新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第5章學(xué)案22

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料第5章解三角形與平面向量學(xué)案22正弦定理和余弦定理導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.利用正弦定理、余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，進(jìn)而進(jìn)行恒等變換解決問(wèn)題.2.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題自主梳理1三角形的有關(guān)性質(zhì)(1)在ABC中，ABC_；(2)ab_c，ab<c；(3)a>bsin A_sin BA_B；(4)三角形面積公式：SABCahabsin Cacsin B_；(5)在三角形中有：sin 2Asin 2BAB或_三角形為等腰或直角三角形；sin(AB)sin C，sin cos .2正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容_2Ra2_，b2_，c2_變形形式a_，b_，c_；sin A_，sin B_，sin C_；abc_；cos A_；cos B_；cos C_解決的問(wèn)題已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角已知三邊，求各角；已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角.自我檢測(cè)1(2010·上海改編)若ABC的三個(gè)內(nèi)角滿(mǎn)足sin Asin Bsin C51113，則abc_.2(2010·天津改編)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，則A_.3(2010·煙臺(tái)一模)在ABC中，A60°，b1，ABC的面積為，則邊a的值為_(kāi)4(2010·山東)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a，b2，sin Bcos B，則角A的大小為_(kāi)5(2010·北京)在ABC中，若b1，c，C，則a_.探究點(diǎn)一正弦定理的應(yīng)用例1(1)在ABC中，a，b，B45°，求角A、C和邊c；(2)在ABC中，a8，B60°，C75°，求邊b和c.變式遷移1(1)在ABC中，若tan A，C150°，BC1，則AB_；(2)在ABC中，若a50，b25，A45°，則B_.探究點(diǎn)二余弦定理的應(yīng)用例2已知a、b、c分別是ABC中角A、B、C的對(duì)邊，且a2c2b2ac.(1)求角B的大小；(2)若c3a，求tan A的值變式遷移2在ABC中，a、b、c分別為A、B、C的對(duì)邊，B，b，ac4，求a.探究點(diǎn)三正余弦定理的綜合應(yīng)用例3在ABC中，a、b、c分別表示三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，試判斷該三角形的形狀變式遷移3(2010·天津)在ABC中，.(1)證明：BC；(2)若cos A，求sin的值1解斜三角形可以看成是三角變換的延續(xù)和應(yīng)用，用到三角變換的基本方法，同時(shí)它是對(duì)正、余弦定理，三角形面積公式等的綜合應(yīng)用2在利用正弦定理解已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而求出其他的邊和角時(shí)，有可能出現(xiàn)一解、兩解或無(wú)解的情況，應(yīng)結(jié)合圖形并根據(jù)“三角形中大邊對(duì)大角”來(lái)判斷解的情況，作出正確取舍3在解三角形中的三角變換問(wèn)題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：一是要用到三角形的內(nèi)角和及正、余弦定理，二是要用到三角變換、三角恒等變形的原則和方法“化繁為簡(jiǎn)”“化異為同”是解此類(lèi)問(wèn)題的突破口(滿(mǎn)分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1(2010·湖北改編)在ABC中，a15，b10，A60°，則cos B_.2在ABC中，AB3，AC2，BC，則·_.3在ABC中，sin2(a，b，c分別為角A，B，C的對(duì)邊)，則ABC的形狀為_(kāi)4(2011·蘇州調(diào)研)在ABC中，若A60°，BC4，AC4，則角B的大小為_(kāi)5(2010·湖南改編)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b，c，若C120°，ca，則a，b的大小關(guān)系為_(kāi)6在ABC中，B60°，b2ac，則ABC的形狀為_(kāi)7(2010·廣東)已知a，b，c分別是ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若a1，b，AC2B，則sin C_.8(2010·福建龍巖高三一模)在銳角ABC中，ADBC，垂足為D，且BDDCAD236，則BAC的大小為_(kāi)二、解答題(共42分)9(14分)(2009·浙江)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿(mǎn)足cos，·3.(1)求ABC的面積；(2)若bc6，求a的值10(14分)(2010·陜西)在ABC中，已知B45°，D是BC邊上的一點(diǎn)，AD10，AC14，DC6，求AB的長(zhǎng)11(14分)(2010·重慶)設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且3b23c23a24bc.(1)求sin A的值；(2)求的值答案 自主梳理1(1)(2)>(3)>>(4)bcsin A(5)AB2.b2c22bccos Aa2c22accos Ba2b22abcos C2Rsin A2Rsin B2Rsin C sin Asin Bsin C自我檢測(cè)1511132.30°3.4.51解析方法一由正弦定理，有，sin B.C為鈍角，B必為銳角，B，A.ab1.方法二由余弦定理c2a2b22abcos C得，3a2a1，即a2a20，解得a1，a2(舍去)課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角，可利用正弦定理求其他的角和邊，但要注意對(duì)解的情況進(jìn)行判斷，這類(lèi)問(wèn)題往往有一解、兩解、無(wú)解三種情況具體判斷方法如下：在ABC中，已知a、b和A，求B.若A為銳角，當(dāng)ab時(shí)，有一解；當(dāng)absin A時(shí)，有一解；當(dāng)bsin A<a<b時(shí)，有兩解；當(dāng)a<bsin A時(shí)，無(wú)解若A為直角或鈍角，當(dāng)a>b時(shí)，有一解；當(dāng)ab時(shí)，無(wú)解解(1)由正弦定理得，sin A.a>b，A>B，A60°或A120°.當(dāng)A60°時(shí)，C180°45°60°75°，c；當(dāng)A120°時(shí)，C180°45°120°15°，c.綜上，A60°，C75°，c，或A120°，C15°，c.(2)B60°，C75°，A45°.由正弦定理，得b4，c44.b4，c44.變式遷移1(1)(2)60°或120°解析(1)在ABC中，tan A，C150°，A為銳角，sin A.又BC1.根據(jù)正弦定理得AB.(2)由b>a，得B>A，由，得sin B×，0°<B<180°，B60°或B120°.例2解(1)a2c2b2ac，cos B.0<B<，B.(2)方法一將c3a代入a2c2b2ac，得ba.由余弦定理，得cos A.0<A<，sin A，tan A.方法二將c3a代入a2c2b2ac，得ba.由正弦定理，得sin Bsin A.由(1)知，B，sin A.又ba>a，B>A，cos A.tan A.方法三c3a，由正弦定理，得sin C3sin A.B，C(AB)A，sin(A)3sin A，sincos Acossin A3sin A，cos Asin A3sin A，5sin Acos A，tan A.變式遷移2解由余弦定理得，b2a2c22accos Ba2c22accosa2c2ac(ac)2ac.又ac4，b，ac3，聯(lián)立，解得a1，c3，或a3，c1.a等于1或3.例3解題導(dǎo)引利用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊角互化，轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系或角角關(guān)系解方法一(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cos Asin B2b2cos Bsin A，由正弦定理，得sin2Acos Asin Bsin2Bcos Bsin A，sin Asin B(sin Acos Asin Bcos B)0，sin 2Asin 2B，由0<2A<2，0<2B<2，得2A2B或2A2B，即ABC是等腰三角形或直角三角形方法二同方法一可得2a2cos Asin B2b2cos Bsin A，由正、余弦定理，即得a2b×b2a×，a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)，即(a2b2)(c2a2b2)0，ab或c2a2b2，三角形為等腰三角形或直角三角形變式遷移3(1)證明在ABC中，由正弦定理及已知得.于是sin Bcos Ccos Bsin C0，即sin(BC)0.因?yàn)?lt;BC<，從而B(niǎo)C0.所以BC.(2)解由ABC和(1)得A2B，故cos 2Bcos(2B)cos A.又0<2B<，于是sin 2B.從而sin 4B2sin 2Bcos 2B，cos 4Bcos22Bsin22B.所以sinsin 4Bcos cos 4Bsin .課后練習(xí)區(qū)1.解析根據(jù)正弦定理，可得，解得sin B，又因?yàn)閎<a，則B<A，故B為銳角，所以cos B.2.解析由余弦定理得，cos A，·3×2×.3直角三角形解析sin2，cos Aa2b2c2，符合勾股定理，即ABC為直角三角形445°解析BC>AC，A>B，所以角B是銳角，由正弦定理得，即sin B，所以B45°.5a>b解析因?yàn)镃120°，ca，所以c2a2b22abcos C,2a2a2b22ab.所以a2b2ab，ab，因?yàn)閍>0，b>0，所以ab>0，所以a>b.6等邊三角形解析b2a2c22accos B，aca2c2ac，(ac)20，ac，又B60°，ABC為等邊三角形71解析由AC2B及ABC180°知，B60°.由正弦定理知，即sin A.由a<b知，A<B，A30°，C180°AB180°30°60°90°，sin Csin 90°1.8.解析設(shè)BAD，DAC，則tan ，tan ，tanBACtan()1.BAC的大小為.9解(1)因?yàn)閏os，所以cos A2cos21，sin A.(5分)又由·3得bccos A3，所以bc5，因此SABCbcsin A2.(9分)(2)由(1)知，bc5，又bc6，由余弦定理，得a2b2c22bccos A(bc)2bc20，所以a2.(14分)10解在ADC中，AD10，AC14，DC6，由余弦定理得，cosADC，(6分)ADC120°，ADB60°.(8分)在ABD中，AD10，B45°，ADB60°，由正弦定理得，AB5.(14分)11解(1)3b23c23a24bc，b2c2a2bc.由余弦定理得，cos A，(4分)又0<A<，故sin A.(6分)(2)原式(8分)(11分).所以.(14分)