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新編廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)檢測(cè)試題:24 不等式恒成立問(wèn)題的處理方法

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新編廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)檢測(cè)試題:24 不等式恒成立問(wèn)題的處理方法

不等式恒成立問(wèn)題的處理方法1、轉(zhuǎn)換為求函數(shù)的最值恒成立的最大值;恒成立的最小值。例1、已知函數(shù)在處取得極值,其中為常數(shù)。(1)試確定的值; (2)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(3)若對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。解:(1)(2)略(3)由(2)知,在處取得極小值,此極小值也是最小值。要使恒成立,只需,即,從而,解得或,的取值范圍為。例2、已知對(duì)任意恒成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍。解:等價(jià)于對(duì)任意恒成立,又等價(jià)于時(shí),的最小值成立。由于在上為增函數(shù),則,所以。例3、函數(shù)在上既是奇函數(shù)又是減函數(shù),且當(dāng)時(shí),有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。解:由得到:因?yàn)闉槠婧瘮?shù),故有恒成立,又因?yàn)闉闇p函數(shù),從而有對(duì)恒成立;設(shè),則對(duì)于恒成立,函數(shù),對(duì)稱軸為。當(dāng)時(shí),即,又當(dāng),即時(shí),即,又,當(dāng)時(shí),恒成立。故由可知:。2、主參換位例4、若不等式對(duì)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。 例5、若對(duì)于任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。解:例6、已知函數(shù),其中為實(shí)數(shù)。若不等式對(duì)任意都成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。解:由題設(shè)知,對(duì)任意,不等式都成立,即,都成立。設(shè)(),則是一個(gè)以為自變量的一次函數(shù)。恒成立,則,為上的單調(diào)遞增函數(shù)。所以對(duì)任意,恒成立的充分必要條件是,于是的取值范圍是。3、分離參數(shù)(1)將參數(shù)與變量分離,即化為(或)恒成立的形式;(2)求在上的最大(或最小)值;(3)解不等式(或),得的取值范圍。適用題型:參數(shù)與變量能分離;函數(shù)的最值易求出。例7、當(dāng)時(shí),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。解:當(dāng)時(shí),由得。令,則易知在上是減函數(shù),所以時(shí),則。例8、已知函數(shù),其中。(1)當(dāng)滿足什么條件時(shí),取得極值;(2)已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍。解:(1)(2)在區(qū)間上單調(diào)遞增在上恒成立恒成立,;設(shè),令得或(舍),當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),單調(diào)增函數(shù);當(dāng)時(shí),單調(diào)減函數(shù),;當(dāng)時(shí),此時(shí)在區(qū)間恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,。綜上,當(dāng)時(shí), ;當(dāng)時(shí),。4、數(shù)形結(jié)合例9、若對(duì)任意,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是 。解:,不等式恒成立,則由一次函數(shù)性質(zhì)及圖象知,即。例10、當(dāng)時(shí),不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。例11、已知關(guān)于的函數(shù),其中,若當(dāng)在區(qū)間內(nèi)任意取值時(shí),的值恒為正,求實(shí)數(shù)的取值范圍。解:,令,則,則有,于是問(wèn)題轉(zhuǎn)化為:當(dāng)時(shí),恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍。因?yàn)槭顷P(guān)于的一次函數(shù),則當(dāng)時(shí),恒成立的充要條件是,解得。所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),。

注意事項(xiàng)

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