2018-2019年高中數(shù)學 第一章 計數(shù)原理 1.1 第一課時 兩個計數(shù)原理及其簡單應用 學案學案 新人教A版選修2-3.doc
第一課時兩個計數(shù)原理及其簡單應用教材研讀預習教材P212,思考以下問題1什么是分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理?2分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理有怎樣的區(qū)別與聯(lián)系?要點梳理1分類加法計數(shù)原理2分步乘法計數(shù)原理3兩個計數(shù)原理的區(qū)別自我診斷判斷(正確的打“”,錯誤的打“”)1在分類加法計數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同()2在分類加法計數(shù)原理中,每類方案中的方法都能完成這件事()3在分步乘法計數(shù)原理中,每個步驟中完成這個步驟的方法是各不相同的()4在分步乘法計數(shù)原理中,事情若是分兩步完成的,那么其中任何一個單獨的步驟都不能完成這件事,只有兩個步驟都完成后,這件事情才算完成()答案1.2.3.4.思考:若完成一件事情有n類不同的方案,在第1類方案中有m1種不同方法,在第2類方案中有m2種不同的方法,在第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有多少種不同方法?提示:完成這件事共有m1m2mn種不同方法 某校高三共有三個班,其各班人數(shù)如下表班級男生數(shù)女生數(shù)總數(shù)高三1班302050高三2班303060高三3班352055(1)從三個班中選一名學生任學生會主席,有多少種不同的選法?(2)從1班、2班男生中或從3班女生中選一名學生任學生會生活部部長,有多少種不同的選法?思路導引采用分類加法計數(shù)原理求解時,關鍵是找好每一類方法中有多少種不同方法解(1)從三個班中任選一名學生,可分三類:第一類,從1班任選一名學生,有50種不同選法;第二類,從2班任選一名學生,有60種不同選法;第三類,從3班任選一名學生,有55種不同選法由分類加法計數(shù)原理知,不同的選法種數(shù)為N506055165.(2)由題設知共有三類方案:第一類,從1班男生中任選一名學生,有30種不同選法;第二類,從2班男生中任選一名學生,有30種不同選法;第三類,從3班女生中任選一名學生,有20種不同選法由分類加法計數(shù)原理知,不同的選法種數(shù)為N30302080.(1)能用分類加法計數(shù)原理解決的問題具有如下特點:完成一件事有若干種方法,這些方法可以分成n類;用每一類中的每一種方法都可以完成這件事;把各類的方法數(shù)相加,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)(2)用分類加法計數(shù)原理解題應注意以下問題:明確題目中所指的“完成一件事”是什么事,完成這件事可以有哪些辦法,怎樣才算完成這件事;分類加法計數(shù)原理中的“分類”要全面、不能遺漏,但也不能重復、交叉;若完成某件事情有n類辦法,則它們兩兩的交集為空集,n類的并集為全集跟蹤訓練在所有的兩位數(shù)中,個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)的個數(shù)為_解析(1)解法一:根據(jù)題意,將十位上的數(shù)字按1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類,在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個,7個,6個,5個,4個,3個,2個,1個由分類加法計數(shù)原理知,符合條件的兩位數(shù)共有8765432136(個)解法二:分析個位數(shù)字,可分以下幾類:個數(shù)是9,則十位可以是1,2,3,8中的一個,故共有8個;個位是8,則十位可以是1,2,3,7中的一個,故共有7個;同理,個位是7的有6個;個位是2的有1個由分類加法計數(shù)原理知,符合條件的兩位數(shù)共有8765432136(個)答案36變式 若本題條件變?yōu)閭€位數(shù)字小于十位數(shù)字且為偶數(shù),那么這樣的兩位數(shù)有多少個解當個位數(shù)字是8時,十位數(shù)字取9,只有1個當個位數(shù)字是6時,十位數(shù)字可取7,8,9,共3個當個位數(shù)字是4時,十位數(shù)字可取5,6,7,8,9,共5個同理可知,當個位數(shù)字是2時,共7個,當個位數(shù)字是0時,共9個由分類加法計數(shù)原理知,符合條件的兩位數(shù)共有1357925(個)題型二分步乘法計數(shù)原理思考:完成一件事需要n個步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法,做第n步有mn種不同的方法,則完成這件事共有多少種不同的方法?提示:完成這件事共有m1m2mn種不同的方法 已知集合M3,2,1,0,1,2,P(a,b)(a,bM)表示平面上的點問:(1)點P可表示平面上多少個不同的點?(2)點P可表示平面上第二象限內(nèi)多少個不同的點?思路導引利用分步乘法計數(shù)原理求解,在求解過程中注意完成每一步有多少種不同方法解(1)確定平面上的點P(a,b),可分兩步完成:第1步確定a的值,有6種不同的結果;第2步確定b的值,也有6種不同的結果根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,得到點P可表示平面上不同點的個數(shù)為6636.(2)確定平面上第二象限內(nèi)的點P(a,b),可分兩步完成:第1步確定a的值,由于a<0,所以有3種不同的結果;第2步確定b的值,由于b>0,所以有2種不同的結果由分步乘法計數(shù)原理,得到點P可表示平面上第二象限內(nèi)不同的點的個數(shù)為326.(1)能用分步乘法計數(shù)原理解決的問題具有如下特點:完成一件事需要經(jīng)過n個步驟,缺一不可;完成每一步都有若干種方法;把各個步驟的方法數(shù)相乘,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù)(2)利用分步乘法計數(shù)原理應注意:要按事件發(fā)生的過程合理分步,即分步是有先后順序的;“步”與“步”之間是連續(xù)的、不間斷的、缺一不可的,但也不能重復、交叉;若完成某件事情需n步,則必須且只需依次完成這n個步驟后,這件事情才算完成跟蹤訓練從1,2,3,4中選三個數(shù)字,組成無重復數(shù)字的整數(shù),則分別滿足下列條件的數(shù)有多少個?(1)三位數(shù);(2)三位數(shù)的偶數(shù)解(1)三位數(shù)有三個數(shù)位,故可分三個步驟完成:第1步,排個位,從1,2,3,4中選1個數(shù)字,有4種方法;第2步,排十位,從剩下的3個數(shù)字中選1個,有3種方法;第3步,排百位,從剩下的2個數(shù)字中選1個,有2種方法依據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有43224個滿足要求的三位數(shù)(2)分三個步驟完成:第1步,排個位,從2,4中選1個,有2種方法;第2步,排十位,從余下的3個數(shù)字中選1個,有3種方法;第3步,排百位,只能從余下的2個數(shù)字中選1個,有2種方法故共有23212個三位數(shù)的偶數(shù)思考:如何區(qū)分一個問題是“分類”還是“分步”?提示:如果完成這件事,可以分幾種情況,每種情況中任何一種方法都能完成任務,則是分類;而從其中一種情況中任取一種方法只能完成一部分任務,且只有依次完成各種情況,才能完成這件事,則是分步 (鏈接教材P5例3)王華同學有課外參考書若干本,其中有5本不同的外語書,4本不同的數(shù)學書,3本不同的物理書,他欲帶參考書到圖書館閱讀(1)若他從這些參考書中帶1本去圖書館,有多少種不同的帶法?(2)若帶外語、數(shù)學、物理參考書各1本,有多少種不同的帶法?(3)若從這些參考書中選2本不同學科的參考書帶到圖書館,有多少種不同的帶法?思路導引解決兩個計數(shù)原理的應用問題,首先應明確所需完成的事情是什么,再分析每一種做法完成后,是否完成整件事,從而區(qū)分分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理解(1)要完成的事情是帶1本參考書,無論是帶外語書,還是帶數(shù)學書、物理書,事情都可完成,從而根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有54312種不同的帶法(2)要完成的事情是帶3本不同學科的參考書,只有從外語、數(shù)學、物理書中各選1本后,才能完成這件事,因此根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有54360種不同的帶法(3)選1本外語書和1本數(shù)學書應用分步乘法計數(shù)原理,有5420種選法;同樣,選外語書、物理書各1本,有5315種選法;選數(shù)學書、物理書各1本,有4312種選法即有三類情況,根據(jù)分類加法計數(shù)原理,共有20151247種不同的帶法對于兩個計數(shù)原理的綜合應用問題,一般是先分類再分步,分類時要設計好標準,設計好分類方案,防止重復和遺漏;分步時要注意步與步之間的連續(xù)性,同時應合理設計步驟的順序,使各步互不干擾,也可以根據(jù)題意恰當合理地畫出示意圖或者列出表格,使問題的實質(zhì)直觀地顯現(xiàn)出來,從而便于我們解題跟蹤訓練某地政府召集5家企業(yè)的負責人開會,已知甲企業(yè)有2人到會,其余4家企業(yè)各有1人到會,會上有3人發(fā)言,則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況為多少種?解分兩類:第一類是甲企業(yè)有1人發(fā)言,有2種情況,另2個發(fā)言人來自其余4家企業(yè),有6種情況,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得共有2612(種)情況;另一類是3人全來自其余4家企業(yè),共有4種情況根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得共有12416(種)情況1.本節(jié)課的重點是分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,難點是兩個計數(shù)原理的靈活應用2本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法(1)用分類加法計數(shù)原理解決有關問題,見典例1;(2)用分步乘法計數(shù)原理解決有關問題,見典例2;(3)兩個計數(shù)原理的綜合應用,見典例3.3兩個原理的綜合應用問題應先分類后分步,分類時應“不重不漏”,分步時要做到步驟完整,這是本節(jié)課的易錯點