高考數(shù)學人教A版理科含答案導學案【第三章】導數(shù)及其應用 學案15

2019屆高考數(shù)學復習資料學案15導數(shù)的綜合應用導學目標： 1.應用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，并會根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求參數(shù)范圍.2.會利用導數(shù)解決某些實際問題自主梳理1函數(shù)的最值(1)函數(shù)f(x)在a，b上必有最值的條件如果函數(shù)yf(x)的圖象在區(qū)間a，b上_，那么它必有最大值和最小值(2)求函數(shù)yf(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟：求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的_；將函數(shù)yf(x)的各極值與_比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值2實際應用問題：首先要充分理解題意，列出適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，再利用導數(shù)求出該函數(shù)的最大值或最小值，最后回到實際問題中，得出最優(yōu)解自我檢測1函數(shù)f(x)x33axa在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍為 ()A0a<1B0<a<1C1<a<1D0<a<2(2011·汕頭月考)設(shè)f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，將yf(x)和yf(x)的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是 ()3對于R上可導的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x1)f(x)0，則必有 ()Af(0)f(2)<2f(1)Bf(0)f(2)2f(1)Cf(0)f(2)2f(1)Df(0)f(2)>2f(1)4(2011·新鄉(xiāng)模擬)函數(shù)f(x)ex (sin xcos x)在區(qū)間上的值域為_5f(x)x(xc)2在x2處有極大值，則常數(shù)c的值為_探究點一求含參數(shù)的函數(shù)的最值例1已知函數(shù)f(x)x2eax (a>0)，求函數(shù)在1,2上的最大值變式遷移1設(shè)a>0，函數(shù)f(x).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)求f(x)在區(qū)間a,2a上的最小值探究點二用導數(shù)證明不等式例2(2011·張家口模擬)已知f(x)x2aln x(aR)，(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：當x>1時，x2ln x<x3.變式遷移2(2010·安徽)設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)f(x)ex2x2a，xR.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當a>ln 21且x>0時，ex>x22ax1.探究點三實際生活中的優(yōu)化問題例3(2011·孝感月考)某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為3元，并且每件產(chǎn)品需向總公司交a元(3a5)的管理費，預計當每件產(chǎn)品的售價為x元(9x11)時，一年的銷售量為(12x)2萬件(1)求分公司一年的利潤L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當每件產(chǎn)品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q(a)變式遷移3甲方是一農(nóng)場，乙方是一工廠由于乙方生產(chǎn)需占用甲方的資源，因此甲方有權(quán)向乙方索賠以彌補經(jīng)濟損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x(元)與年產(chǎn)量t(噸)滿足函數(shù)關(guān)系x2 000.若乙方每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品必須賠付甲方S元(以下稱S為賠付價格)(1)將乙方的年利潤(元)表示為年產(chǎn)量t(噸)的函數(shù)，并求出乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量；(2)甲方每年受乙方生產(chǎn)影響的經(jīng)濟損失金額y0.002t2(元)，在乙方按照獲得最大利潤的產(chǎn)量進行生產(chǎn)的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格S是多少？轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用例(12分)(2010·全國)已知函數(shù)f(x)(x1)ln xx1.(1)若xf(x)x2ax1，求a的取值范圍；(2)證明：(x1)f(x)0.【答題模板】(1)解f(x)ln x1ln x，x>0，xf(x)xln x1.由xf(x)x2ax1，得aln xx，令g(x)ln xx，則g(x)1，2分當0<x<1時，g(x)>0；當x>1時，g(x)<0，4分x1是最大值點，g(x)maxg(1)1，a1，a的取值范圍為1，)6分(2)證明由(1)知g(x)ln xxg(1)1，ln xx10.(注：充分利用(1)是快速解決(2)的關(guān)鍵)8分當0<x<1時，x1<0，f(x)(x1)ln xx1xln xln xx10，(x1)f(x)0.當x1時，x1>0，f(x)(x1)ln xx1ln xxln xx1ln xx0，(x1)f(x)0.11分綜上，(x1)f(x)0.12分【突破思維障礙】本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)、不等式證明等知識，通過運用導數(shù)知識解決函數(shù)、不等式問題，考查了考生綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力以及計算能力，同時也考查了函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想通過轉(zhuǎn)化，本題實質(zhì)還是利用單調(diào)性求最值問題1求極值、最值時，要求步驟規(guī)范，含參數(shù)時，要分類討論參數(shù)的范圍若已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍時，隱含恒成立思想2利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題的一般步驟：(1)分析實際問題中各變量之間的關(guān)系，列出實際問題的數(shù)學模型，寫出相應的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)f(x)；(2)求函數(shù)的導數(shù)f(x)，解方程f(x)0；(3)比較函數(shù)的區(qū)間端點對應的函數(shù)值和極值，確定最值；(4)回到實際問題，作出解答 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2011·皖南模擬)已知曲線C：y2x2x3，點P(0，4)，直線l過點P且與曲線C相切于點Q，則點Q的橫坐標為 ()A1B1C2D22已知函數(shù)yf(x)，yg(x)的導函數(shù)的圖象如圖所示，那么yf(x)，yg(x)的圖象可能是 ()3設(shè)f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，yf(x)的圖象如圖所示，則yf(x)的圖象最有可能是 ()4函數(shù)f(x)x3x2txt在(1,1)上是增函數(shù)，則t的取值范圍是 ()At>5 Bt<5Ct5Dt55(2011·滄州模擬)若函數(shù)f(x)，且0<x1<x2<1，設(shè)a，b，則a，b的大小關(guān)系是 ()Aa>bBa<bCabDa、b的大小不能確定題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6在直徑為d的圓木中，截取一個具有最大抗彎強度的長方體梁，則矩形面的長為_(強度與bh2成正比，其中h為矩形的長，b為矩形的寬)7要建造一個長方體形狀的倉庫，其內(nèi)部的高為3 m，長和寬的和為20 m，則倉庫容積的最大值為_m3.8若函數(shù)f(x)在區(qū)間(m,2m1)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為_三、解答題(共38分)9(12分)已知函數(shù)f(x)(1x)2ln(1x)(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若x1，e1時，f(x)<m恒成立，求m的取值范圍10(12分)(2010·湖北)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x) (0x10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和(1)求k的值及f(x)的表達式；(2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最小，并求最小值11(14分)設(shè)函數(shù)f(x)ln x，g(x)ax，函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點也在函數(shù)g(x)的圖象上，且在此點有公共切線(1)求a、b的值；(2)對任意x>0，試比較f(x)與g(x)的大小答案 自主梳理1(1)連續(xù)(2)極值端點值自我檢測1B2.D3.C4.5.6課堂活動區(qū)例1解題導引求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，首先應判斷函數(shù)在閉區(qū)間上的單調(diào)性，一般方法是令f(x)0，求出x值后，再判斷函數(shù)在各區(qū)間上的單調(diào)性，在這里一般要用到分類討論的思想，討論的標準通常是極值點與區(qū)間端點的大小關(guān)系，確定單調(diào)性或具體情況解f(x)x2eax (a>0)，f(x)2xeaxx2·(a)eaxeax(ax22x)令f(x)>0，即eax(ax22x)>0，得0<x<.f(x)在(，0)，上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)當0<<1，即a>2時，f(x)在1,2上是減函數(shù)，f(x)maxf(1)ea.當12，即1a2時，f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，f(x)maxf4a2e2.當>2，即0<a<1時，f(x)在1,2上是增函數(shù)，f(x)maxf(2)4e2a.綜上所述，當0<a<1時，f(x)的最大值為4e2a；當1a2時，f(x)的最大值為4a2e2；當a>2時，f(x)的最大值為ea.變式遷移1解(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)a·(a>0)，由f(x)a·>0，得0<x<e；由f(x)<0，得x>e.故f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減(2)f(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，在(e，)上單調(diào)遞減，f(x)在a,2a上的最小值f(x)minminf(a)，f(2a)f(a)f(2a)ln，當0<a2時，f(x)minln a；當a>2時，f(x)min.例2解題導引利用導數(shù)解決不等式問題的主要方法就是構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的性質(zhì)進而解決不等式問題(1)解f(x)x(x>0)，若a0時，f(x)>0恒成立，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0，)若a>0時，令f(x)>0，得x>，函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，)，減區(qū)間為(0，)(2)證明設(shè)F(x)x3(x2ln x)，故F(x)2x2x.F(x).x>1，F(xiàn)(x)>0.F(x)在(1，)上為增函數(shù)又F(x)在(1，)上連續(xù)，F(xiàn)(1)>0，F(xiàn)(x)>在(1，)上恒成立F(x)>0.當x>1時，x2ln x<x3.變式遷移2(1)解由f(x)ex2x2a，xR，知f(x)ex2，xR.令f(x)0，得xln 2.于是當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，ln 2)ln 2(ln 2，)f(x)0f(x)極小值故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，ln 2)，單調(diào)遞增區(qū)間是(ln 2，)，f(x)在xln 2處取得極小值，極小值為f(ln 2)eln 22ln 22a2(1ln 2a)(2)證明設(shè)g(x)exx22ax1，xR.于是g(x)ex2x2a，xR.由(1)知當a>ln 21時，g(x)最小值為g(ln 2)2(1ln 2a)>0.于是對任意xR，都有g(shù)(x)>0，所以g(x)在R內(nèi)單調(diào)遞增，于是當a>ln 21時，對任意x(0，)，都有g(shù)(x)>g(0)而g(0)0，從而對任意x(0，)，都有g(shù)(x)>0，即exx22ax1>0，故ex>x22ax1.例3解(1)分公司一年的利潤L(萬元)與售價x的函數(shù)關(guān)系式為L(x3a)(12x)2，x9,11(2)L(x)(12x)22(x3a)(12x)(12x)(182a3x)令L0，得x6a或x12(不合題意，舍去)3a5，86a.在x6a兩側(cè)L的值由正變負當86a<9，即3a<時，LmaxL(9)(93a)(129)29(6a)當96a，即a5時，LmaxL(6a)(6a3a)12(6a)24(3a)3.所以Q(a)綜上，若3a<，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)9(6a)(萬元)；若a5，則當每件售價為(6a)元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)4(3a)3(萬元)變式遷移3解(1)因為賠付價格為S元/噸，所以乙方的實際年利潤為2 000St.由S，令0，得tt0()2.當t<t0時，>0；當t>t0時，<0.所以當tt0時，取得最大值因此乙方獲得最大利潤的年產(chǎn)量為()2噸(2)設(shè)甲方凈收入為v元，則vSt0.002t2.將t()2代入上式，得到甲方凈收入v與賠付價格S之間的函數(shù)關(guān)系式：v.又v，令v0，得S20.當S<20時，v>0；當S>20時，v<0，所以S20時，v取得最大值因此甲方向乙方要求賠付價格S20元/噸時，可獲得最大凈收入課后練習區(qū)1A2.D3.C4.C5.A6.d解析如圖所示，為圓木的橫截面，由b2h2d2，bh2b(d2b2)設(shè)f(b)b(d2b2)，f(b)3b2d2.令f(b)0，由b>0，bd，且在(0，d)上f(b)>0，在d，d上f(b)<0.函數(shù)f(b)在bd處取極大值，也是最大值，即抗彎強度最大，此時長hd.7300解析設(shè)長為x m，則寬為(20x)m，倉庫的容積為V，則Vx(20x)·33x260x，V6x60，令V0得x10.當0<x<10時，V>0；當x>10時，V<0，x10時，V最大300 (m3)8(1,0解析f(x)0，解得1x1.由已知得(m,2m1)1,1，即，解得1<m0.9解(1)f(x)(1x)2ln(1x)，f(x)(1x)(x>1)(4分)f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，在(1,0)上單調(diào)遞減(6分)(2)令f(x)0，即x0，則x(1,0)0(0，e1)f(x)0f(x)極小值(9分)又f(1)1，f(e1)e21>1，又f(x)<m在x1，e1上恒成立，m>e21.(12分)10解(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費用為C(x)，(2分)再由C(0)8，得k40，因此C(x)，(4分)而建造費用為C1(x)6x.(5分)最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f(x)20C(x)C1(x)20×6x6x (0x10)(6分)(2)f(x)6，令f(x)0，即6，解得x5，x(舍去)(8分)當0<x<5時，f(x)<0，當5<x<10時，f(x)>0，(10分)故x5是f(x)的最小值點，對應的最小值為f(5)6×570.當隔熱層修建5 cm厚時，總費用達到最小值70萬元(12分)11解(1)f(x)ln x的圖象與x軸的交點坐標是(1,0)，依題意，得g(1)ab0.(2分)又f(x)，g(x)a，且f(x)與g(x)在點(1,0)處有公共切線，g(1)f(1)1，即ab1.(4分)由得a，b.(6分)(2)令F(x)f(x)g(x)，則F(x)ln x(x)ln xx，F(xiàn)(x)(1)20.F(x)在(0，)上為減函數(shù)(10分)當0<x<1時，F(xiàn)(x)>F(1)0，即f(x)>g(x)；當x1時，F(xiàn)(1)0，即f(x)g(x)；當x>1時，F(xiàn)(x)<F(1)0，即f(x)<g(x)綜上，0<x<1時，f(x)>g(x)；x1時，f(x)g(x)；x>1時f(x)<g(x)(14分)高考數(shù)學復習精品高考數(shù)學復習精品