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新編高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件: 專題突破練4 立體幾何中的高考熱點問題 理 北師大版

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新編高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件: 專題突破練4 立體幾何中的高考熱點問題 理 北師大版

專題突破練(四)立體幾何中的高考熱點問題(對應學生用書第293頁)1如圖7所示,已知直三棱柱ABC­A1B1C1中,ABC為等腰直角三角形,BAC90°,且ABAA1,D,E,F(xiàn)分別為B1A,C1C,BC的中點求證:圖7(1)DE平面ABC;(2)B1F平面AEF.證明(1)如圖,建立空間直角坐標系A­xyz,令ABAA14,則A(0,0,0),E(0,4,2),F(xiàn)(2,2,0),B(4,0,0),B1(4,0,4)取AB中點為N,連接CN,則N(2,0,0),C(0,4,0),D(2,0,2),(2,4,0),(2,4,0),DENC.又NC平面ABC,DE平面ABC.故DE平面ABC.(2)(2,2,4),(2,2,2),(2,2,0)·(2)×22×(2)(4)×(2)0,·(2)×22×2(4)×00.,即B1FEF,B1FAF.又AFFEF,B1F平面AEF.2(20xx·貴州適應性考性)如圖8(1),在等腰直角三角形ABC中,B90°,將ABC沿中位線DE翻折得到如圖8(2)所示的空間圖形,使二面角A­DE­C的大小為.(1)(2)圖8(1)求證:平面ABD平面ABC;(2)若,求直線AE與平面ABC夾角的正弦值. 解(1)證明:在圖(1)等腰直角三角形ABC中,ABBC,而DE為該三角形的中位線,DEBC,DEAB.由翻折可知DEAD,DEDB,又ADDBD,DE平面ADB,BC平面ADB,又BC平面ABC,平面ABD平面ABC.(2)由(1)可知,ADB為二面角A­DE­C的平面角,即ADB.又ADDB,ADB為等邊三角形如圖,設O為DB的中點,連接OA,過O作OFBC交BC于點F,則AOBD,OFBD.又AOBC,BDBCB,AO平面BCED.以O為坐標原點,OB,OF,OA分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系設BD2,則A(0,0,),B(1,0,0),C(1,4,0),E(1,2,0),(1,0,),(1,4,),(1,2,)設n(x,y,z)為平面ABC的法向量,則有即令z1,則x,y0,則n(,0,1),設AE與平面ABC的夾角為,則sin .3(20xx·北京海淀區(qū)期末練習)如圖9,在三棱錐P­ABC中,側(cè)棱PA2,底面三角形ABC為正三角形,邊長為2,頂點P在平面ABC上的射影為D,ADDB,DB1.圖9(1)求證:AC平面PDB;(2)求二面角P­AB­C的余弦值;(3)線段PC上是否存在點E使得PC平面ABE,如果存在,求的值;如果不存在,請說明理由解(1)證明:因為ADDB,且DB1,AB2,所以AD,所以DBA60°.因為ABC為正三角形,所以CAB60°,所以DBAC.因為AC平面PDB,DB平面PDB,所以AC平面PDB.(2)由點P在平面ABC上的射影為D可得PD平面ACBD,所以PDDA,PDDB.如圖,建立空間直角坐標系,則由已知可知B(1,0,0),A(0,0),P(0,0,1),C(2,0)所以(1,0),(1,0,1)平面ABC的一個法向量n(0,0,1),設m(x,y,z)為平面PAB的法向量,則由可得令y1,則x,z,所以平面PAB的一個法向量m(,1,),所以cosm,n,由圖可知二面角P­AB­C的平面角為鈍角,所以二面角P­AB­C的余弦值為.(3)由(2)可得(1,0),(2,1),因為·10,所以PC與AB不垂直,所以在線段PC上不存在點E使得PC平面ABE.4(20xx·全國卷)如圖10,四面體ABCD中,ABC是正三角形,ACD是直角三角形,ABDCBD,ABBD.圖10(1)證明:平面ACD平面ABC;(2)過AC的平面交BD于點E,若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分,求二面角D­AE­C的余弦值解(1)證明:由題設可得ABDCBD,從而ADCD.又ACD是直角三角形,所以ADC90°.取AC的中點O,連接DO,BO,則DOAC,DOAO.又因為ABC是正三角形,故BOAC,所以DOB為二面角D­AC­B的平面角在RtAOB中,BO2AO2AB2,又ABBD,所以BO2DO2BO2AO2AB2BD2,故DOB90°.所以平面ACD平面ABC.(2)由題設及(1)知,OA,OB,OD兩兩垂直,以O為坐標原點,的方向為x軸正方向,|為單位長度,建立如圖所示的空間直角坐標系O­xyz,則A(1,0,0),B(0,0),C(1,0,0),D(0,0,1)由題設知,四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的,從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的,即E為DB的中點,得E,故(1,0,1),(2,0,0),.設n(x,y,z)是平面DAE的法向量,則即可取n.設m是平面AEC的法向量,則同理可取m(0,1,),則cosn,m.所以二面角D­AE­C的余弦值為.

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