪聲序列。若令是一個白噪聲序列。若令a = 0， y0=0，則由式，則由式(5.3.2)生成生成的序列的序列 yt，有，有var(yt) = t 2（t = 1, 2, , T），顯然違背了時），顯然違背了時間序列平穩(wěn)性的假設。而式間序列平穩(wěn)性的假設。而式(5.3.3)的差分序列是含位移的差分序列是含位移 a 的的隨機游走，說明隨機游走，說明 yt 的差分序列的差分序列 yt是平穩(wěn)序列。是平穩(wěn)序列。 7 實際上，在實際上，在5.1節(jié)中討論的回歸方程的序列自相節(jié)中討論的回歸方程的序列自相關問題暗含著殘差序列是一個平穩(wěn)序列。這是因為，關問題暗含著殘差序列是一個平穩(wěn)序列。這是因為，如果殘差序列是一個非平穩(wěn)序列，則說明因變量除如果殘差序列是一個非平穩(wěn)序列，則說明因變量除了能被解釋變量解釋的部分以外，其余的部分變化了能被解釋變量解釋的部分以外，其余的部分變化仍然不規(guī)則，隨著時間的變化有越來越大的偏離因仍然不規(guī)則，隨著時間的變化有越來越大的偏離因變量均值的趨勢，這樣的模型是不能夠用來預測未變量均值的趨勢，這樣的模型是不能夠用來預測未來信息的。來信息的。8 ，這樣的一種回歸有可能擬合優(yōu)度、顯著性水平等指標都這樣的一種回歸有可能擬合優(yōu)度、顯著性水平等指標都很好，但是由于殘差序列是一個非平穩(wěn)序列，說明了這很好，但是由于殘差序列是一個非平穩(wěn)序列，說明了這種回歸關系不能夠真實的反映因變量和解釋變量之間存種回歸關系不能夠真實的反映因變量和解釋變量之間存在的均衡關系，而僅僅是一種數(shù)字上的巧合而已。偽回在的均衡關系，而僅僅是一種數(shù)字上的巧合而已。偽回歸的出現(xiàn)說明模型的設定出現(xiàn)了問題，有可能需要增加歸的出現(xiàn)說明模型的設定出現(xiàn)了問題，有可能需要增加解釋變量或者減少解釋變量，抑或是把原方程進行差分，解釋變量或者減少解釋變量，抑或是把原方程進行差分，以使殘差序列達到平穩(wěn)。以使殘差序列達到平穩(wěn)。 一個可行的辦法是先把一個非平穩(wěn)時間序列通過某一個可行的辦法是先把一個非平穩(wěn)時間序列通過某種變換化成一個平穩(wěn)序列，根據(jù)種變換化成一個平穩(wěn)序列，根據(jù)5.2節(jié)中的方法建模，并節(jié)中的方法建模，并利用變量之間的相關信息，描述經(jīng)濟時間序列的變化規(guī)利用變量之間的相關信息，描述經(jīng)濟時間序列的變化規(guī)律。律。 9 像前述像前述 yt 這種非平穩(wěn)序列，可以通過差分運算，得這種非平穩(wěn)序列，可以通過差分運算，得到平穩(wěn)性的序列稱為到平穩(wěn)性的序列稱為。定義如下：。定義如下： 如果序列如果序列 yt ，通過，通過 d 次差分成為一個平穩(wěn)序次差分成為一個平穩(wěn)序列，而這個序列差分列，而這個序列差分 d 1 次時卻不平穩(wěn)，那么稱序列次時卻不平穩(wěn)，那么稱序列 yt為為 d 階單整序列，記為階單整序列，記為 yt I(d)。特別地，如果序列。特別地，如果序列 yt本身是平穩(wěn)的，則為零階單整序列，記為本身是平穩(wěn)的，則為零階單整序列，記為 yt I(0)。 10 單整階數(shù)是使序列平穩(wěn)而差分的次數(shù)。對于上面單整階數(shù)是使序列平穩(wěn)而差分的次數(shù)。對于上面的隨機游走過程，有一個單位根，所以是的隨機游走過程，有一個單位根，所以是I(1)，同樣，同樣，平穩(wěn)序列是平穩(wěn)序列是I(0)。一般而言，表示存量的數(shù)據(jù)，如以不。一般而言，表示存量的數(shù)據(jù)，如以不變價格資產(chǎn)總值、儲蓄余額等存量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為變價格資產(chǎn)總值、儲蓄余額等存量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為2階階單整單整I(2) ；以不變價格表示的消費額、收入等流量數(shù)據(jù)；以不變價格表示的消費額、收入等流量數(shù)據(jù)經(jīng)常表現(xiàn)為經(jīng)常表現(xiàn)為1階單整階單整I(1) ；而像利率、收益率等變化率；而像利率、收益率等變化率的數(shù)據(jù)則經(jīng)常表現(xiàn)為的數(shù)據(jù)則經(jīng)常表現(xiàn)為0階單整階單整I(0) 。 11 檢查序列平穩(wěn)性的標準方法是單位根檢驗。有檢查序列平穩(wěn)性的標準方法是單位根檢驗。有6種單種單位根檢驗方法：位根檢驗方法：ADF檢驗、檢驗、DFGLS檢驗、檢驗、PP檢驗、檢驗、KPSS檢驗、檢驗、ERS檢驗和檢驗和NP檢驗，本節(jié)將介紹檢驗，本節(jié)將介紹DF檢驗、檢驗、ADF檢驗。檢驗。 ADF檢驗和檢驗和PP檢驗方法出現(xiàn)的比較早，在實際應用檢驗方法出現(xiàn)的比較早，在實際應用中較為常見，但是，由于這中較為常見，但是，由于這2種方法均需要對被檢驗序列種方法均需要對被檢驗序列作可能包含常數(shù)項和趨勢變量項的假設，因此，應用起作可能包含常數(shù)項和趨勢變量項的假設，因此，應用起來帶有一定的不便；其它幾種方法克服了前來帶有一定的不便；其它幾種方法克服了前2種方法帶來種方法帶來的不便，在剔除原序列趨勢的基礎上，構造統(tǒng)計量檢驗的不便，在剔除原序列趨勢的基礎上，構造統(tǒng)計量檢驗序列是否存在單位根，應用起來較為方便。序列是否存在單位根，應用起來較為方便。 12 其中其中 a 是常數(shù)，是常數(shù)， t 是線性趨勢函數(shù)，是線性趨勢函數(shù)，ut i.i.d. N (0, 2) 。tttuyy1tttuayy1tttutayy1(5.3.5)(5.3.6)(5.3.7) 為說明為說明DF檢驗的使用，先考慮檢驗的使用，先考慮3種形式的回歸模型種形式的回歸模型 13 (1) 如果如果 -1 1，則，則 yt 平穩(wěn)（或趨勢平穩(wěn)）。平穩(wěn)（或趨勢平穩(wěn)）。 (2) 如果如果 =1，yt 序列是非平穩(wěn)序列。序列是非平穩(wěn)序列。(5.3.4)式可寫成：式可寫成： 顯然顯然 yt 的差分序列是平穩(wěn)的。的差分序列是平穩(wěn)的。 (3) 如果如果 的絕對值大于的絕對值大于1，序列發(fā)散，且其差分序列，序列發(fā)散，且其差分序列是非平穩(wěn)的。是非平穩(wěn)的。ttttuyyy1tttuyy) 1(14 因此，判斷一個序列是否平穩(wěn)，可以通過檢驗因此，判斷一個序列是否平穩(wěn)，可以通過檢驗 是是否嚴格小于否嚴格小于1 1來實現(xiàn)。也就是說：來實現(xiàn)。也就是說： tttuyy1 tttuayy1 tttutayy1 (5.3.8)(5.3.9)(5.3.10) 從方程兩邊同時減去從方程兩邊同時減去 yt-1 得得， 其中其中： = -1。15 其中：其中： = = -1-1，所以原假設和備選假設可以改寫為，所以原假設和備選假設可以改寫為 可以通過最小二乘法得到可以通過最小二乘法得到 的估計值的估計值 ，并對其進行，并對其進行顯著性檢驗的方法，構造檢驗顯著性檢驗的方法，構造檢驗 顯著性的顯著性的 t 統(tǒng)計量。統(tǒng)計量。 但是，但是，Dickey-Fuller研究了這個研究了這個t 統(tǒng)計量在原假設下統(tǒng)計量在原假設下已經(jīng)不再服從已經(jīng)不再服從 t 分布，它依賴于分布，它依賴于 。 0:0:10HH16 Mackinnon進行了大規(guī)模的模擬，給出了不同回歸模進行了大規(guī)模的模擬，給出了不同回歸模型、不同樣本數(shù)以及不同顯著性水平下的臨界值。這樣，型、不同樣本數(shù)以及不同顯著性水平下的臨界值。這樣，就可以根據(jù)需要，選擇適當?shù)娘@著性水平，通過就可以根據(jù)需要，選擇適當?shù)娘@著性水平，通過 t 統(tǒng)計量統(tǒng)計量來決定能否拒絕原假設。這一檢驗被稱為來決定能否拒絕原假設。這一檢驗被稱為Dickey-Fuller檢檢驗驗(DF檢驗檢驗)。 上面描述的單位根檢驗只有當序列為上面描述的單位根檢驗只有當序列為AR(1)時才有效。時才有效。如果序列存在高階滯后相關，這就違背了擾動項是獨立同如果序列存在高階滯后相關，這就違背了擾動項是獨立同分布的假設。在這種情況下，可以使用增廣的分布的假設。在這種情況下，可以使用增廣的DF檢驗方檢驗方法（法（augmented Dickey-Fuller test ）來檢驗含有高階序列）來檢驗含有高階序列相關的序列的單位根。相關的序列的單位根。 17 考慮考慮 yt 存在存在p階序列相關，用階序列相關，用p階自回歸過程來修正，階自回歸過程來修正，在上式兩端減去在上式兩端減去 yt-1，通過添項和減項的方法，可得通過添項和減項的方法，可得其中其中 tptptttuyyyay2211tpiitittuyyay11111piipijji118 ADF檢驗方法通過在回歸方程右邊加入因變量檢驗方法通過在回歸方程右邊加入因變量 yt 的滯的滯后差分項來控制高階序列相關后差分項來控制高階序列相關 tpiitittuyyy11 tpiitittuyayy11 tpiitittuytayy11 (5.3.11)(5.3.12)(5.3.13)19 擴展定義將檢驗擴展定義將檢驗 (5.3.14) 序列序列 yt可能還包含常數(shù)項和時間趨勢項?？赡苓€包含常數(shù)項和時間趨勢項。判斷判斷 的估計值的估計值 是接受原假設或者接受備選假設，進而是接受原假設或者接受備選假設，進而判斷一個高階自相關序列判斷一個高階自相關序列AR(p) 過程是否存在單位根。過程是否存在單位根。 類似于類似于DF檢驗，檢驗，Mackinnon通過模擬也得出在不同回通過模擬也得出在不同回歸模型及不同樣本容量下檢驗歸模型及不同樣本容量下檢驗 不同顯著性水平的不同顯著性水平的 t 統(tǒng)計統(tǒng)計量的臨界值。這使我們能夠很方便的在設定的顯著性水平量的臨界值。這使我們能夠很方便的在設定的顯著性水平下判斷高階自相關序列是否存在單位根。下判斷高階自相關序列是否存在單位根。 0:0:10HH20 但是，在進行但是，在進行ADF檢驗時，必須注意以下兩個實際檢驗時，必須注意以下兩個實際問題：問題： 通常采用通常采用AIC準則來確定給定時間序列模型的滯后階數(shù)。在實際準則來確定給定時間序列模型的滯后階數(shù)。在實際應用中，還需要兼顧其他的因素，如系統(tǒng)的穩(wěn)定性、模應用中，還需要兼顧其他的因素，如系統(tǒng)的穩(wěn)定性、模型的擬合優(yōu)度等。型的擬合優(yōu)度等。 選擇哪種形選擇哪種形式很重要，因為檢驗顯著性水平的式很重要，因為檢驗顯著性水平的 t 統(tǒng)計量在原假設下統(tǒng)計量在原假設下的漸近分布依賴于關于這些項的定義。的漸近分布依賴于關于這些項的定義。 21 若原序列中不存在單位根，則檢驗回歸形式選擇若原序列中不存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數(shù)，意味著所檢驗的序列的均值不為含有常數(shù)，意味著所檢驗的序列的均值不為0；若原序列；若原序列中存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數(shù)，意味著所中存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數(shù)，意味著所檢驗的序列具有線性趨勢，一個簡單易行的辦法是畫出檢檢驗的序列具有線性趨勢，一個簡單易行的辦法是畫出檢驗序列的曲線圖，通過圖形觀察原序列是否在一個偏離驗序列的曲線圖，通過圖形觀察原序列是否在一個偏離 0 的位置隨機變動或具有一個線性趨勢，進而決定是否在檢的位置隨機變動或具有一個線性趨勢，進而決定是否在檢驗時添加常數(shù)項。驗時添加常數(shù)項。 若原序列中不存在單位根，則檢驗回歸形式選擇若原序列中不存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數(shù)和趨勢，意味著所檢驗的序列具有線性趨勢；若含有常數(shù)和趨勢，意味著所檢驗的序列具有線性趨勢；若原序列中存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數(shù)和趨原序列中存在單位根，則檢驗回歸形式選擇含有常數(shù)和趨勢，意味著所檢驗的序列具有二次趨勢。同樣，決定是否勢，意味著所檢驗的序列具有二次趨勢。同樣，決定是否在檢驗中添加時間趨勢項，也可以通過畫出原序列的曲線在檢驗中添加時間趨勢項，也可以通過畫出原序列的曲線圖來觀察。如果圖形中大致顯示了被檢驗序列的波動趨勢圖來觀察。如果圖形中大致顯示了被檢驗序列的波動趨勢呈非線性變化，那么便可以添加時間趨勢項。呈非線性變化，那么便可以添加時間趨勢項。 22 在經(jīng)驗研究中，盡管在經(jīng)驗研究中，盡管DF檢驗的檢驗的DF 統(tǒng)計量是應用最廣泛統(tǒng)計量是應用最廣泛的單位根檢驗，但是它的檢驗功效偏低，尤其是在小樣本的單位根檢驗，但是它的檢驗功效偏低，尤其是在小樣本條件下，數(shù)據(jù)的生成過程為高度自相關時，檢驗的功效非條件下，數(shù)據(jù)的生成過程為高度自相關時，檢驗的功效非常不理想。另外，常不理想。另外，DF檢驗和檢驗和ADF檢驗對于含有時間趨勢的檢驗對于含有時間趨勢的退勢平穩(wěn)序列的檢驗是失效的。因此，為了改進退勢平穩(wěn)序列的檢驗是失效的。因此，為了改進DF和和ADF檢驗的效能，檢驗的效能，Elliott，Rothenberg和和Stock (1996) 基于基于GLS方法的退勢方法的退勢DF檢驗，簡稱為檢驗，簡稱為DFGLS檢驗，其基本原理如下：檢驗，其基本原理如下： 23 首先定義序列首先定義序列 yt 的擬差分序列如下：的擬差分序列如下： t = 1, 2, , T 并且構造如下回歸方程：并且構造如下回歸方程： t = 1, 2, , T (5.3.14)其中其中xt =(1) 表示表示 yt 中只含有截距項，或中只含有截距項，或 xt = (1,t) 表示表示 yt 中含有中含有截距項和趨勢項。令表示方程截距項和趨勢項。令表示方程(5.3.14)參數(shù)的最小二乘估計量，參數(shù)的最小二乘估計量，在實際計算中通常如下定義參數(shù)在實際計算中通常如下定義參數(shù) a： 11)|(1tifayytifyaydtttttttuaadayd)()|()|(x, 1/5 .1311/71tifTifTattxx24 利用方程利用方程(5.3.14)的估計參數(shù)定義退勢后的序列的估計參數(shù)定義退勢后的序列ytd為為 t = 1, 2, , T 然后，對退勢后的序列然后，對退勢后的序列ytd，應用，應用ADF檢驗，即為檢驗，即為DFGLS檢驗。檢驗過程如下：檢驗。檢驗過程如下： t = 1, 2, , T 原假設和備選假設同原假設和備選假設同ADF檢驗一致，為檢驗一致，為 Elliott，Rothenberg和和Stock (1996)給出了不同置信水給出了不同置信水平下的臨界值，平下的臨界值，DFGLS檢驗同一般的檢驗同一般的ADF檢驗一樣是左側檢驗一樣是左側單邊檢驗。單邊檢驗。)(ayyttdtxtpiditidtdtuyyy111 0:0:10HH25 雙擊序列名，打開序列窗口，選擇雙擊序列名，打開序列窗口，選擇View/unit Root Test，得到下圖得到下圖： 26 進行單位根檢驗必須定義進行單位根檢驗必須定義4項：項： 在在Test type的下拉列表中，選擇檢驗方法。的下拉列表中，選擇檢驗方法。EViews5提供提供了了6種單位根檢驗的方法：種單位根檢驗的方法： Augmented Dickey-Fuller(ADF) Test Dickey-Fuller GLS Test Phillips-Perron(PP) Test Kwiatkowski , Phillips , Schmidt and Shin (KPSS) Test Elliot , Rothenberg , and Stock Point Optimal (ERS) Test Ng and Perron (NP) Test27 在在Test for unit root in中確定序列在中確定序列在下進行單位根檢驗?？梢允褂眠@個選項決下進行單位根檢驗?？梢允褂眠@個選項決定序列中單位根的個數(shù)。如果檢驗水平值未拒絕，而在定序列中單位根的個數(shù)。如果檢驗水平值未拒絕，而在一階差分拒絕原假設，序列中含有一個單位根，是一階一階差分拒絕原假設，序列中含有一個單位根，是一階單整單整I(1)；如果一階差分后的序列仍然未拒絕原假設，；如果一階差分后的序列仍然未拒絕原假設，則需要選擇則需要選擇2階差分。一般而言，一個序列經(jīng)過兩次差分階差分。一般而言，一個序列經(jīng)過兩次差分以后都可以變?yōu)橐粋€平穩(wěn)序列，也就是二階單整以后都可以變?yōu)橐粋€平穩(wěn)序列，也就是二階單整I(2)。 28 在在Include in test equation中定義在檢驗回歸中是否中定義在檢驗回歸中是否。這一選。這一選擇很重要，因為檢驗統(tǒng)計量在原假設下的分布隨這擇很重要，因為檢驗統(tǒng)計量在原假設下的分布隨這3種種情況不同而變化。在什么情況下包含常數(shù)項或者趨勢項，情況不同而變化。在什么情況下包含常數(shù)項或者趨勢項，剛才已經(jīng)作了介紹。剛才已經(jīng)作了介紹。29 在在Lag lenth這個選項中可以選擇一些確定消除序列這個選項中可以選擇一些確定消除序列相關所需的相關所需的的準則。一般而言，的準則。一般而言，EViews默認默認SIC準則。準則。 定義上述選項后，單擊定義上述選項后，單擊OK進行檢驗。進行檢驗。EViews顯示顯示檢驗統(tǒng)計量和估計檢驗回歸。檢驗統(tǒng)計量和估計檢驗回歸。 單位根檢驗后，應檢查單位根檢驗后，應檢查EViews顯示的估計檢驗回歸，顯示的估計檢驗回歸，尤其是如果對滯后算子結構或序列自相關階數(shù)不確定，尤其是如果對滯后算子結構或序列自相關階數(shù)不確定，可以選擇不同的右邊變量或滯后階數(shù)來重新檢驗?？梢赃x擇不同的右邊變量或滯后階數(shù)來重新檢驗。 3031 例例5.7用用AR(1) 模型模擬模型模擬1983年年1月月2007年年8月月居民消費價格指數(shù)一階差分居民消費價格指數(shù)一階差分 CPI的變化規(guī)律。在用的變化規(guī)律。在用ADF進行單位根檢驗前，需要設定序列的是否含有進行單位根檢驗前，需要設定序列的是否含有常數(shù)項或者時間趨勢項。我們可以通過畫出原序列常數(shù)項或者時間趨勢項。我們可以通過畫出原序列的圖形來判斷是否要加入常數(shù)項或者時間趨勢項。的圖形來判斷是否要加入常數(shù)項或者時間趨勢項。從圖從圖5.7的的CPI圖形可以看出不含有線性趨勢項。圖形可以看出不含有線性趨勢項。CPI序列的序列的ADF檢驗結果檢驗結果(選擇既無常數(shù)項也無趨勢項選擇既無常數(shù)項也無趨勢項)如如下：下：321983年年1月月2007年年8月的月的CPI序列單位序列單位根根ADF檢驗結果?？蓹z驗結果?？梢钥闯霾荒芫芙^原假以看出不能拒絕原假設，存在單位根。設，存在單位根。33 1983年年1月月2007年年8月的月的CPI序列單序列單位根位根DF-GLS檢驗結檢驗結果。采用含有常數(shù)和果。采用含有常數(shù)和趨勢項的形式。不能趨勢項的形式。不能拒絕原假設，拒絕原假設， CPI序序列存在單位根。列存在單位根。34 檢驗結果顯示，檢驗結果顯示，CPI序列序列接受原假設，因此，接受原假設，因此，CPI序列序列是一個非平穩(wěn)的序列。接著再對一階差分是一個非平穩(wěn)的序列。接著再對一階差分 CPI序列序列進行單進行單位根檢驗，位根檢驗，ADF檢驗結果如下：檢驗結果如下： 檢驗結果顯示，一階差分檢驗結果顯示，一階差分 CPI序列序列拒絕原假設，接拒絕原假設，接受受 CPI序列是平穩(wěn)序列的結論。因此序列是平穩(wěn)序列的結論。因此，CPI序列是序列是1階單整階單整序列，即序列，即CPII(1)。 35 在圖在圖5.9中，我們可以觀察到中，我們可以觀察到1978年年2006年我國年我國GDP（現(xiàn)價，生產(chǎn)法）具有明顯的上升趨勢。在（現(xiàn)價，生產(chǎn)法）具有明顯的上升趨勢。在ADF檢驗時選擇含檢驗時選擇含有常數(shù)項和時間趨勢項，由有常數(shù)項和時間趨勢項，由SIC準則確定滯后階數(shù)（準則確定滯后階數(shù)（p=4）。）。GDP序列的序列的ADF檢驗如下檢驗如下 ： 檢驗結果顯示，檢驗結果顯示，GDP序列序列以較大的以較大的P值，即值，即100%的概率接的概率接受原假設，即存在單位根的結論。受原假設，即存在單位根的結論。36 將將GDP序列做序列做1階差分，然后對階差分，然后對GDP進行進行ADF檢驗檢驗（選擇含有常數(shù)項和時間趨勢項，由（選擇含有常數(shù)項和時間趨勢項，由SIC準則確定滯后階準則確定滯后階數(shù)（數(shù)（p=6）如下）如下 ： 檢驗結果顯示，檢驗結果顯示，GDP序列仍序列仍接受存在單位根的結論。接受存在單位根的結論。其他檢驗方法的結果也接受原假設，其他檢驗方法的結果也接受原假設，GDP序列存在序列存在單位單位根，是非平穩(wěn)的。根，是非平穩(wěn)的。 37 再對再對GDP序列做差分，則序列做差分，則2GDP的的ADF檢驗（選擇檢驗（選擇不含常數(shù)項和趨勢項不含常數(shù)項和趨勢項, 由由SIC準則確定滯后階數(shù)（準則確定滯后階數(shù)（p=6）如）如下：下： 檢驗結果顯示，二階差分檢驗結果顯示，二階差分序列序列2GDP在在1%的顯著性的顯著性水平下拒絕原假設，接受不存在單位根的結論，因此可以確水平下拒絕原假設，接受不存在單位根的結論，因此可以確定定GDP序列是序列是2階單整序列，即階單整序列，即GDP I (2)。 38 我們已經(jīng)介紹了對于單整序列能夠通過我們已經(jīng)介紹了對于單整序列能夠通過 d 次差分將非平穩(wěn)次差分將非平穩(wěn)序列轉化為平穩(wěn)序列。設序列轉化為平穩(wěn)序列。設 yt 是是 d 階單整序列，即階單整序列，即 yt I(d)，則，則 tdtdtyLyw)1 ( (5.3.40) wt 為平穩(wěn)序列，即為平穩(wěn)序列，即 wt I(0) ，于是可以對，于是可以對 wt 建立建立ARMA(p,q) 模型模型 qtqttptpttwwcw1111(5.3.41)39 用滯后算子表示，則用滯后算子表示，則 其中其中 ttLcwL)()(5.3.42)ppLLLL2211)(qqLLLL2211)( 經(jīng) 過經(jīng) 過 d 階 差 分 變 換 后 的階 差 分 變 換 后 的 A R M A ( p , q ) 模 型 稱 為模 型 稱 為ARIMA(p,d,q) 模型模型(autoregressive integrated moving average models)，式（，式（5.3.42）等價于下式）等價于下式ttdLcyLL)()1 ( )(5.3.43)40 估計估計ARIMA(p,d,q)模型同估計模型同估計ARMA(p,q)具體的步具體的步驟相同，惟一不同的是在估計之前要確定原序列的差分驟相同，惟一不同的是在估計之前要確定原序列的差分階數(shù)階數(shù)d，對，對 yt 進行進行 d 階差分。階差分。 因此，因此，ARIMA(p,d,q) 模型區(qū)別于模型區(qū)別于ARMA(p,q) 之處之處就在于前者的自回歸部分的特征多項式含有就在于前者的自回歸部分的特征多項式含有d個單位根。個單位根。因此，對一個序列建模之前，我們應當首先確定該序列因此，對一個序列建模之前，我們應當首先確定該序列是否具有非平穩(wěn)性，這就首先需要對序列的平穩(wěn)性進行是否具有非平穩(wěn)性，這就首先需要對序列的平穩(wěn)性進行檢驗，特別是要檢驗其是否含有單位根及所含有的單位檢驗，特別是要檢驗其是否含有單位根及所含有的單位根的個數(shù)。根的個數(shù)。 41 Box-Jenkins提出了具有廣泛影響的建模思想，能提出了具有廣泛影響的建模思想，能夠對實際建模起到指導作用。夠對實際建模起到指導作用。 Box-Jenkins的建模思想的建模思想可分為如下可分為如下4個步驟：個步驟： （1）對原序列進行平穩(wěn)性檢驗，如果序列不滿足平）對原序列進行平穩(wěn)性檢驗，如果序列不滿足平穩(wěn)性條件，可以通過差分變換（單整階數(shù)為穩(wěn)性條件，可以通過差分變換（單整階數(shù)為d，則進行，則進行d階差分）或者其他變換，如對數(shù)差分變換使序列滿足平階差分）或者其他變換，如對數(shù)差分變換使序列滿足平穩(wěn)性條件；穩(wěn)性條件； （2）通過計算能夠描述序列特征的一些統(tǒng)計量（如）通過計算能夠描述序列特征的一些統(tǒng)計量（如自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)），來確定自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)），來確定ARMA模型的模型的階數(shù)階數(shù) p 和和 q，并在初始估計中選擇盡可能少的參數(shù)；，并在初始估計中選擇盡可能少的參數(shù)；42 （3）估計模型的未知參數(shù)，并檢驗參數(shù)的顯著性，）估計模型的未知參數(shù)，并檢驗參數(shù)的顯著性，以及模型本身的合理性；以及模型本身的合理性； （4）進行診斷分析，以證實所得模型確實與所觀察）進行診斷分析，以證實所得模型確實與所觀察到的數(shù)據(jù)特征相符。到的數(shù)據(jù)特征相符。 對于對于Box-Jenkins建模思想的第建模思想的第3、4步，需要一些統(tǒng)步，需要一些統(tǒng)計量和檢驗來分析在第計量和檢驗來分析在第2步中的模型形式選擇得是否合步中的模型形式選擇得是否合適，所需要的統(tǒng)計量和檢驗如下：適，所需要的統(tǒng)計量和檢驗如下： （1）檢驗模型參數(shù)顯著性水平的）檢驗模型參數(shù)顯著性水平的（2）為保證）為保證ARIMA(p,d,q) 模型的平穩(wěn)性，模型的平穩(wěn)性，（3）模型的）模型的，可用，可用5.1節(jié)中的檢驗序列相關的方法檢驗。節(jié)中的檢驗序列相關的方法檢驗。43 可以直接在估計定義式中包含差分算子可以直接在估計定義式中包含差分算子D。例如：。例如：GDPI(2)，對，對GDP估計估計ARIMA(1,2,1)模型，可以輸入列模型，可以輸入列表：表： D(GDP, 2) c ar(1) ma(1) 使用因變量差分因子使用因變量差分因子D(GDP)定義模型，定義模型， EViews將提將提供水平變量供水平變量GDP的預測值。的預測值。44 例例5.8用用ADF單位根檢驗得到結論：單位根檢驗得到結論：GDP序列是序列是2階單整階單整序列，即序列，即GDP I (2)。但是檢驗得到。但是檢驗得到GDP的對數(shù)序列的對數(shù)序列l(wèi)n(GDP)是是1階單整序列，所以本例建立階單整序列，所以本例建立ln(GDP)序列的序列的ARIMA模型。首先觀察模型。首先觀察ln(GDP)序列的相關圖（圖序列的相關圖（圖5.10）。）。 45 ln(GDP)序列的自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)都在序列的自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)都在1階階截尾，則取截尾，則取模型的階數(shù)模型的階數(shù) p =1 和和q =1，建立，建立ARIMA(1,1,1) 模型模型(時間期間：時間期間：19782004年，年，2005和和2006年實際數(shù)據(jù)年實際數(shù)據(jù)不參加建模，留作檢驗）：不參加建模，留作檢驗）： 46 ln(GDPt) = 0.9ln(GDPt-1) + + 0.76 t = (8.98) (5.49) R2 = 0.54 D.W= 2.2 t1t 從圖從圖5.11的相關圖中可以看出模型的殘差不存在序列的相關圖中可以看出模型的殘差不存在序列相關，并且模型的各項統(tǒng)計量也很好。相關，并且模型的各項統(tǒng)計量也很好。47 圖圖5.12是這個模型的擬合和預測（靜態(tài)）的結果，其中是這個模型的擬合和預測（靜態(tài)）的結果，其中2005年和年和2006年為預測結果。年為預測結果。 48 在前面介紹的在前面介紹的ARMA模型中要求經(jīng)濟時間序列模型中要求經(jīng)濟時間序列是平穩(wěn)的，但是由于實際應用中大多數(shù)時間序列是非是平穩(wěn)的，但是由于實際應用中大多數(shù)時間序列是非平穩(wěn)的，通常采用差分方法消除序列中含有的非平穩(wěn)平穩(wěn)的，通常采用差分方法消除序列中含有的非平穩(wěn)趨勢，使得序列平穩(wěn)化后建立模型，這就是上節(jié)介紹趨勢，使得序列平穩(wěn)化后建立模型，這就是上節(jié)介紹的的ARIMA模型。但是變換后的序列限制了所討論經(jīng)模型。但是變換后的序列限制了所討論經(jīng)濟問題的范圍，并且有時變換后的序列由于不具有直濟問題的范圍，并且有時變換后的序列由于不具有直接的經(jīng)濟意義，使得化為平穩(wěn)序列后所建立的時間序接的經(jīng)濟意義，使得化為平穩(wěn)序列后所建立的時間序列模型不便于解釋。列模型不便于解釋。 49 1987年年Engle和和Granger提出的協(xié)整理論及其方法，提出的協(xié)整理論及其方法，為非平穩(wěn)序列的建模提供了另一種途徑。雖然一些經(jīng)為非平穩(wěn)序列的建模提供了另一種途徑。雖然一些經(jīng)濟變量的本身是非平穩(wěn)序列，但是，它們的線性組合濟變量的本身是非平穩(wěn)序列，但是，它們的線性組合卻有可能是平穩(wěn)序列。卻有可能是平穩(wěn)序列。 例如，消費和收入都是非平穩(wěn)時間序列，但是具例如，消費和收入都是非平穩(wěn)時間序列，但是具有協(xié)整關系。假如它們不具有，那么長期消費就可能有協(xié)整關系。假如它們不具有，那么長期消費就可能比收入高或低，于是消費者便會非理性地消費或累積比收入高或低，于是消費者便會非理性地消費或累積儲蓄。儲蓄。50 假定一些經(jīng)濟指標被某經(jīng)濟系統(tǒng)聯(lián)系在一起，那么假定一些經(jīng)濟指標被某經(jīng)濟系統(tǒng)聯(lián)系在一起，那么從長遠看來這些變量應該具有均衡關系，這是建立和檢從長遠看來這些變量應該具有均衡關系，這是建立和檢驗模型的基本出發(fā)點。在短期內，因為季節(jié)影響或隨機驗模型的基本出發(fā)點。在短期內，因為季節(jié)影響或隨機干擾，這些變量有可能偏離均值。如果這種偏離是暫時干擾，這些變量有可能偏離均值。如果這種偏離是暫時的，那么隨著時間推移將會回到均衡狀態(tài)；如果這種偏的，那么隨著時間推移將會回到均衡狀態(tài)；如果這種偏離是持久的，就不能說這些變量之間存在均衡關系。協(xié)離是持久的，就不能說這些變量之間存在均衡關系。協(xié)整整(co-integration)可被看作這種均衡關系性質的統(tǒng)計表示?？杀豢醋鬟@種均衡關系性質的統(tǒng)計表示。 協(xié)整概念是一個強有力的概念。因為協(xié)整允許我們協(xié)整概念是一個強有力的概念。因為協(xié)整允許我們刻畫兩個或多個序列之間的平衡或平穩(wěn)關系。對于每一刻畫兩個或多個序列之間的平衡或平穩(wěn)關系。對于每一個序列單獨來說可能是非平穩(wěn)的，這些序列的矩，如均個序列單獨來說可能是非平穩(wěn)的，這些序列的矩，如均值、方差或協(xié)方差隨時間而變化，而這些時間序列的線值、方差或協(xié)方差隨時間而變化，而這些時間序列的線性組合序列卻可能有不隨時間變化的性質。性組合序列卻可能有不隨時間變化的性質。 51 下面給出協(xié)整的定義：下面給出協(xié)整的定義： k 維向量維向量 Y = (y1，y2，yk) 的分量間被稱為的分量間被稱為d,b階協(xié)整，階協(xié)整，記為記為Y CI (d，b)，如果滿足：，如果滿足： (1) y1，y2，yk都是都是 d 階單整的，即階單整的，即 yi I(d)，i=1,2,k ，要求要求 Y 的每個分量的每個分量 yi I (d)； (2) 存在非零向量存在非零向量 = ( 1, 2 , , k )，使得，使得 YI (d-b)，0bd 。 簡稱簡稱 Y 是協(xié)整的，向量是協(xié)整的，向量 又稱為協(xié)整向量。又稱為協(xié)整向量。 52 (1) 作為對非平穩(wěn)變量之間關系的描述，協(xié)整向量是作為對非平穩(wěn)變量之間關系的描述，協(xié)整向量是不惟一的；不惟一的； (2) 協(xié)整變量必須具有相同的單整階數(shù)；協(xié)整變量必須具有相同的單整階數(shù)； (3) 最多可能存在最多可能存在 k-1個線性無關的協(xié)整向量個線性無關的協(xié)整向量 ( Y 的維的維數(shù)是數(shù)是 k )； (4) 協(xié)整變量之間具有共同的趨勢成分，在數(shù)量上成協(xié)整變量之間具有共同的趨勢成分，在數(shù)量上成比例比例 。53 協(xié)整檢驗從檢驗的對象上可以分為兩種：一種是協(xié)整檢驗從檢驗的對象上可以分為兩種：一種是基于回歸系數(shù)的協(xié)整檢驗，如基于回歸系數(shù)的協(xié)整檢驗，如Johansen協(xié)整檢驗；另協(xié)整檢驗；另一種是基于回歸殘差的協(xié)整檢驗，如一種是基于回歸殘差的協(xié)整檢驗，如CRDW檢驗、檢驗、DF檢驗和檢驗和ADF檢驗。檢驗。 本節(jié)將主要介紹本節(jié)將主要介紹Engle和和Granger（1987）提出的）提出的協(xié)整檢驗方法。協(xié)整檢驗方法。從協(xié)整理論的思想來看，自變量和因從協(xié)整理論的思想來看，自變量和因變量之間存在協(xié)整關系。變量之間存在協(xié)整關系。 54 也就是說，因變量能被自變量的線性組合所解也就是說，因變量能被自變量的線性組合所解釋，兩者之間存在穩(wěn)定的均衡關系，因變量不能被釋，兩者之間存在穩(wěn)定的均衡關系，因變量不能被自變量所解釋的部分構成一個殘差序列，這個殘差自變量所解釋的部分構成一個殘差序列，這個殘差序列應該是平穩(wěn)的。序列應該是平穩(wěn)的。 因此，檢驗一組變量（因變量和解釋變量）之間因此，檢驗一組變量（因變量和解釋變量）之間是否存在協(xié)整關系等價于檢驗回歸方程的殘差序列是是否存在協(xié)整關系等價于檢驗回歸方程的殘差序列是否是一個平穩(wěn)序列。通常地，可以應用上節(jié)中的否是一個平穩(wěn)序列。通常地，可以應用上節(jié)中的ADF檢驗來判斷殘差序列的平穩(wěn)性，進而判斷因變量和解檢驗來判斷殘差序列的平穩(wěn)性，進而判斷因變量和解釋變量之間的協(xié)整關系是否存在。釋變量之間的協(xié)整關系是否存在。 55 （1）若）若k個序列個序列y1t 和和y2t，y3t，ykt都是都是1階單階單整序列，建立回歸方程整序列，建立回歸方程 模型估計的殘差為模型估計的殘差為 tktktttuyyyy33221ktkttttyyyyu3322156 （2）檢驗殘差序列）檢驗殘差序列t是否平穩(wěn)，也就是判斷序列是否平穩(wěn)，也就是判斷序列t是否含有單位根。通常用是否含有單位根。通常用ADF檢驗來判斷殘差序列檢驗來判斷殘差序列t是否是平穩(wěn)的。是否是平穩(wěn)的。 （3）如果殘差序列）如果殘差序列t是平穩(wěn)的，則可以確定回歸是平穩(wěn)的，則可以確定回歸方程中的方程中的k個變量（個變量（y1t，y2t，y3t，ykt）之間存在協(xié)）之間存在協(xié)整關系，并且協(xié)整向量為整關系，并且協(xié)整向量為 ；否則；否則（y1t，y2t，y3t，ykt）之間不存在協(xié)整關系。）之間不存在協(xié)整關系。 ), 1 (32k57 協(xié)整檢驗的目的是決定一組非平穩(wěn)序列的線性組合協(xié)整檢驗的目的是決定一組非平穩(wěn)序列的線性組合是否具有協(xié)整關系，也可以通過協(xié)整檢驗來判斷線性回是否具有協(xié)整關系，也可以通過協(xié)整檢驗來判斷線性回歸方程設定是否合理、穩(wěn)定，這兩者的檢驗思想和過程歸方程設定是否合理、穩(wěn)定，這兩者的檢驗思想和過程是完全相同的。是完全相同的。 利用利用ADF的協(xié)整檢驗方法來判斷殘差序列是否平穩(wěn)，的協(xié)整檢驗方法來判斷殘差序列是否平穩(wěn)，如果殘差序列是平穩(wěn)的，則回歸方程的設定是合理的，如果殘差序列是平穩(wěn)的，則回歸方程的設定是合理的，說明回歸方程的因變量和解釋變量之間存在穩(wěn)定的均衡說明回歸方程的因變量和解釋變量之間存在穩(wěn)定的均衡關系。反之，說明回歸方程的因變量和解釋變量之間不關系。反之，說明回歸方程的因變量和解釋變量之間不存在穩(wěn)定均衡的關系，即便參數(shù)估計的結果很理想，這存在穩(wěn)定均衡的關系，即便參數(shù)估計的結果很理想，這樣的一個回歸也是沒有意義的，模型本身的設定出現(xiàn)了樣的一個回歸也是沒有意義的，模型本身的設定出現(xiàn)了問題，這樣的回歸是一個問題，這樣的回歸是一個。58為了描述財政支出和財政收入之間是否存在協(xié)整關系，為了描述財政支出和財政收入之間是否存在協(xié)整關系，本例選擇本例選擇1990年年1月月2007年年12月的月度數(shù)據(jù)進行實證分月的月度數(shù)據(jù)進行實證分析，其中用析，其中用f_ext表示財政支出，表示財政支出，f_int表示財政收入。首先表示財政收入。首先利用利用X-12季節(jié)調整方法對這季節(jié)調整方法對這2個指標進行季節(jié)調整，去掉個指標進行季節(jié)調整，去掉季節(jié)因素，然后取對數(shù)，發(fā)現(xiàn)取對數(shù)后呈線性變化。單季節(jié)因素，然后取對數(shù)，發(fā)現(xiàn)取對數(shù)后呈線性變化。單位根檢驗發(fā)現(xiàn)序列位根檢驗發(fā)現(xiàn)序列l(wèi)n(f_ext)和和ln(f_int)是非平穩(wěn)的，一階差是非平穩(wěn)的，一階差分以后是平穩(wěn)，即分以后是平穩(wěn)，即 ln(f_ext)和和ln(f_int)均是均是I(1)序列。序列。5960 第一步，建立如下回歸方程：第一步，建立如下回歸方程： 估計后得到估計后得到 t = (760.92) R2 = =0.976 D.W. =1.37 tttuinfexf)_ln()_ln(tttuinfexf)_ln(01. 1)_ln(61 第二步，對上式的殘差進行單位根檢驗，由回歸方第二步，對上式的殘差進行單位根檢驗，由回歸方程估計結果可得程估計結果可得 對對t進行單位根檢驗，選擇無截距項、也無趨勢項進行單位根檢驗，選擇無截距項、也無趨勢項的檢驗模型，由的檢驗模型，由SIC信息準則確定滯后階數(shù)為信息準則確定滯后階數(shù)為2，其結果，其結果如下：如下：)_ln(01. 1)_ln(tttinfexfu62 檢驗結果顯示，殘差檢驗結果顯示，殘差序列序列t 在在1%的顯著性水平下的顯著性水平下拒絕原假設，因此可以確定拒絕原假設，因此可以確定t為平穩(wěn)序列，即為平穩(wěn)序列，即tI(0)。上述結果表明：上述結果表明：1990年年1月月2007年年12月期間月期間 ln(f_ext) 和和 ln(f_int) 之間存在協(xié)整關系，即是之間存在協(xié)整關系，即是CI(1, 1)的，協(xié)整的，協(xié)整向量為向量為(1， 1.01)。 63 誤差修正這個術語最早是由誤差修正這個術語最早是由Sargen(1964)提出的，提出的，但是誤差修正模型基本形式的形成是在但是誤差修正模型基本形式的形成是在1978年由年由Davidson、Hendry等提出的。傳統(tǒng)的經(jīng)濟模型通常表述等提出的。傳統(tǒng)的經(jīng)濟模型通常表述的是變量之間的一種的是變量之間的一種“長期均衡長期均衡”關系，而實際經(jīng)濟數(shù)關系，而實際經(jīng)濟數(shù)據(jù)卻是由據(jù)卻是由“非均衡過程非均衡過程”生成的。因此，建模時需要用生成的。因此，建模時需要用數(shù)據(jù)的動態(tài)非均衡過程來逼近經(jīng)濟理論的長期均衡過程。數(shù)據(jù)的動態(tài)非均衡過程來逼近經(jīng)濟理論的長期均衡過程。最一般的模型是自回歸分布滯后模型最一般的模型是自回歸分布滯后模型(autoregressive distributed lag， ADL)。64 如果一個內生變量如果一個內生變量 yt 只被表示成同一時點的外生只被表示成同一時點的外生變量變量 xt 的函數(shù)，的函數(shù)，xt 對對 yt 的長期影響很容易求出。然而的長期影響很容易求出。然而如果每個變量的滯后也出現(xiàn)在模型之中，其長期影響如果每個變量的滯后也出現(xiàn)在模型之中，其長期影響將通過分布滯后的函數(shù)反映，這就是將通過分布滯后的函數(shù)反映，這就是ADL模型。模型。 先考慮一階自回歸分布滯后模型，記為先考慮一階自回歸分布滯后模型，記為ADL(1,1) (5.4.3) tttttuxxyy13211065 其中：其中：ut i.i.d. (0, 2)，記，記 y* = E(yt)，x* = E(xt) ，由于由于E(ut) = 0，在式，在式(5.4.3)兩邊取期望得兩邊取期望得 進而有進而有 xxyy3210(5.4.4)xxy1321013201)(11)(5.4.5)66 記記 ，則式，則式(5.4.5)可寫為可寫為xkky10(5.4.6) 其中：其中：k1 度量了度量了 yt 與與 xt 的長期均衡關系，也是的長期均衡關系，也是 yt 關于關于 xt 的長期乘數(shù)。的長期乘數(shù)。 67 在式在式(5.4.3)兩端減去兩端減去 yt-1，在右邊加減，在右邊加減 2xt-1 得到得到 ： (5.4.7) 利用利用 2+ 3 = k1(1 - 1)， 0 = k0(1 - 1)，式，式(5.4.7)又可改寫成又可改寫成 (5.4.8) 令令 = 1-1，則式，則式(5.4.8) 可寫成可寫成 tttttuxxyy1322110)() 1(tttttuxxkkyy2110111)(68tttttuxxkkyy21101)( 上式稱為誤差修正模型上式稱為誤差修正模型 (error correction model，簡記簡記ECM)。當長期平衡關系是。當長期平衡關系是 y* = k0 + k1x* 時，誤時，誤差修正項是如差修正項是如 (yt - k0- k1xt) 的形式，它反映了的形式，它反映了 yt 關于關于 xt 在第在第 t 時點的短期偏離。一般地，由于式時點的短期偏離。一般地，由于式(5.4.3)中中 | 1|1 ，所以誤差項的系數(shù)，所以誤差項的系數(shù) = ( 1-1) 0，通常稱，通常稱為為，表示在，表示在 t-1 期期 yt-1 關于關于 k0 + k1xt-1 之間的之間的偏差調整的速度。偏差調整的速度。 (5.4.9)69 式式(5.4.3)和式（和式（5.4.9）包含相同的關系，它們是等）包含相同的關系，它們是等價的，根據(jù)不同的需要使用這兩種模型來分析、研究經(jīng)價的，根據(jù)不同的需要使用這兩種模型來分析、研究經(jīng)濟現(xiàn)象或經(jīng)濟系統(tǒng)，但每個方程都有不同的解釋與含義。濟現(xiàn)象或經(jīng)濟系統(tǒng)，但每個方程都有不同的解釋與含義。 原始模型式原始模型式(5.4.3)的右端除解釋變量的右端除解釋變量 xt 外還含有外還含有 yt 與與 xt 的滯后項，的滯后項，yt 與與 xt 之間有長期均衡關系，對經(jīng)濟之間有長期均衡關系，對經(jīng)濟數(shù)據(jù)而言，數(shù)據(jù)而言，xt 與與 xt-1 也高度相關，因此這三個解釋變量也高度相關，因此這三個解釋變量之間存在著較強的多重共線性。由于之間存在著較強的多重共線性。由于 yt 的滯后項作為解的滯后項作為解釋變量，也增強了模型擾動項的序列相關性。因此，誤釋變量，也增強了模型擾動項的序列相關性。因此，誤差修正模型除了以上介紹的性質外，還可以削弱原模型差修正模型除了以上介紹的性質外，還可以削弱原模型的多重共線性，以及擾動項的序列相關性。的多重共線性，以及擾動項的序列相關性。 70 最常用的最常用的ECM模型的估計方法是模型的估計方法是，其基本思想如下：，其基本思想如下： 第一步是求模型：第一步是求模型： 的的OLS估計，又稱協(xié)整回歸，得到及殘差序列：估計，又稱協(xié)整回歸，得到及殘差序列： tttuxkky10tttxkkyu1071 第二步是用第二步是用 t -1 替換式替換式(5.4.9)中的中的即對即對再用再用OLS方法估計其參數(shù)。方法估計其參數(shù)。 1101ttxkkyttttxuy210 注意，誤差修正模型不再單純地使用變量的水注意，誤差修正模型不再單純地使用變量的水平值（指變量的原始值）或變量的差分建模，而是平值（指變量的原始值）或變量的差分建模，而是把兩者有機地結合在一起，充分利用這兩者所提供把兩者有機地結合在一起，充分利用這兩者所提供的信息。的信息。72 為了考察我國財政收入和財政支出之間的動態(tài)關系，為了考察我國財政收入和財政支出之間的動態(tài)關系，本例采用例本例采用例5.10中的我國中的我國1990年年1月月2007年年12月月度數(shù)據(jù)月月度數(shù)據(jù)通過通過ECM模型來進行分析。模型來進行分析。 f_ext表示財政支出，表示財政支出，f_int表示財政收入。季節(jié)調整后表示財政收入。季節(jié)調整后取對數(shù)，例取對數(shù)，例5.10中的單位根檢驗發(fā)現(xiàn)序列中的單位根檢驗發(fā)現(xiàn)序列l(wèi)n(f_ext)和和ln(f_int)是非平穩(wěn)的，一階差分以后是平穩(wěn)，即是非平穩(wěn)的，一階差分以后是平穩(wěn)，即ln(f_ext)和和ln(f_int)均是均是I(1)序列。序列。73 首先建立財政收入和財政支出的協(xié)整方程：首先建立財政收入和財政支出的協(xié)整方程： 估計得到估計得到 （5.4.14） t = (6.25) (101.5) R2 = 0.98 D.W. =1.47 令令ecmt = t ，即將協(xié)整方程的殘差序列，即將協(xié)整方程的殘差序列 t 作為誤作為誤差修正項，建立下面的誤差修正模型：差修正項，建立下面的誤差修正模型： 也可以寫為也可以寫為tttuinfexf)_ln(953. 04 . 0)_ln(ttttinfecmexf)_ln()_ln(110 tttttinfinfexfexf)_ln()_ln(953. 04 . 0)_ln()_ln(1110 tttuinfkkexf)_ln()_ln(1074估計得到估計得到:75 t = (1.45) ( 7.01) （9.14） （5.4.16） R2 = 0.31 D.W. =2.45 在式（在式（5.4.14）表示的長期均衡方程中財政收入的系數(shù)為）表示的長期均衡方程中財政收入的系數(shù)為0.95，接近，接近1，體現(xiàn)了我國財政收支，體現(xiàn)了我國財政收支“量入為出量入為出”的原則。在式的原則。在式（5.4.16）表示的誤差修正模型中，差分項反映了短期波動的影）表示的誤差修正模型中，差分項反映了短期波動的影響。財政支出的短期變動可以分為兩部分：一部分是短期財政響。財政支出的短期變動可以分為兩部分：一部分是短期財政收入波動的影響；一部分是財政收支偏離長期均衡的影響。誤收入波動的影響；一部分是財政收支偏離長期均衡的影響。誤差修正項差修正項ecmt 的系數(shù)的大小反映了對偏離長期均衡的調整力度。的系數(shù)的大小反映了對偏離長期均衡的調整力度。從系數(shù)估計值（從系數(shù)估計值（ 0.38）來看，當短期波動偏離長期均衡時，將）來看，當短期波動偏離長期均衡時，將以（以（ 0.38）的調整力度將非均衡狀態(tài)拉回到均衡狀態(tài)。）的調整力度將非均衡狀態(tài)拉回到均衡狀態(tài)。 )_ln(37. 038. 0008. 0)_ln(1tttinfecmxef76 被解釋變量的變動是由較穩(wěn)定的被解釋變量的變動是由較穩(wěn)定的長期趨勢和短期波動所決定的，短期內系統(tǒng)對于長期趨勢和短期波動所決定的，短期內系統(tǒng)對于均衡狀態(tài)的偏離程度的大小直接導致波動振幅的均衡狀態(tài)的偏離程度的大小直接導致波動振幅的大小。大小。 協(xié)整關系式起到引力線的作用，將協(xié)整關系式起到引力線的作用，將非均衡狀態(tài)拉回到均衡狀態(tài)。非均衡狀態(tài)拉回到均衡狀態(tài)。