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新編高考數(shù)學理一輪資源庫 選修系列學案76不等式選講

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新編高考數(shù)學理一輪資源庫 選修系列學案76不等式選講

新編高考數(shù)學復習資料學案76不等式選講(三)算術(shù)幾何平均不等式與柯西不等式的應(yīng)用導學目標: 1.理解二元柯西不等式的幾種不同形式.2.掌握兩個或三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式.3.會用兩個或三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值自主梳理1算術(shù)幾何平均不等式(1)如果a,b>0,那么_,當且僅當ab時,等號成立(2)如果a,b,c>0,那么_,當且僅當abc時,等號成立(3)對于n個正數(shù)a1,a2,an,它們的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù),即,當且僅當_時等號成立2柯西不等式(1)二維形式:若a,b,c,d都是實數(shù),則(a2b2)(c2d2)_,當且僅當_時,等號成立(2)向量形式:設(shè)、是平面上的兩個向量,則_|,|,當且僅當,共線時等號成立3三角形不等式設(shè)x1,y1,x2,y2,x3,y3R,那么.自我檢測1若x,y(0,),且xys,xyp,則下列命題中正確的序號是_當且僅當xy時,s有最小值2;當且僅當xy時,p有最大值;當且僅當p為定值時,s有最小值2;若s為定值,則當且僅當xy時,p有最大值.2若x,yR,且滿足x3y2,則3x27y1的最小值是_3(2011·湖南)設(shè)x,yR,且xy0,則(x2)(4y2)的最小值為_4函數(shù)y33x(x<0)的最大值為_5若a,bR,且a2b210,則ab的取值范圍為_探究點一利用柯西不等式求最值例1 已知x,y,a,bR,且1,求xy的最小值變式遷移1 若2x3y1,求4x29y2的最小值探究點二利用算術(shù)幾何平均不等式求最值例2 如圖(1),將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形,再沿虛線折起,做成一個無蓋的正六棱柱容器(圖(2)當這個正六棱柱容器的底面邊長為多少時,容積最大,并求出最大容積變式遷移2 用一塊鋼錠燒鑄一個厚度均勻,且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖),設(shè)容器高為h米,蓋子邊長為a米(1)求a關(guān)于h的解析式;(2)設(shè)容器的容積為V立方米,則當h為何值時,V最大?求出V的最大值(求解本題時,不計容器厚度)探究點三不等式的證明例3 (1)已知a、b、c為正數(shù),且滿足acos2bsin2<c.求證:cos2sin2<.(2)設(shè)a、b、cR,求證:()(abc)227.變式遷移3 設(shè)a、b、cR,求證:(abc)().1從形式結(jié)構(gòu)上看,柯西不等式可簡記為“方和積大于積和方”,相比算術(shù)幾何平均不等式而言,不要求各項均是正數(shù),從而使用更廣泛,在使用柯西不等式證明不等式和求最值時,要注意與柯西不等式的一般形式比較,根據(jù)需要,構(gòu)造“積和方”或“方和積”柯西不等式等號成立的條件比較特殊,要牢記2應(yīng)用算術(shù)幾何平均不等式求最值,要積極創(chuàng)造條件,合理拆添項或配湊因式是常用的解題技巧,而拆與湊的前提在于“和定積最大,積定和最小”,注意滿足“一正二定三相等”三個條件,缺一不可3利用不等式解決實際問題,首先要認真審題,分清題意,建立合理的不等式模型或函數(shù)模型,最終通過解不等式或算術(shù)幾何平均不等式實施解題(滿分:90分)一、填空題(每小題6分,共48分)1若x>1,則函數(shù)yx的最小值為_2函數(shù)y(x<0)的值域是_3函數(shù)yx2(2x)(0x)的最大值為_4設(shè)a>b>c,nN*,且恒成立,則n的最大值是_5若3x4y2,則x2y2的最小值為_6函數(shù)y的最大值為_7函數(shù)yloga(x3)1(a>0,a1)的圖象恒過定點A,若點A在直線mxny10上,其中m,n>0,則的最小值為_8設(shè)實數(shù)x,y滿足3x22y26,則p2xy的最大值是_二、解答題(共42分)9(12分)設(shè)a,b,c為正數(shù),求證:(abc)(a2b2c2)9abc.10(14分)設(shè)x、y均大于0,且xy1,求證:(x)2(y)2.11(16分)某養(yǎng)殖廠需要定期購買飼料,已知該廠每天需要飼料200公斤,每公斤飼料的價格為1.8元,飼料的保管與其他費用為平均每公斤每天0.03元,購買飼料每次支付運費300元,求該廠多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的費用最小學案76不等式選講(三)算術(shù)幾何平均不等式與柯西不等式的應(yīng)用答案自主梳理1(1)(2)(3)a1a2an2(1)(acbd)2adbc(2)|自我檢測1解析x,y(0,),xy2,又xys,xyp,當s一定,即xy時,p有最大值;當p一定,即xy時,s有最小值2.27解析3x27y121217,當且僅當“3x27y”即x3y且x3y2時,上式取“”,此時x1,y.39解析(x2)(4y2)54x2y2529,當且僅當x2y2時“”成立432解析x<0,y33x3(3x)()32.當且僅當3x,即x時取等號當x時,函數(shù)y33x有最大值32.52,2解析由柯西不等式得,12(1)2(a2b2)(ab)2,(ab)220,2ab2,當且僅當“ba”時上式“”成立由得,或.課堂活動區(qū)例1 解題導引由于1,則可以構(gòu)造xy()2()2()2()2()2的形式,從而利用柯西不等式求出最值利用柯西不等式求最值,實際上就是利用柯西不等式進行放縮,但放縮時要注意等號成立的條件是否符合題意解x,y,a,bR,1,xy()2()2()2()2()2.當且僅當··,即時取等號(xy)min()2.變式遷移1 解由柯西不等式得:(4x29y2)(1212)(2x3y)21.4x29y2.當且僅當2x×13y×1,即2x3y時取等號由得.4x29y2的最小值為.例2 解題導引運用算術(shù)幾何平均不等式解決應(yīng)用問題的步驟是:(1)弄清量與量之間的關(guān)系,將要求最大值(或最小值)的變量表示為其他變量的函數(shù);(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式,把實際問題抽象為數(shù)學中的最值問題;(3)在定義域內(nèi)求函數(shù)的最值;(4)根據(jù)實際意義寫出正確答案解如圖,設(shè)正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的邊長為x(0<x<1),則OB1B1B2x.由A1A2A3A4A5A6的邊長為1,得OA1A1A21,所以A1B1OA1OB11x.作B1C1A1A2于C1.在RtA1B1C1中,B1A1C160°,則容器的高B1C1A1B1sin 60°(1x)于是容器的容積為Vf(x)Sh(6·x2)·(1x)x2(1x)(0<x<1)則f(x)x2(1x)·x·x·(22x)·3.當且僅當x22x,即x時,Vmax.故當正六棱柱容器的底面邊長為時,最大容積為.變式遷移2 解(1)設(shè)h是正四棱錐的斜高,由題設(shè)可得:,消去h.解得:a(h>0)(2)由Va2h(h>0),得:V,而h22.所以0<V,當且僅當h,即h1時取等號故當h1米時,V有最大值,V的最大值為立方米例3 證明(1)由柯西不等式可得cos2sin2(cos )2(bsin )2(cos2sin2)(acos2bsin2)<.(2)a,b,cR,abc3>0,從而(abc)29>0,又3>0,()(abc)23·927.當且僅當abc時,等號成立變式遷移3 證明a,b,cR,(ab)(bc)(ca)3>0,3>0,(abc)().當且僅當abc時,等號成立課后練習區(qū)18解析yx28.當且僅當,即x2時等號成立23,0)解析y.x(x)()2.x11.0>3,即3y<0.原函數(shù)的值域為3,0)3.解析yx2(2x)x·x(2x),0x,2x0,y3.當且僅當xx2x,即x時,ymax.44解析2224,4,.又恒成立,又a>c,ac>0,4n,即n4.5.解析柯西不等式(3242)(x2y2)(3x4y)2,得25(x2y2)4,所以x2y2.不等式中當且僅當時等號成立,x2y2取得最小值,解方程組得因此當x,y時,x2y2取得最小值,最小值為.6.解析函數(shù)的定義域為1,6y2()2(×1×)2()212×()2()23×515.y215.y.當且僅當×1×,即x時等號成立原函數(shù)的最大值為.78解析函數(shù)yloga(x3)1(a>0,a1)的圖象恒過定點A(2,1)則(2)m(1)·n10,2mn1,m,n>0.()·(2mn)4428,(m,n時取等號)即的最小值為8.8.解析(3x22y2)()2()2(2xy)2,(2xy)2×611.2xy,當且僅當時,上式取“”即或.x,y時,Pmax.9證明由算術(shù)幾何平均不等式可得:abc3,a2b2c23,相乘得(abc)(a2b2c2)9abc即為所證結(jié)論(12分)10證明方法一要證(x)2(y)2,只需證x2y24.(3分)xy1,即要證(12xy),即要證4x3y315x2y24xy20,(5分)即要證(4xy1)(x2y24xy2)0,(8分)即要證4xy(xy)2(x2y24xy2)0,(10分)即要證(xy)2(x2y24xy2)0.(12分)x、y均大于0,xy1,故上式成立故所證不等式(x)2(y)2成立(14分)方法二xy1,xy()2,4.(4分)又(1212)(x)2(y)2(xy)2(8分)(xy)2(1)2(14)225.(12分)即2(x)2(y)225.(x)2(y)2.(14分)11解設(shè)該廠應(yīng)隔x(xN*)天購買一次飼料,平均每天支付的費用為y.飼料的保管與其他費用每天比前一天少200×0.036(元),(2分)x天飼料的保管與其他費用共是:6(x1)6(x2)63x23x(元)(8分)從而有y(3x23x300)200×1.83x357417.(14分)當且僅當3x,即x10時,y有最小值417.即每隔10天購買一次飼料才能使平均每天支付的費用最小(16分)

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