新編高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 第8章 平面解析幾何 第6節(jié) 拋物線學案 文 北師大版

第六節(jié)拋物線考綱傳真1.了解拋物線的實際背影，了解拋物線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.了解拋物線的定義、幾何圖形和標準方程，知道其簡單的幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率、準線方程).3.理解數(shù)形結合的思想.4.了解拋物線的簡單應用(對應學生用書第123頁) 基礎知識填充1拋物線的概念平面內與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)距離相等的點的集合叫做拋物線點F叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線2拋物線的標準方程與幾何性質標準方程y22px(p>0)y22px(p>0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)對稱軸y0x0焦點FFFF離心率e1準線方程xxyy范圍x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR焦半徑|PF|x0x0y0y0知識拓展1拋物線y22px(p0)上一點P(x0，y0)到焦點F的距離|PF|x0，也稱為拋物線的焦半徑2y2ax的焦點坐標為，準線方程為x.3設AB是過拋物線y22px(p0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦長|AB|x1x2p(為弦AB的傾斜角)(3)以弦AB為直徑的圓與準線相切(4)通徑：過焦點垂直于對稱軸的弦，長等于2p，通徑是過焦點最短的弦基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)平面內與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的集合一定是拋物線()(2)方程yax2(a0)表示的曲線是焦點在x軸上的拋物線，且其焦點坐標是，準線方程是x.()(3)拋物線既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形()(4)AB為拋物線y22px(p>0)的過焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，y1y2p2，弦長|AB|x1x2p.()答案(1)×(2)×(3)×(4)2(教材改編)若拋物線y4x2上的一點M到焦點的距離為1，則點M的縱坐標是()ABCD0BM到準線的距離等于M到焦點的距離，又準線方程為y，設M(x，y)，則y1，y.3拋物線yx2的準線方程是()Ay1By2Cx1Dx2Ayx2，x24y，準線方程為y1.4(20xx·大同模擬)已知拋物線y22px(p>0)的準線經(jīng)過點(1，1)，則該拋物線焦點坐標為()A(1,0)B(1,0)C(0，1)D(0,1)B拋物線y22px(p>0)的準線為x且過點(1,1)，故1，解得p2，所以拋物線的焦點坐標為(1,0)5(20xx·浙江高考)若拋物線y24x上的點M到焦點的距離為10，則M到y(tǒng)軸的距離是_9設點M的橫坐標為x0，則點M到準線x1的距離為x01，由拋物線的定義知x0110，x09，點M到y(tǒng)軸的距離為9.(對應學生用書第124頁)拋物線的定義及應用(1)(20xx·全國卷)已知拋物線C：y2x的焦點為F，點A(x0，y0)是C上一點，|AF|x0，則x0()A1B2C4D8(2)已知拋物線y24x，過焦點F的直線與拋物線交于A，B兩點，過A，B分別作y軸的垂線，垂足分別為C，D，則|AC|BD|的最小值為_ 【導學號：00090304】(1)A(2)2(1)由y2x，知2p1，即p，因此焦點F，準線l的方程為x.設點A(x0，y0)到準線l的距離為d，則由拋物線的定義可知d|AF|.從而x0x0，解得x01.(2)由y24x，知p2，焦點F(1,0)，準線x1. 根據(jù)拋物線的定義，|AF|AC|1，|BF|BD|1.因此|AC|BD|AF|BF|2|AB|2.所以|AC|BD|取到最小值，當且僅當|AB|取得最小值，又|AB|2p4為最小值故|AC|BD|的最小值為422.規(guī)律方法1.凡涉及拋物線上的點到焦點距離，一般運用定義轉化為到準線的距離處理如本例充分運用拋物線定義實施轉化，使解答簡捷、明快2若P(x0，y0)為拋物線y22px(p>0)上一點，由定義易得|PF|x0；若過焦點的弦AB的端點坐標為A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為|AB|x1x2p，x1x2可由根與系數(shù)的關系整體求出變式訓練1(1)設P是拋物線y24x上的一個動點，則點P到點A(1,1)的距離與點P到直線x1的距離之和的最小值為_(2)若拋物線y22x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A(3,2)，則|PA|PF|取最小值時點P的坐標為_(1)(2)(2,2)(1)如圖，易知拋物線的焦點為F(1,0)，準線是x1，由拋物線的定義知：點P到直線x1的距離等于點P到F的距離于是，問題轉化為在拋物線上求一點P，使點P到點A(1,1)的距離與點P到F(1,0)的距離之和最小連接AF交拋物線于點P，此時最小值為|AF|.(2)將x3代入拋物線方程y22x，得y±.2，A在拋物線內部，如圖設拋物線上點P到準線l：x的距離為d，由定義知|PA|PF|PA|d，當PAl時，|PA|d最小，最小值為，此時P點縱坐標為2，代入y22x，得x2，點P的坐標為(2,2)拋物線的標準方程與幾何性質(1)點M(5,3)到拋物線yax2的準線的距離為6，那么拋物線的標準方程是()Ax2yBx2y或x2yCx2yDx212y或x236y(2)設F為拋物線C：y24x的焦點，曲線y(k>0)與C交于點P，PFx軸，則k()AB1CD2(1)D(2)D(1)將yax2化為x2y.當a>0時，準線y，則36，a.當a<0時，準線y，則6，a.拋物線方程為x212y或x236y.(2)由拋物線C：y24x知p2.焦點F(1,0)又曲線y(k>0)與曲線C交于點P，且PFx軸P(1,2)，將點P(1,2)代入y，得k2規(guī)律方法1.求拋物線的標準方程的方法：(1)求拋物線的標準方程常用待定系數(shù)法，因為未知數(shù)只有p，所以只需一個條件確定p值即可(2)拋物線方程有四種標準形式，因此求拋物線方程時，需先定位，再定量2由拋物線的方程可以確定拋物線的開口方向、焦點位置、焦點到準線的距離，從而進一步確定拋物線的焦點坐標及準線方程變式訓練2(1)(20xx·鄭州模擬)拋物線y22px(p>0)的焦點為F，O為坐標原點，M為拋物線上一點，且|MF|4|OF|，MFO的面積為4，則拋物線的方程為 () 【導學號：00090305】Ay26xBy28xCy216xDy2(20xx·西安模擬)過拋物線y24x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點若|AF|3，則AOB的面積為_(1)B(2)(1)設M(x，y)，因為|OF|，|MF|4|OF|，所以|MF|2p，由拋物線定義知x2p，所以xp，所以y±p.又MFO的面積為4，所以××p4，解得p4(p4舍去)所以拋物線的方程為y28x.(2)如圖，由題意知，拋物線的焦點F的坐標為(1,0)，又|AF|3，由拋物線定義知，點A到準線x1的距離為3，所以點A的橫坐標為2，將x2代入y24x得y28，由圖知點A的縱坐標為y2，所以A(2,2)，所以直線AF的方程為y2(x1)，聯(lián)立直線與拋物線的方程解得或由圖知B，所以SAOB×1×|yAyB|.直線與拋物線的位置關系角度1直線與拋物線的交點問題(20xx·全國卷)在直角坐標系xOy中，直線l：yt(t0)交y軸于點M，交拋物線C：y22px(p>0)于點P，M關于點P的對稱點為N，連接ON并延長交C于點H.(1)求；(2)除H以外，直線MH與C是否有其他公共點？說明理由 解(1)如圖，由已知得M(0，t)，P.又N為M關于點P的對稱點，故N，2分故直線ON的方程為yx，將其代入y22px，整理得px22t2x0, 解得x10，x2.因此H.所以N為OH的中點，即2.5分(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點理由如下：直線MH的方程為ytx，即x(yt).8分代入y22px得y24ty4t20，解得y1y22t，即直線MH與C只有一個公共點，所以除H以外，直線MH與C沒有其他公共點.12分規(guī)律方法1.(1)本題求解的關鍵是求出點N，H的坐標(2)第(2)問將直線MH的方程與拋物線C的方程聯(lián)立，根據(jù)方程組的解的個數(shù)進行判斷2(1)判斷直線與圓錐曲線的交點個數(shù)時，可直接求解相應方程組得到交點坐標，也可利用消元后的一元二次方程的判別式來確定，需注意利用判別式的前提是二次項系數(shù)不為0.(2)解題時注意應用根與系數(shù)的關系及設而不求、整體代換的技巧角度2與拋物線弦長或中點有關的問題(20xx·泰安模擬)已知拋物線C：y22px(p>0)的焦點為F，拋物線C與直線l1：yx的一個交點的橫坐標為8.(1)求拋物線C的方程；(2)不過原點的直線l2與l1的垂直，且與拋物線交于不同的兩點A，B，若線段AB的中點為P，且|OP|PB|，求FAB的面積解(1)易知直線與拋物線的交點坐標為(8，8)，2分(8)22p×8，2p8，拋物線方程為y28x.5分(2)直線l2與l1垂直，故可設直線l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點為M.6分由得y28y8m0，6432m>0，m>2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.8分由題意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直線l2：xy8，M(8,0).10分故SFABSFMBSFMA·|FM|·|y1y2|324.12分規(guī)律方法1.拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式2涉及拋物線的弦長、中點、距離等相關問題時，一般利用根與系數(shù)的關系采用“設而不求”“整體代入”等方法3涉及弦的中點、斜率時，一般用“點差法”求解