2019-2020年人教A版高中數學 高三一輪（文） 第九章 9-3幾何概型《教案》.doc

2019-2020年人教A版高中數學 高三一輪（文） 第九章 9-3幾何概型教案1幾何概型設D是一個可度量的區(qū)域(例如線段、平面圖形、立體圖形等)，每個基本事件可以視為從區(qū)域D內隨機地取一點，區(qū)域D內的每一點被取到的機會都一樣；隨機事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內的某個指定區(qū)域d中的點這時，事件A發(fā)生的概率與d的測度(長度、面積、體積等)成正比，與d的形狀和位置無關把滿足這樣條件的概率模型稱為幾何概型2在幾何概型中，事件A的概率計算公式P(A).3幾何概型試驗的兩個基本特點(1)無限性：在一次試驗中，可能出現的結果有無限多個；(2)等可能性：每個結果的發(fā)生具有等可能性【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)在一個正方形區(qū)域內任取一點的概率是零()(2)幾何概型中，每一個基本事件就是從某個特定的幾何區(qū)域內隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形()(4)與面積有關的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關()(5)從區(qū)間1,10內任取一個數，取到1的概率是P.()1在線段0,3上任投一點，則此點坐標小于1的概率為_答案解析坐標小于1的區(qū)間為0,1，長度為1，0,3區(qū)間長度為3，故所求概率為.2(xx遼寧改編)若將一個質點隨機投入如圖所示的長方形ABCD中，其中AB2，BC1，則質點落在以AB為直徑的半圓內的概率是_答案解析設質點落在以AB為直徑的半圓內為事件A，則P(A).3(xx福建)如圖，在邊長為1的正方形中隨機撒1 000粒豆子，有180粒落到陰影部分，據此估計陰影部分的面積為_答案0.18解析由題意知，這是個幾何概型問題，0.18，S正1，S陰0.18.4(xx山東)在區(qū)間3,3上隨機取一個數x使得|x1|x2|1成立的概率為_答案解析由絕對值的幾何意義知：使|x1|x2|1成立的x值為x1,3，由幾何概型知所求概率為P.題型一與長度、角度有關的幾何概型例1(1)在區(qū)間1,1上隨機取一個數x，求cos x的值介于0到之間的概率(2)如圖所示，在ABC中，B60，C45，高AD，在BAC內作射線AM交BC于點M，求BM<1的概率解(1)如圖，由函數ycos x的圖象知，當1<x<或<x<1時，0<cos x<.由概率的幾何概型知：cos x的值介于0到之間的概率為.(2)因為B60，C45，所以BAC75，在RtABD中，AD，B60，所以BD1，BAD30.記事件N為“在BAC內作射線AM交BC于點M，使BM<1”，則可得BAM<BAD時事件N發(fā)生由幾何概型的概率公式，得P(N).思維升華幾何概型有兩個特點：一是無限性；二是等可能性基本事件可以抽象為點，盡管這些點是無限的，但它們所占據的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率(1)(xx湖南改編)在區(qū)間2,3上隨機選取一個數X，則X1的概率為_(2)在半徑為1的圓內的一條直徑上任取一點，過這個點作垂直于直徑的弦，則弦長超過圓內接等邊三角形邊長的概率是_答案(1)(2)解析(1)在區(qū)間2,3上隨機選取一個數X，則X1，即2X1的概率為P.(2)記事件A為“弦長超過圓內接等邊三角形的邊長”，如圖，不妨在過等邊三角形BCD的頂點B的直徑BE上任取一點F作垂直于直徑的弦，當弦為CD時，就是等邊三角形的邊長(此時F為OE中點)，弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF，由幾何概型公式得：P(A).題型二與面積、體積有關的幾何概型例2(1)設不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是_(2)有一個底面圓的半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為_思維點撥求隨機點所在區(qū)域與所有區(qū)域的面積或體積比答案(1)(2)解析(1)如圖所示，正方形OABC及其內部為不等式組表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表示的是區(qū)域D內到坐標原點的距離大于2的區(qū)域易知該陰影部分的面積為4.因此滿足條件的概率是.(2)先求點P到點O的距離小于或等于1的概率，圓柱的體積V圓柱1222，以O為球心，1為半徑且在圓柱內部的半球的體積V半球13.則點P到點O的距離小于或等于1的概率為，故點P到點O的距離大于1的概率為1.思維升華數形結合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的方法用圖解題的關鍵：用圖形準確表示出試驗的全部結果所構成的區(qū)域，由題意將已知條件轉化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，通用公式：P(A).(1)在區(qū)間，內隨機取出兩個數分別記為a，b，則函數f(x)x22axb22有零點的概率為_(2)在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，點O為底面ABCD的中心，在正方體ABCDA1B1C1D1 內隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為_答案(1)1(2)1解析(1)由函數f(x)x22axb22有零點，可得(2a)24(b22)0，整理得a2b22，如圖所示，(a，b)可看成坐標平面上的點，試驗的全部結果構成的區(qū)域為(a，b)|a，b，其面積S(2)242.事件A表示函數f(x)有零點，所構成的區(qū)域為M(a，b)|a2b22，即圖中陰影部分，其面積為SM423，故P(A)1.(2)V正238，V半球13，故點P到O的距離大于1的概率為1.題型三生活中的幾何概型問題例3甲、乙兩船駛向一個不能同時停泊兩艘船的碼頭，它們在一晝夜內到達該碼頭的時刻是等可能的如果甲船停泊時間為1 h，乙船停泊時間為2 h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率思維點撥當基本事件受兩個連續(xù)變量控制時，一般是把兩個連續(xù)變量分別作為一個點的橫坐標和縱坐標，這樣基本事件就構成了平面上的一個區(qū)域，即可借助平面區(qū)域解決解這是一個幾何概型問題設甲、乙兩艘船到達碼頭的時刻分別為x與y，A為“兩船都不需要等待碼頭空出”，則0x24,0y24，要使兩船都不需要等待碼頭空出，當且僅當甲比乙早到達1 h以上或乙比甲早到達2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件構成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24A為圖中陰影部分，全部結果構成集合為邊長是24的正方形及其內部所求概率為P(A).思維升華生活中的幾何概型度量區(qū)域的構造方法：(1)審題：通過閱讀題目，提煉相關信息(2)建模：利用相關信息的特征，建立概率模型(3)解模：求解建立的數學模型(4)結論：將解出的數學模型的解轉化為題目要求的結論(xx重慶)某校早上8：00開始上課，假設該校學生小張與小王在早上7：307：50之間到校，且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的，則小張比小王至少早5分鐘到校的概率為_(用數字作答)答案解析在平面直角坐標系中畫出由小王(x)和小張(y)到校的時間對應的點(x，y)所構成的平面區(qū)域，再畫出小張比小王至少早到5分鐘對應的點(x，y)所構成的平面區(qū)域，計算出兩區(qū)域的面積，利用幾何概型的概率公式計算即可設小王到校時間為x，小張到校時間為y，則小張比小王至少早到5分鐘時滿足xy5.如圖，原點O表示7：30，在平面直角坐標系中畫出小王和小張到校的時間構成的平面區(qū)域(圖中正方形區(qū)域)，該正方形區(qū)域的面積為400，小張比小王至少早到5分鐘對應的圖形(圖中陰影部分)的面積為1515，故所求概率P.混淆長度型與面積型幾何概型致誤典例：在長度為1的線段上任取兩點，將線段分成三段，試求這三條線段能構成三角形的概率易錯分析不能正確理解題意，無法找出準確的幾何度量來計算概率規(guī)范解答解設x、y表示三段長度中的任意兩個因為是長度，所以應有0<x<1,0<y<1,0<xy<1，即(x，y)對應著坐標系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)為頂點的三角形內的點，如圖所示要形成三角形，由構成三角形的條件知所以x<，y<，且xy>，故圖中陰影部分符合構成三角形的條件因為陰影部分的三角形的面積占大三角形面積的，故這三條線段能構成三角形的概率為.溫馨提醒解決幾何概型問題的易誤點：(1)不能正確判斷事件是古典概型還是幾何概型，導致錯誤(2)利用幾何概型的概率公式時，忽視驗證事件是否具有等可能性，導致錯誤方法與技巧1區(qū)分古典概型和幾何概型最重要的是看基本事件的個數是有限個還是無限個2轉化思想的應用對一個具體問題，可以將其幾何化，如建立坐標系將試驗結果和點對應，然后利用幾何概型概率公式(1)一般地，一個連續(xù)變量可建立與長度有關的幾何概型，只需把這個變量放在坐標軸上即可；(2)若一個隨機事件需要用兩個變量來描述，則可用這兩個變量的有序實數對來表示它的基本事件，然后利用平面直角坐標系就能順利地建立與面積有關的幾何概型；(3)若一個隨機事件需要用三個連續(xù)變量來描述，則可用這三個變量組成的有序數組來表示基本事件，利用空間直角坐標系建立與體積有關的幾何概型失誤與防范1準確把握幾何概型的“測度”是解題關鍵2幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內不影響所求結果.A組專項基礎訓練(時間：35分鐘)1(xx陜西改編)從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為_答案解析取兩個點的所有情況為10種，所有距離不小于正方形邊長的情況有6種，概率為.2設p在0,5上隨機地取值，則方程x2px0有實根的概率為_答案解析一元二次方程有實數根0，而p24(p1)(p2)，解得p1或p2，故所求概率為P.3在區(qū)間1,4內取一個數x，則2xx2的概率是_答案解析不等式2xx2，可化為x2x20，則1x2，故所求概率為.4已知ABC中，ABC60，AB2，BC6，在BC上任取一點D，則使ABD為鈍角三角形的概率為_答案解析如圖，當BE1時，AEB為直角，則點D在線段BE(不包含B、E點)上時，ABD為鈍角三角形；當BF4時，BAF為直角，則點D在線段CF(不包含C、F點)上時，ABD為鈍角三角形所以ABD為鈍角三角形的概率為.5如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以OA，OB為直徑作兩個半圓在扇形OAB內隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是_答案1解析設分別以OA，OB為直徑的兩個半圓交于點C，OA的中點為D，如圖，連結OC，DC.不妨令OAOB2，則ODDADC1.在以OA為直徑的半圓中，空白部分面積S1111，所以整體圖形中空白部分面積S22.又因為S扇形OAB22，所以陰影部分面積為S32.所以P1.6已知集合A|，nZ，若從A中任取一個元素均可作為直線l的傾斜角，則直線的斜率小于零的概率是_答案解析由于傾斜角范圍為0，)，故當0n8時，集合A中共有9個解，分別為0，.其中當為，時，此時為鈍角，直線l的斜率小于零故直線l的斜率小于零的概率P.7(xx湖北)在區(qū)間2,4上隨機地取一個數x，若x滿足|x|m的概率為，則m_.答案3解析由|x|m，得mxm.當m2時，由題意得，解得m2.5，矛盾，舍去當2<m<4時，由題意得，解得m3.即m的值為3.8在區(qū)間1,5和2,4上分別各取一個數，記為m和n，則方程1表示焦點在x軸上的橢圓的概率是_答案解析方程1表示焦點在x軸上的橢圓，m>n.如圖，由題意知，在矩形ABCD內任取一點Q(m，n)，點Q落在陰影部分的概率即為所求的概率，易知直線mn恰好將矩形平分，所求的概率為P.9小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書則小波周末不在家看書的概率為_答案解析去看電影的概率P1，去打籃球的概率P2，不在家看書的概率為P.10已知向量a(2,1)，b(x，y)(1)若x，y分別表示將一枚質地均勻的正方體骰子(六個面的點數分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時第一次、第二次出現的點數，求滿足ab1的概率；(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，求滿足ab<0的概率解(1)將一枚質地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數為6636(個)；由ab1有2xy1，所以滿足ab1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個；故滿足ab1的概率為.(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，則全部基本事件的結果為(x，y)|1x6,1y6；滿足ab<0的基本事件的結果為A(x，y)|1x6,1y6且2xy<0；畫出圖形如圖，矩形的面積為S矩形25，陰影部分的面積為S陰影252421，故滿足ab<0的概率為.B組專項能力提升(時間：25分鐘)1(xx湖北改編)由不等式組確定的平面區(qū)域記為1，不等式組確定的平面區(qū)域為2，在1中隨機取一點，則該點恰好在2內的概率為_答案解析如圖，平面區(qū)域1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域2與平面區(qū)域1的重疊部分就是區(qū)域OACD，易知C(，)，故由幾何概型的概率公式，得所求概率P.2一個長方體空屋子，長，寬，高分別為5米，4米，3米，地面三個角上各裝有一個捕蠅器(大小忽略不計)，可捕捉距其一米空間內的蒼蠅，若一只蒼蠅從位于另外一角處的門口飛入，并在房間內盤旋，則蒼蠅被捕捉的概率是_答案解析屋子的體積為54360米3，捕蠅器能捕捉到的空間體積為133.故蒼蠅被捕捉的概率是.3.已知點A在坐標原點，點B在直線y1上，點C(3,4)，若AB，則ABC的面積大于5的概率是_答案解析設B(x,1)，根據題意知點D(，1)，若ABC的面積小于或等于5，則DB45，即DB，此時點B的橫坐標x，而AB，所以點B的橫坐標x3,3，所以ABC的面積小于或等于5的概率為P，所以ABC的面積大于5的概率是1P.4在面積為S的ABC內部任取一點P，PBC的面積大于的概率為_答案解析如圖，假設當點P落在EF上時(EFBC)，恰好滿足PBC的面積等于，作PGBC，AHBC，則易知.符合要求的點P可以落在AEF內的任意處，其概率為P.5平面內有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3 cm，把一枚半徑為1 cm的硬幣任意投擲在這個平面內，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是_答案解析如圖所示，當硬幣中心落在陰影區(qū)域時，硬幣不與任何一條平行線相碰，故所求概率為.6設f(x)和g(x)是定義在同一區(qū)間上的兩個函數若對任意x1,2，都有|f(x)g(x)|8，則稱f(x)和g(x)是“友好函數”設f(x)ax，g(x).(1)若a1,4，b1,1,4，求f(x)和g(x)是“友好函數”的概率(2)若a1,4，b1,4，求f(x)和g(x)是“友好函數”的概率解(1)設事件A表示f(x)和g(x)是“友好函數”，則|f(x)g(x)|(x1,2)所有的情況有：x，x，x，4x，4x，4x，共6種且每種情況被取到的可能性相同又當a>0，b>0時，yax在(0，)上遞減，在(，)上遞增；且yx和y4x在(0，)上遞增，對x1,2可使|f(x)g(x)|8恒成立的情況有x，x，x，4x，故事件A包含的基本事件有4種，P(A)，故所求概率是.(2)設事件B表示f(x)和g(x)是“友好函數”，a是從區(qū)間1,4中任取的數，b是從區(qū)間1,4中任取的數，點(a，b)所在的區(qū)域是長為3，寬為3的矩形區(qū)域要使x1,2時，|f(x)g(x)|8恒成立，需f(1)g(1)ab8且f(2)g(2)2a8，事件B表示的點的區(qū)域是如圖所示的陰影部分矩形區(qū)域的面積S339，陰影部分的面積S陰(2)3，根據幾何概型的概率公式可得所求概率為P.