新編高考數(shù)學理一輪資源庫 選修系列學案76不等式選講

新編高考數(shù)學復習資料學案76不等式選講(三)算術(shù)幾何平均不等式與柯西不等式的應(yīng)用導學目標： 1.理解二元柯西不等式的幾種不同形式.2.掌握兩個或三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式.3.會用兩個或三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式、柯西不等式求一些特定函數(shù)的最值自主梳理1算術(shù)幾何平均不等式(1)如果a，b>0，那么_，當且僅當ab時，等號成立(2)如果a，b，c>0，那么_，當且僅當abc時，等號成立(3)對于n個正數(shù)a1，a2，an，它們的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，即，當且僅當_時等號成立2柯西不等式(1)二維形式：若a，b，c，d都是實數(shù)，則(a2b2)(c2d2)_，當且僅當_時，等號成立(2)向量形式：設(shè)、是平面上的兩個向量，則_|，|，當且僅當，共線時等號成立3三角形不等式設(shè)x1，y1，x2，y2，x3，y3R，那么.自我檢測1若x，y(0，)，且xys，xyp，則下列命題中正確的序號是_當且僅當xy時，s有最小值2；當且僅當xy時，p有最大值；當且僅當p為定值時，s有最小值2；若s為定值，則當且僅當xy時，p有最大值.2若x，yR，且滿足x3y2，則3x27y1的最小值是_3(2011·湖南)設(shè)x，yR，且xy0，則(x2)(4y2)的最小值為_4函數(shù)y33x(x<0)的最大值為_5若a，bR，且a2b210，則ab的取值范圍為_探究點一利用柯西不等式求最值例1 已知x，y，a，bR，且1，求xy的最小值變式遷移1 若2x3y1，求4x29y2的最小值探究點二利用算術(shù)幾何平均不等式求最值例2 如圖(1)，將邊長為1的正六邊形鐵皮的六個角各切去一個全等的四邊形，再沿虛線折起，做成一個無蓋的正六棱柱容器(圖(2)當這個正六棱柱容器的底面邊長為多少時，容積最大，并求出最大容積變式遷移2 用一塊鋼錠燒鑄一個厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如圖)，設(shè)容器高為h米，蓋子邊長為a米(1)求a關(guān)于h的解析式；(2)設(shè)容器的容積為V立方米，則當h為何值時，V最大？求出V的最大值(求解本題時，不計容器厚度)探究點三不等式的證明例3 (1)已知a、b、c為正數(shù)，且滿足acos2bsin2<c.求證：cos2sin2<.(2)設(shè)a、b、cR，求證：()(abc)227.變式遷移3 設(shè)a、b、cR，求證：(abc)().1從形式結(jié)構(gòu)上看，柯西不等式可簡記為“方和積大于積和方”，相比算術(shù)幾何平均不等式而言，不要求各項均是正數(shù)，從而使用更廣泛，在使用柯西不等式證明不等式和求最值時，要注意與柯西不等式的一般形式比較，根據(jù)需要，構(gòu)造“積和方”或“方和積”柯西不等式等號成立的條件比較特殊，要牢記2應(yīng)用算術(shù)幾何平均不等式求最值，要積極創(chuàng)造條件，合理拆添項或配湊因式是常用的解題技巧，而拆與湊的前提在于“和定積最大，積定和最小”，注意滿足“一正二定三相等”三個條件，缺一不可3利用不等式解決實際問題，首先要認真審題，分清題意，建立合理的不等式模型或函數(shù)模型，最終通過解不等式或算術(shù)幾何平均不等式實施解題(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1若x>1，則函數(shù)yx的最小值為_2函數(shù)y(x<0)的值域是_3函數(shù)yx2(2x)(0x)的最大值為_4設(shè)a>b>c，nN*，且恒成立，則n的最大值是_5若3x4y2，則x2y2的最小值為_6函數(shù)y的最大值為_7函數(shù)yloga(x3)1(a>0，a1)的圖象恒過定點A，若點A在直線mxny10上，其中m，n>0，則的最小值為_8設(shè)實數(shù)x，y滿足3x22y26，則p2xy的最大值是_二、解答題(共42分)9(12分)設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：(abc)(a2b2c2)9abc.10(14分)設(shè)x、y均大于0，且xy1，求證：(x)2(y)2.11(16分)某養(yǎng)殖廠需要定期購買飼料，已知該廠每天需要飼料200公斤，每公斤飼料的價格為1.8元，飼料的保管與其他費用為平均每公斤每天0.03元，購買飼料每次支付運費300元，求該廠多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的費用最小學案76不等式選講(三)算術(shù)幾何平均不等式與柯西不等式的應(yīng)用答案自主梳理1(1)(2)(3)a1a2an2(1)(acbd)2adbc(2)|自我檢測1解析x，y(0，)，xy2，又xys，xyp，當s一定，即xy時，p有最大值；當p一定，即xy時，s有最小值2.27解析3x27y121217，當且僅當“3x27y”即x3y且x3y2時，上式取“”，此時x1，y.39解析(x2)(4y2)54x2y2529，當且僅當x2y2時“”成立432解析x<0，y33x3(3x)()32.當且僅當3x，即x時取等號當x時，函數(shù)y33x有最大值32.52，2解析由柯西不等式得，12(1)2(a2b2)(ab)2，(ab)220，2ab2，當且僅當“ba”時上式“”成立由得，或.課堂活動區(qū)例1 解題導引由于1，則可以構(gòu)造xy()2()2()2()2()2的形式，從而利用柯西不等式求出最值利用柯西不等式求最值，實際上就是利用柯西不等式進行放縮，但放縮時要注意等號成立的條件是否符合題意解x，y，a，bR，1，xy()2()2()2()2()2.當且僅當··，即時取等號(xy)min()2.變式遷移1 解由柯西不等式得：(4x29y2)(1212)(2x3y)21.4x29y2.當且僅當2x×13y×1，即2x3y時取等號由得.4x29y2的最小值為.例2 解題導引運用算術(shù)幾何平均不等式解決應(yīng)用問題的步驟是：(1)弄清量與量之間的關(guān)系，將要求最大值(或最小值)的變量表示為其他變量的函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為數(shù)學中的最值問題；(3)在定義域內(nèi)求函數(shù)的最值；(4)根據(jù)實際意義寫出正確答案解如圖，設(shè)正六棱柱的底面B1B2B3B4B5B6的邊長為x(0<x<1)，則OB1B1B2x.由A1A2A3A4A5A6的邊長為1，得OA1A1A21，所以A1B1OA1OB11x.作B1C1A1A2于C1.在RtA1B1C1中，B1A1C160°，則容器的高B1C1A1B1sin 60°(1x)于是容器的容積為Vf(x)Sh(6·x2)·(1x)x2(1x)(0<x<1)則f(x)x2(1x)·x·x·(22x)·3.當且僅當x22x，即x時，Vmax.故當正六棱柱容器的底面邊長為時，最大容積為.變式遷移2 解(1)設(shè)h是正四棱錐的斜高，由題設(shè)可得：，消去h.解得：a(h>0)(2)由Va2h(h>0)，得：V，而h22.所以0<V，當且僅當h，即h1時取等號故當h1米時，V有最大值，V的最大值為立方米例3 證明(1)由柯西不等式可得cos2sin2(cos )2(bsin )2(cos2sin2)(acos2bsin2)<.(2)a，b，cR，abc3>0，從而(abc)29>0，又3>0，()(abc)23·927.當且僅當abc時，等號成立變式遷移3 證明a，b，cR，(ab)(bc)(ca)3>0，3>0，(abc)().當且僅當abc時，等號成立課后練習區(qū)18解析yx28.當且僅當，即x2時等號成立23,0)解析y.x(x)()2.x11.0>3，即3y<0.原函數(shù)的值域為3,0)3.解析yx2(2x)x·x(2x)，0x，2x0，y3.當且僅當xx2x，即x時，ymax.44解析2224，4，.又恒成立，又a>c，ac>0，4n，即n4.5.解析柯西不等式(3242)(x2y2)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.不等式中當且僅當時等號成立，x2y2取得最小值，解方程組得因此當x，y時，x2y2取得最小值，最小值為.6.解析函數(shù)的定義域為1,6y2()2(×1×)2()212×()2()23×515.y215.y.當且僅當×1×，即x時等號成立原函數(shù)的最大值為.78解析函數(shù)yloga(x3)1(a>0，a1)的圖象恒過定點A(2，1)則(2)m(1)·n10,2mn1，m，n>0.()·(2mn)4428，(m，n時取等號)即的最小值為8.8.解析(3x22y2)()2()2(2xy)2，(2xy)2×611.2xy，當且僅當時，上式取“”即或.x，y時，Pmax.9證明由算術(shù)幾何平均不等式可得：abc3，a2b2c23，相乘得(abc)(a2b2c2)9abc即為所證結(jié)論(12分)10證明方法一要證(x)2(y)2，只需證x2y24.(3分)xy1，即要證(12xy)，即要證4x3y315x2y24xy20，(5分)即要證(4xy1)(x2y24xy2)0，(8分)即要證4xy(xy)2(x2y24xy2)0，(10分)即要證(xy)2(x2y24xy2)0.(12分)x、y均大于0，xy1，故上式成立故所證不等式(x)2(y)2成立(14分)方法二xy1，xy()2，4.(4分)又(1212)(x)2(y)2(xy)2(8分)(xy)2(1)2(14)225.(12分)即2(x)2(y)225.(x)2(y)2.(14分)11解設(shè)該廠應(yīng)隔x(xN*)天購買一次飼料，平均每天支付的費用為y.飼料的保管與其他費用每天比前一天少200×0.036(元)，(2分)x天飼料的保管與其他費用共是：6(x1)6(x2)63x23x(元)(8分)從而有y(3x23x300)200×1.83x357417.(14分)當且僅當3x，即x10時，y有最小值417.即每隔10天購買一次飼料才能使平均每天支付的費用最小(16分)