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新版高考數(shù)學(xué)理科一輪【學(xué)案13】導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算含答案

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新版高考數(shù)學(xué)理科一輪【學(xué)案13】導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算含答案

1 1第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)案13導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景,理解函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義,理解導(dǎo)函數(shù)的概念了解曲線的切線的概念.2.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義,求函數(shù)yC (C為常數(shù)),yx,yx2,y,y的導(dǎo)數(shù)熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(c,xm (m為有理數(shù)),sin x,cos x,ex,ax,ln x,logax的導(dǎo)數(shù)),能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式及導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(僅限于形如f(axb)的導(dǎo)數(shù)自主梳理1函數(shù)的平均變化率一般地,已知函數(shù)yf(x),x0,x1是其定義域內(nèi)不同的兩點(diǎn),記xx1x0,yy1y0f(x1)f(x0)f(x0x)f(x0),則當(dāng)x0時(shí),商_稱作函數(shù)yf(x)在區(qū)間x0,x0x(或x0x,x0)的平均變化率2函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)(1)定義函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的瞬時(shí)變化率_通常稱為f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù),并記作f(x0),即_(2)幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f(x0)的幾何意義是過曲線yf(x)上點(diǎn)(x0,f(x0)的_導(dǎo)函數(shù)yf(x)的值域即為_3函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)如果函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都是可導(dǎo)的,就說f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),其導(dǎo)數(shù)也是開區(qū)間(a,b)內(nèi)的函數(shù),又稱作f(x)的導(dǎo)函數(shù),記作_4基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式表原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)Cf(x)_f(x)x (Q*)f(x)_ (Q*)F(x)sin xf(x)_F(x)cos xf(x)_f(x)ax (a>0,a1)f(x)_(a>0,a1)f(x)exf(x)_f(x)logax(a>0,a1,且x>0)f(x)_(a>0,a1,且x>0)f(x)ln xf(x)_5導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則(1)f(x)±g(x)_;(2)f(x)g(x)_;(3)_ g(x)06復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則:設(shè)函數(shù)u(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù)ux(x),函數(shù)yf(u)在點(diǎn)x處的對(duì)應(yīng)點(diǎn)u處有導(dǎo)數(shù)yuf(u),則復(fù)合函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x處有導(dǎo)數(shù),且yxyu·ux,或?qū)懽鱢x(x)f(u)(x)自我檢測(cè)1在曲線yx21的圖象上取一點(diǎn)(1,2)及附近一點(diǎn)(1x,2y),則為 ()Ax2Bx2Cx2D2x2設(shè)yx2·ex,則y等于 ()Ax2ex2xB2xexC(2xx2)exD(xx2)·ex3(20xx·全國(guó))若曲線yx在點(diǎn)(a,a)處的切線與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為18,則a等于 ()A64B32C16D84(20xx·臨汾模擬)若函數(shù)f(x)exaex的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù),并且曲線yf(x)的一條切線的斜率是,則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 ()ABln 2C.Dln 25(2009·湖北)已知函數(shù)f(x)f()cos xsin x,則f()_.探究點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例1利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)f(x)在x1處的導(dǎo)數(shù);(2)f(x).變式遷移1求函數(shù)y在x0到x0x之間的平均變化率,并求出其導(dǎo)函數(shù)探究點(diǎn)二導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y(1);(2)y;(3)yxex;(4)ytan x.變式遷移2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)yx2sin x;(2)y3xex2xe;(3)y.探究點(diǎn)三求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例3(20xx·莆田模擬)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y(1sin x)2;(2)y;(3)yln;(4)yxe1cos x.變式遷移3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y;(2)ysin2;(3)yx.探究點(diǎn)四導(dǎo)數(shù)的幾何意義例4已知曲線yx3.(1)求曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程;(2)求曲線過點(diǎn)P(2,4)的切線方程;(3)求滿足斜率為1的曲線的切線方程變式遷移4求曲線f(x)x33x22x過原點(diǎn)的切線方程1準(zhǔn)確理解曲線的切線,需注意的兩個(gè)方面:(1)直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)特征,若直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn),則直線不一定是曲線的切線,同樣,若直線是曲線的切線,則直線也可能與曲線有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)(2)曲線未必在其切線的“同側(cè)”,如曲線yx3在其過(0,0)點(diǎn)的切線y0的兩側(cè)2曲線的切線的求法:若已知曲線過點(diǎn)P(x0,y0),求曲線過點(diǎn)P的切線則需分點(diǎn)P(x0,y0)是切點(diǎn)和不是切點(diǎn)兩種情況求解(1)點(diǎn)P(x0,y0)是切點(diǎn)的切線方程為yy0f(x0)(xx0)(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)不是切點(diǎn)時(shí)可分以下幾步完成:第一步:設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)P(x1,f(x1);第二步:寫出過P(x1,f(x1)的切線方程為yf(x1)f(x1)(xx1);第三步:將點(diǎn)P的坐標(biāo)(x0,y0)代入切線方程求出x1;第四步:將x1的值代入方程yf(x1)f(x1)(xx1)可得過點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程3求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本初等函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運(yùn)算,再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)在求導(dǎo)過程中,要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征,緊扣法則,聯(lián)系基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式,對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)變形 (滿分:75分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1已知函數(shù)f(x)2ln(3x)8x,則 的值為 ()A10B10C20D202(20xx·溫州調(diào)研)如圖是函數(shù)f(x)x2axb的部分圖象,則函數(shù)g(x)ln xf(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是 ()A.B(1,2)C.D(2,3)3若曲線yx4的一條切線l與直線x4y80垂直,則l的方程為 ()A4xy30Bx4y50C4xy30Dx4y304(20xx·遼寧)已知點(diǎn)P在曲線y上,為曲線在點(diǎn)P處的切線的傾斜角,則的取值范圍是 ()A.B.C.D.5(20xx·珠海模擬)在下列四個(gè)函數(shù)中,滿足性質(zhì):“對(duì)于區(qū)間(1,2)上的任意x1,x2 (x1x2),|f(x2)f(x1)|<|x2x1|恒成立”的只有 ()Af(x)Bf(x)|x|Cf(x)2xDf(x)x2題號(hào)12345答案二、填空題(每小題4分,共12分)6一質(zhì)點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng),如果由始點(diǎn)起經(jīng)過t秒后的位移為st3t22t,那么速度為零的時(shí)刻是_7若點(diǎn)P是曲線f(x)x2ln x上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線yx2的最小距離為_8設(shè)點(diǎn)P是曲線yx23x3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則以P為切點(diǎn)的切線中,斜率取得最小值時(shí)的切線方程是_三、解答題(共38分)9(12分)求下列函數(shù)在xx0處的導(dǎo)數(shù)(1)f(x),x02;(2)f(x),x01.10(12分)(20xx·保定模擬)有一個(gè)長(zhǎng)度為5 m的梯子貼靠在筆直的墻上,假設(shè)其下端沿地板以3 m/s的速度離開墻腳滑動(dòng),求當(dāng)其下端離開墻腳1.4 m時(shí),梯子上端下滑的速度11(14分)(20xx·平頂山模擬)已知函數(shù)f(x)x2aln x(aR)(1)若函數(shù)f(x)的圖象在x2處的切線方程為yxb,求a,b的值;(2)若函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù),求a的取值范圍自主梳理1.2.(1)(2)切線的斜率切線斜率的取值范圍3.y或f(x)40x1cos xsin xaxln aex5(1)f(x)±g(x)(2)f(x)g(x)f(x)g(x)(3)自我檢測(cè)1C2.C3.A4.D51解析f(x)f()sin xcos x,f()1.f()1.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)用導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)導(dǎo)數(shù)必須把分式中的分母x這一因式約掉才可能求出極限,所以目標(biāo)就是分子中出現(xiàn)x,從而分子分母相約分(2)第(1)小題中用到的技巧是“分子有理化”“有理化”是處理根式問題常用的方法,有時(shí)用“分母有理化”,有時(shí)用“分子有理化”(3)注意在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)定義式的區(qū)別:;(4)用導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)的步驟為:求函數(shù)的增量y;求平均變化率;化簡(jiǎn)取極限解(1),.(2),.變式遷移1解y,.y'=.例2解題導(dǎo)引求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要準(zhǔn)確地把函數(shù)分割為基本函數(shù)的和、差、積、商及其復(fù)合運(yùn)算,再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù)在求導(dǎo)過程中,要仔細(xì)分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征,緊扣求導(dǎo)法則,聯(lián)系基本函數(shù)求導(dǎo)公式對(duì)于不具備求導(dǎo)法則結(jié)構(gòu)形式的要適當(dāng)恒等變形解(1)y(1),y.(2)y.(3)yxexx(ex)exxexex(x1)(4)y.變式遷移2解(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x.(2)y(3xex)(2x)(e)(3x)ex3x(ex)(2x)3xln 3·ex3xex2xln 2(ln 31)(3e)x2xln 2.(3)y.例3解題導(dǎo)引(1)求復(fù)合函數(shù)導(dǎo)數(shù)的思路流程為:(2)由復(fù)合函數(shù)的定義可知,中間變量的選擇應(yīng)是基本函數(shù)的結(jié)構(gòu),解這類問題的關(guān)鍵是正確分析函數(shù)的復(fù)合層次,一般是從最外層開始,由外向內(nèi),一層一層地分析,把復(fù)合函數(shù)分解成若干個(gè)常見的基本函數(shù),逐步確定復(fù)合過程解(1)y(1sin x)22(1sin x)·(1sin x)2(1sin x)·cos x2cos xsin 2x.(2)y(3)y(ln)·()·(x21)·(x21).變式遷移3解(1)設(shè)u13x,yu4.則yxyu·ux4u5·(3).(2)設(shè)yu2,usin v,v2x,則yxyu·uv·vx2u·cos v·24sin·cos2sin.(3)y(x)x·x().例4解題導(dǎo)引(1)求曲線的切線要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異;過點(diǎn)P的切線中,點(diǎn)P不一定是切點(diǎn),點(diǎn)P也不一定在已知曲線上,而在點(diǎn)P處的切線,必以點(diǎn)P為切點(diǎn)(2)求函數(shù)對(duì)應(yīng)曲線在某一點(diǎn)處的切線的斜率,只要求函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即可(3)解決“過某點(diǎn)的切線”問題,一般是設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)解決解(1)yx2,在點(diǎn)P(2,4)處的切線的斜率ky|x24.曲線在點(diǎn)P(2,4)處的切線方程為y44(x2),即4xy40.(2)設(shè)曲線yx3與過點(diǎn)P(2,4)的切線相切于點(diǎn)A,則切線的斜率ky|xx0x.切線方程為yx(xx0),即yxxx.點(diǎn)P(2,4)在切線上,42xx,即x3x40,xx4x40,x(x01)4(x01)(x01)0,(x01)(x02)20,解得x01或x02,故所求切線方程為4xy40或xy20.(3)設(shè)切點(diǎn)為(x0,y0),則切線的斜率為kx1,解得x0±1,故切點(diǎn)為,(1,1)故所求切線方程為yx1和y1x1,即3x3y20和xy20.變式遷移4解f(x)3x26x2.設(shè)切線的斜率為k.(1)當(dāng)切點(diǎn)是原點(diǎn)時(shí)kf(0)2,所以所求曲線的切線方程為y2x.(2)當(dāng)切點(diǎn)不是原點(diǎn)時(shí),設(shè)切點(diǎn)是(x0,y0),則有y0x3x2x0,kf(x0)3x6x02,又kx3x02,由得x0,k.所求曲線的切線方程為yx.綜上,曲線f(x)x33x22x過原點(diǎn)的切線方程為y2x或yx.課后練習(xí)區(qū)1C2.C3.A4.D5.A61秒或2秒末7.812x3y809解(1)f(x),f(2)0.(6分)(2)f(x)(x)x(ln x)x1,f(1).(12分)10解設(shè)經(jīng)時(shí)間t秒梯子上端下滑s米,則s5,當(dāng)下端移開1.4 m時(shí),(3分)t0,(5分)又s(259t2)·(9·2t)9t·,(10分)所以s(t0)9×·0.875 (m/s)故所求的梯子上端下滑的速度為0.875 m/s.(12分)11解(1)因?yàn)閒(x)x(x>0),(2分)又f(x)在x2處的切線方程為yxb,所以(5分)解得a2,b2ln 2.(7分)(2)若函數(shù)f(x)在(1,)上為增函數(shù),則f(x)x0在(1,)上恒成立,(10分)即ax2在(1,)上恒成立所以有a1.(14分)

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