新編高考數(shù)學(xué)人教A版理科含答案導(dǎo)學(xué)案【第三章】導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 學(xué)案16

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料學(xué)案16定積分及其簡單的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.以求曲邊梯形的面積和汽車變速行駛的路程為背景準(zhǔn)確理解定積分的概念.2.理解定積分的簡單性質(zhì)并會簡單應(yīng)用.3.會說出定積分的幾何意義，能根據(jù)幾何意義解釋定積分.4.會用求導(dǎo)公式和導(dǎo)數(shù)運算法則，反方向求使F(x)f(x)的F(x)，并運用牛頓萊布尼茨公式求f(x)的定積分.5.會通過求定積分的方法求由已知曲線圍成的平面圖形的面積.6.能熟練運用定積分求變速直線運動的路程.7.會用定積分求變力所做的功自主梳理1定積分的幾何意義：如果在區(qū)間a，b上函數(shù)f(x)連續(xù)且恒有f(x)0，那么函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分的幾何意義是直線_所圍成的曲邊梯形的_2定積分的性質(zhì)(1)kf(x)dx_ (k為常數(shù))；(2)f1(x)±f2(x)dx_；(3)f(x)dx_.3微積分基本定理一般地，如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，這個結(jié)論叫做_，為了方便，我們常把F(b)F(a)記成_，即f(x)dxF(x)|F(b)F(a)4定積分在幾何中的應(yīng)用(1)當(dāng)xa，b且f(x)>0時，由直線xa，xb (ab)，y0和曲線yf(x)圍成的曲邊梯形的面積S_.(2)當(dāng)xa，b且f(x)<0時，由直線xa，xb (ab)，y0和曲線yf(x)圍成的曲邊梯形的面積S_.(3)當(dāng)xa，b且f(x)>g(x)>0時，由直線xa，xb (ab)和曲線yf(x)，yg(x)圍成的平面圖形的面積S_.(4)若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)dx2f(x)dx；若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)dx0.5定積分在物理中的應(yīng)用(1)勻變速運動的路程公式做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)vv(t)v(t)0在時間區(qū)間a，b上的定積分，即_(2)變力做功公式一物體在變力F(x)(單位：N)的作用下做直線運動，如果物體沿著與F相同的方向從xa移動到xb (a<b)(單位：m)，則力F所做的功W_.自我檢測1計算定積分3xdx的值為 ()A.B75C.D252定積分xdx等于 ()A.B.1C.D.3如右圖所示，陰影部分的面積是 ()A2B2C.D.4(2010·湖南)dx等于 ()A2ln 2B2ln 2Cln 2Dln 25若由曲線yx2k2與直線y2kx及y軸所圍成的平面圖形的面積S9，則k_.探究點一求定積分的值例1計算下列定積分：(1)；(2)；(3)(2sin x3ex2)dx；(4)|x21|dx.變式遷移1計算下列定積分：(1)|sin x|dx；(2)sin2xdx.探究點二求曲線圍成的面積例2計算由拋物線yx2和y3(x1)2所圍成的平面圖形的面積S.變式遷移2計算曲線yx22x3與直線yx3所圍圖形的面積探究點三定積分在物理中的應(yīng)用例3一輛汽車的速度時間曲線如圖所示，求此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程變式遷移3A、B兩站相距7.2 km，一輛電車從A站開往B站，電車開出t s后到達(dá)途中C點，這一段速度為1.2t m/s，到C點時速度達(dá)24 m/s，從C點到B點前的D點以勻速行駛，從D點開始剎車，經(jīng)t s后，速度為(241.2t)m/s，在B點恰好停車，試求：(1)A、C間的距離；(2)B、D間的距離；(3)電車從A站到B站所需的時間函數(shù)思想的應(yīng)用例(12分)在區(qū)間0,1上給定曲線yx2.試在此區(qū)間內(nèi)確定點t的值，使圖中的陰影部分的面積S1與S2之和最小，并求最小值【答題模板】解S1面積等于邊長為t與t2的矩形面積去掉曲線yx2與x軸、直線xt所圍成的面積，即S1t·t2x2dxt3.2分S2的面積等于曲線yx2與x軸，xt，x1圍成的面積去掉矩形面積，矩形邊長分別為t2,1t，即S2x2dxt2(1t)t3t2.4分所以陰影部分面積SS1S2t3t2(0t1)6分令S(t)4t22t4t0時，得t0或t.8分t0時，S；t時，S；t1時，S.10分所以當(dāng)t時，S最小，且最小值為.12分【突破思維障礙】本題既不是直接求曲邊梯形面積問題，也不是直接求函數(shù)的最小值問題，而是先利用定積分求出面積的和，然后利用導(dǎo)數(shù)的知識求面積和的最小值，難點在于把用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最小值的問題置于先求定積分的題境中，突出考查學(xué)生知識的遷移能力和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用意識1定積分f(x)dx的幾何意義就是表示由直線xa，xb (ab)，y0和曲線yf(x)圍成的曲邊梯形的面積；反過來，如果知道一個這樣的曲邊梯形的面積也就知道了相應(yīng)定積分的值，如dx (半徑為2的個圓的面積)，dx2.2運用定積分的性質(zhì)可以化簡定積分計算，也可以把一個函數(shù)的定積分化成幾個簡單函數(shù)定積分的和或差3計算一些簡單的定積分問題，解題步驟是：第一步，把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)積的和或差；第二步，把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；第三步，分別用求導(dǎo)公式找到一個相應(yīng)的使F(x)f(x)的F(x)；第四步，再分別用牛頓萊布尼茨公式求各個定積分的值后計算原定積分的值 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1下列值等于1的積分是 ()AxdxB(x1)dxCdxD1dx2(2011·汕頭模擬)設(shè)函數(shù)f(x)則f(x)dx等于 ()A.B.C6D173已知f(x)為偶函數(shù)且f(x)dx8，則f(x)dx等于 ()A0B4C8D164(2011·深圳模擬)曲線ysin x，ycos x與直線x0，x所圍成的平面區(qū)域的面積為 ()A0(sin xcos x)dxB20(sin xcos x)dxC0(cos xsin x)dxD20(cos xsin x)dx5(2011·臨渭區(qū)高三調(diào)研)函數(shù)f(x)t(t4)dt在1,5上 ()A有最大值0，無最小值B有最大值0，最小值C有最小值，無最大值D既無最大值也無最小值題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6若1 N的力使彈簧伸長2 cm，則使彈簧伸長12 cm時克服彈力做的功為_J.7(2xk1)dx2，則k_.8(2010·山東實驗中學(xué)高三三診)若f(x)在R上可導(dǎo)，f(x)x22f(2)x3，則f(x)dx_.三、解答題(共38分)9(12分)計算以下定積分：(1)dx；(2)2dx；(3)0(sin xsin 2x)dx；(4)|32x|dx.10(12分)設(shè)yf(x)是二次函數(shù)，方程f(x)0有兩個相等的實根，且f(x)2x2.(1)求yf(x)的表達(dá)式；(2)求yf(x)的圖象與兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積11(14分)求曲線yex1與直線xln 2，ye1所圍成的平面圖形的面積答案 自主梳理1xa，xb (ab)，y0和曲線yf(x)面積2(1)kf(x)dx(2)f1(x)dx±f2(x)dx(3)f(x)dxf(x)dx(其中a<c<b)3.微積分基本定理F(x)|4.(1)f(x)dx(2)f(x)dx(3)f(x)g(x)dx5.(1)sv(t)dt(2)F(x)dx自我檢測1A2.A3.C4.D5±3解析由得(xk)20，即xk，所以直線與曲線相切，如圖所示，當(dāng)k>0時，S(x2k22kx)dx(xk)2dx(xk)3|0(k)3，由題意知9，k3.由圖象的對稱性可知k3也滿足題意，故k±3.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)與絕對值有關(guān)的函數(shù)均可化為分段函數(shù)分段函數(shù)在區(qū)間a，b上的積分可分成幾段積分的和的形式分段的標(biāo)準(zhǔn)是使每一段上的函數(shù)表達(dá)式確定，按照原函數(shù)分段的情況分即可，無需分得過細(xì)(2)f(x)是偶函數(shù)，且在關(guān)于原點對稱的區(qū)間a，a上連續(xù)，則f(x)dx2f(x)dx.解(1)dxxdxdxdxx2|ln x|(e21)(ln eln 1)e2.(2)0(sin x2cos x)dx0sin xdx20cos xdx(cos x)|02sin x|0cos (cos 0)21.(3)(2sin x3ex2)dx2sin xdx3exdx2dx2(cos x)|3ex|2x|2(cos )(cos 0)3(ee0)2(0)73e2.(4)0x2，于是|x21|x21|dx(1x2)dx(x21)dx|2.變式遷移1解(1)(cos x)sin x，|sin x|dx|sin x|dx|sin x|dxsin xdxsin xdxcos x|cos x|(cos cos 0)(cos 2cos )4.(2)sin2xdxdxdxcos 2xdxx|.例2解題導(dǎo)引求曲線圍成的面積的一般步驟為：(1)作出曲線的圖象，確定所要求的面積；(2)聯(lián)立方程解出交點坐標(biāo)；(3)用定積分表示所求的面積；(4)求出定積分的值解作出函數(shù)yx2和y3(x1)2的圖象(如圖所示)，則所求平面圖形的面積S為圖中陰影部分的面積解方程組得或所以兩曲線交點為A，B(2,2)所以S23(x1)2dx2x2dx2(x22x2)dx2x2dx22×4.變式遷移2解如圖，設(shè)f(x)x3，g(x)x22x3，兩函數(shù)圖象的交點為A，B，由得或曲線yx22x3與直線yx3所圍圖形的面積Sf(x)g(x)dx(x3)(x22x3)dx(x23x)dx|.故曲線與直線所圍圖形的面積為.例3解題導(dǎo)引用定積分解決變速運動的位置與路程問題時，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是關(guān)鍵變速直線運動的速度函數(shù)往往是分段函數(shù)，故求積分時要利用積分的性質(zhì)將其分成幾段積分，然后求出積分的和，即可得到答案s(t)求導(dǎo)后得到速度，對速度積分則得到路程解方法一由速度時間曲線易知v(t)由變速直線運動的路程公式可得s3tdt30dt(1.5t90)dtt2|30t|1 350 (m)答此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程是1 350 m.方法二由定積分的物理意義知，汽車1 min內(nèi)所行駛的路程就是速度函數(shù)在0,60上的積分，也就是其速度曲線與x軸圍成梯形的面積，s(ABOC)×30×(3060)×301 350 (m)答此汽車在這1 min內(nèi)所行駛的路程是1 350 m.變式遷移3解(1)設(shè)v(t)1.2t，令v(t)24，t20.A、C間距離|AC|1.2tdt(0.6t2)|0.6×202240 (m)(2)由D到B時段的速度公式為v(t)(241.2t) m/s，可知|BD|AC|240 (m)(3)|AC|BD|240 (m)，|CD|7 200240×26 720 (m)C、D段用時280 (s)又A、C段與B、D段用時均為20 s，共用時2802020320 (s)課后練習(xí)區(qū)1D2.B3.D4.D5.B60.36解析設(shè)力F與彈簧伸長的長度x的關(guān)系式為Fkx，則1k×0.02，k50，F(xiàn)50x，伸長12 cm時克服彈力做的功W50xdxx2|×0.1220.36(J)71解析(2xk1)dx12，k1.818解析f(x)2x2f(2)，f(2)42f(2)，即f(2)4，f(x)x28x3，f(x)dx×334×323×318.9解(1)函數(shù)y2x2的一個原函數(shù)是yx3ln x，所以dxln 2ln 2.(3分)(2)2dxdx(2ln 24)ln .(6分)(3)函數(shù)ysin xsin 2x的一個原函數(shù)為ycos xcos 2x，所以0(sin xsin 2x)dx0.(9分)(3xx2)|1(x23x)|2.(12分)10解(1)設(shè)f(x)ax2bxc (a0)，則f(x)2axb.又f(x)2x2，所以a1，b2，即f(x)x22xc.(4分)又方程f(x)0有兩個相等實根，所以44c0，即c1.故f(x)x22x1.(8分)(2)依題意，所求面積S(x22x1)dx|.(12分)11解畫出直線xln 2，ye1及曲線yex1如圖所示，則所求面積為圖中陰影部分的面積由解得B(1，e1)由解得A.(4分)此時，C(ln 2，e1)，D(ln 2,0)所以SS曲邊梯形BCDOS曲邊三角形OAD(e1)dx(ex1)dx(7分)(e1)x|(exx)|(exx)| (10分)(e1)(1ln 2)(e1e0)|e0(eln 2ln 2)|(e1)(1ln 2)(e2)ln 2eln 2.(14分)