新版高三數(shù)學(xué) 第21練 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題練習(xí)

1 1第21練 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題訓(xùn)練目標(biāo)(1)利用導(dǎo)數(shù)處理與不等式有關(guān)的題型；(2)解題步驟的規(guī)范訓(xùn)練訓(xùn)練題型(1)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式；(2)利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題及存在性問題；(3)利用導(dǎo)數(shù)證明與數(shù)列有關(guān)的不等式解題策略(1)構(gòu)造與所證不等式相關(guān)的函數(shù)；(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性或者最值再證明不等式；(3)處理恒成立問題注意參變量分離.1.已知函數(shù)f(x)x2axalnx(aR)(1)若函數(shù)f(x)在x1處取得極值，求a的值；(2)在(1)的條件下，求證：f(x)4x.2(20xx·煙臺模擬)已知函數(shù)f(x)x2ax，g(x)lnx，h(x)f(x)g(x)(1)若函數(shù)yh(x)的單調(diào)減區(qū)間是，求實數(shù)a的值；(2)若f(x)g(x)對于定義域內(nèi)的任意x恒成立，求實數(shù)a的取值范圍3(20xx·山西四校聯(lián)考)已知f(x)lnxxa1.(1)若存在x(0，)，使得f(x)0成立，求a的取值范圍；(2)求證：在(1)的條件下，當(dāng)x>1時，x2axa>xlnx成立4.已知函數(shù)f(x)(2a)lnx2ax.(1)當(dāng)a<0時，討論f(x)的單調(diào)性；(2)若對任意的a(3，2)，x1，x21,3，恒有(mln 3)a2ln 3>|f(x1)f(x2)|成立，求實數(shù)m的取值范圍5(20xx·福州質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)exax1.(1)當(dāng)a>0時，設(shè)函數(shù)f(x)的最小值為g(a)，求證：g(a)0；(2)求證：對任意的正整數(shù)n，都有1n12n13n1nn1<(n1)n1.答案精析1(1)解f(x)2xa，由題意可得f(1)0，解得a1.經(jīng)檢驗，a1時f(x)在x1處取得極值，所以a1.(2)證明由(1)知，f(x)x2xlnx，令g(x)f(x)3xlnx，由g(x)x23x33(x1)(x>0)，可知g(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)，所以g(x)g(1)0，所以f(x)4x成立2解(1)由題意可知，h(x)x2axlnx(x>0)，由h(x)(x>0)，若h(x)的單調(diào)減區(qū)間是，由h(1)h0，解得a3，而當(dāng)a3時，h(x)(x>0)由h(x)<0，解得x，即h(x)的單調(diào)減區(qū)間是，a3.(2)由題意知x2axlnx(x>0)，ax(x>0)令(x)x(x>0)，則(x)，yx2lnx1在(0，)上是增函數(shù)，且x1時，y0.當(dāng)x(0,1)時，(x)<0；當(dāng)x(1，)時，(x)>0，即(x)在(0,1)上是減函數(shù)，在(1，)上是增函數(shù)，(x)min(1)1，故a1.即實數(shù)a的取值范圍為(，13(1)解原題即為存在x>0，使得lnxxa10，alnxx1，令g(x)lnxx1，則g(x)1.令g(x)0，解得x1.當(dāng)0<x<1時，g(x)<0，g(x)為減函數(shù)，當(dāng)x>1時，g(x)>0，g(x)為增函數(shù)，g(x)ming(1)0，ag(1)0.故a的取值范圍是0，)(2)證明原不等式可化為x2axxlnxa>0(x>1，a0)令G(x)x2axxlnxa，則G(1)0.由(1)可知xlnx1>0，則G(x)xalnx1xlnx1>0，G(x)在(1，)上單調(diào)遞增，G(x)>G(1)0成立，x2axxlnxa>0成立，即x2axa>xlnx成立4解(1)求導(dǎo)可得f(x)2a，令f(x)0，得x1，x2，當(dāng)a2時，f(x)0，函數(shù)f(x)在定義域(0，)內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)2<a<0時，在區(qū)間(0，)，(，)上f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，在區(qū)間(，)上f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)a<2時，在區(qū)間(0，)，(，)上f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，在區(qū)間(，)上f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增(2)由(1)知當(dāng)a(3，2)時，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,3上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x1,3時，f(x)maxf(1)12a，f(x)minf(3)(2a)ln 36a.問題等價于：對任意的a(3，2)，恒有(mln 3)a2ln 3>12a(2a)ln 36a成立，即am>4a，因為a<0，所以m<4，因為a(3，2)，所以只需m(4)min，所以實數(shù)m的取值范圍為(，5證明(1)由a>0及f(x)exa可得，函數(shù)f(x)在(，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，)上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)的最小值為g(a)f(lna)elnaalna1aalna1，則g(a)lna，故當(dāng)a(0,1)時，g(a)>0；當(dāng)a(1，)時，g(a)<0，從而可知g(a)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，且g(1)0，故g(a)0.(2)由(1)可知，當(dāng)a1時，總有f(x)exx10，當(dāng)且僅當(dāng)x0時等號成立，即當(dāng)x>0時，總有ex>x1.于是，可得(x1)n1<(ex)n1e(n1)x.令x1，即x，可得n1<en；令x1，即x，可得n1<e(n1)；令x1，即x，可得n1<e(n2)；令x1，即x，可得n1<e1.對以上各式求和可得：n1n1n1n1<ene(n1)e(n2)e1<<1.故對任意的正整數(shù)n，都有1n12n13n1nn1<(n1)n1.