新版高考數(shù)學(xué)人教版文一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)54第8章 解析幾何9 Word版含答案

1 1課時(shí)作業(yè)(五十四)最值、范圍、證明問(wèn)題1已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，且拋物線(xiàn)x24y的焦點(diǎn)是它的一個(gè)焦點(diǎn)，又點(diǎn)A(1，)在該橢圓上。(1)求橢圓E的方程。(2)若斜率為的直線(xiàn)l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)B，C，當(dāng)ABC的面積最大時(shí)，求直線(xiàn)l的方程。解析：(1)由已知得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為(0，)，故設(shè)橢圓方程為1(a>)。將點(diǎn)A(1，)代入方程得1，整理得a45a240，解得a24或a21(舍去)，故所求橢圓方程為1。(2)設(shè)直線(xiàn)l的方程為yxm，B，C的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由得4x22mxm240，則8m216(m24)8(8m2)>0，所以0m2<8。由x1x2m，x1x2，得|BC|x1x2|。又點(diǎn)A到BC的距離為d，故SABC|BC|·d·，當(dāng)且僅當(dāng)2m2162m2，即m±2時(shí)取等號(hào)。當(dāng)m±2時(shí)，滿(mǎn)足0m2<8。故直線(xiàn)l的方程為yx±2。2在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓與直線(xiàn)xy4相切。(1)求圓O的方程。(2)若圓O上有兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線(xiàn)x2y0對(duì)稱(chēng)，且|MN|2，求直線(xiàn)MN的方程。(3)圓O與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，求·的取值范圍。解析：(1)半徑r2，故圓O的方程為x2y24。(2)因?yàn)閳AO上有兩點(diǎn)M，N關(guān)于直線(xiàn)x2y0對(duì)稱(chēng)，故MN的斜率等于直線(xiàn)x2y0斜率的負(fù)倒數(shù)，等于2，設(shè)MN的方程為y2xb，即2xyb0。由弦長(zhǎng)公式可得，圓心O到直線(xiàn)MN的距離等于1。由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得1，b±，故MN的方程為2xy±0。(3)圓O與x軸相交于A(2,0)，B(2,0)兩點(diǎn)，圓內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P使|PA|，|PO|，|PB|成等比數(shù)列，所以|PA|·|PB|PO|2，設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則有·x2y2，兩邊平方，化簡(jiǎn)可得x2y22。由點(diǎn)P在圓內(nèi)可得x2y2<4，故有0y2<1。因?yàn)?#183;(2x，y)·(2x，y)x2y242(y21)2,0)，即·的取值范圍是2,0)。3(20xx·河北五校二聯(lián))已知拋物線(xiàn)y24x，直線(xiàn)l：yxb與拋物線(xiàn)交于A，B兩點(diǎn)。(1)若x軸與以AB為直徑的圓相切，求該圓的方程；(2)若直線(xiàn)l與y軸負(fù)半軸相交，求AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的最大值。解析：(1)聯(lián)立，消去x并化簡(jiǎn)整理得y28y8b0。依題意有6432b>0，解得b>2。設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y28，y1y28b，設(shè)圓心Q(x0，y0)，則應(yīng)有x0，y04。因?yàn)橐訟B為直徑的圓與x軸相切，得到圓半徑為r|y0|4，又|AB|。所以|AB|2r8，解得b。所以x1x22b2y12b2y24b16，所以圓心為。故所求圓的方程為2(y4)216。(2)因?yàn)橹本€(xiàn)l與y軸負(fù)半軸相交，所以b<0，又l與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，由(1)知b>2，所以2<b<0，直線(xiàn)l：yxb可化為x2y2b0，點(diǎn)O到直線(xiàn)l的距離d，所以SAOB|AB|d4b4 。令g(b)b32b2，2<b<0，g(b)3b24b3b，bg(b)0g(b)極大值由上表可得g(b)的最大值為g。所以當(dāng)b時(shí)，AOB的面積取得最大值。4(20xx·浙江二模)已知橢圓1(a>b>0)的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。過(guò)它的兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別作直線(xiàn)l1與l2，l1交橢圓于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓于C，D兩點(diǎn)，且l1l2。(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求四邊形ACBD的面積S的取值范圍。解析：(1)由得a2c，所以a24c2，b23c2，將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入橢圓方程得c21，故所求橢圓方程為1。(2)當(dāng)l1與l2中有一條直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，則另一條直線(xiàn)的斜率為0，此時(shí)四邊形的面積為S6。若l1與l2的斜率都存在，設(shè)l1的斜率為k，則l2的斜率為。直線(xiàn)l1的方程為yk(x1)。設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y整理得(4k23)x28k2x4k2120。x1x2，x1x2，|x1x2|，|AB|x1x2|。注意到方程的結(jié)構(gòu)特征，或圖形的對(duì)稱(chēng)性，可以用代替中的k，得|CD|，S|AB|·|CD|，令k2t(0，)，S66，S。綜上可知，四邊形ACBD的面積S的取值范圍為。