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新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第8章學(xué)案41

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新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫(kù) 第8章學(xué)案41

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料學(xué)案41空間的垂直關(guān)系導(dǎo)學(xué)目標(biāo): 1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),認(rèn)識(shí)和理解空間中線面、面面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡(jiǎn)單命題自主梳理1直線與平面垂直(1)判定直線和平面垂直的方法定義法利用判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條_直線垂直,那么這條直線垂直于這個(gè)平面推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條直線也_這個(gè)平面(2)直線和平面垂直的性質(zhì)直線垂直于平面,則垂直于平面內(nèi)_直線垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_垂直于同一直線的兩個(gè)平面_2直線與平面所成的角平面的一條斜線與它在這個(gè)平面內(nèi)的_所成的銳角,叫做這條直線與這個(gè)平面所成的角一條直線垂直于平面,說(shuō)它們所成的角為_(kāi);直線l或l,說(shuō)它們所成的角是_角3平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法定義法利用判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的_,那么這兩個(gè)平面互相垂直(2)平面與平面垂直的性質(zhì)如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們_的直線垂直于另一個(gè)平面4二面角的平面角以二面角的棱上的任意一點(diǎn)為端點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作_棱的射線,這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角自我檢測(cè)1(2010·浙江改編)設(shè)l,m是兩條不同的直線,是一個(gè)平面,則下列命題正確的是_(填序號(hào))若lm,m,則l;若l,lm,則m;若l,m,則lm;若l,m,則lm.2對(duì)于不重合的兩個(gè)平面與,給定下列條件:存在平面,使得,都垂直于;存在平面,使得,都平行于;存在直線l,直線m,使得lm;存在異面直線l、m,使得l,l,m,m.其中,可以判定與平行的條件有_個(gè)3(2009·四川卷改編)如圖,已知六棱錐PABCDEF的底面是正六邊形,PA平面ABC,PA2AB,則下列結(jié)論正確的序號(hào)是_PBAD;平面PAB平面PBC;直線BC平面PAE;直線PD與平面ABC所成的角為45°.4如圖所示,在四棱錐PABCD中,PA底面ABCD,且底面各邊都相等,M是PC上的一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)M滿足_時(shí),平面MBD平面PCD.(只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為是正確的條件即可)5(2011·大綱全國(guó),16)已知點(diǎn)E、F分別在正方體ABCDA1B1C1D1的棱BB1、CC1上,且B1E2EB,CF2FC1,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為_(kāi)探究點(diǎn)一線面垂直的判定與性質(zhì)例1RtABC所在平面外一點(diǎn)S,且SASBSC,D為斜邊AC的中點(diǎn)(1)求證:SD平面ABC;(2)若ABBC.求證:BD平面SAC.變式遷移1四棱錐SABCD中,底面ABCD為平行四邊形,側(cè)面SBC底面ABCD.已知ABC45°,SASB.證明:SABC.探究點(diǎn)二面面垂直的判定與性質(zhì)例2如圖所示,已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面為正方形,O1、O分別為上、下底面的中心,且A1在底面ABCD內(nèi)的射影是O.求證:平面O1DC平面ABCD.變式遷移2(2011·江蘇)如圖,在四棱錐PABCD中,平面PAD平面ABCD,ABAD,BAD60°,E,F(xiàn)分別是AP,AD的中點(diǎn)求證:(1)直線EF平面PCD;(2)平面BEF平面PAD.探究點(diǎn)三直線與平面、平面與平面所成的角例3(2009·湖北)如圖,四棱錐SABCD的底面是正方形,SD平面ABCD,SD2a,ADa,點(diǎn)E是SD上的點(diǎn),且DEa(0<2)(1)求證:對(duì)任意的(0,2,都有ACBE;(2)設(shè)二面角CAED的大小為,直線BE與平面ABCD所成的角為,若tan tan 1,求的值變式遷移3(2009·北京)如圖,在三棱錐PABC中,PA底面ABC,PAAB,ABC60°,BCA90°,點(diǎn)D、E分別在棱PB、PC上,且DEBC.(1)求證:BC 平面PAC.(2)當(dāng)D為PB的中點(diǎn)時(shí),求AD與平面PAC所成角的正弦值(3)是否存在點(diǎn)E使得二面角ADEP為直二面角?并說(shuō)明理由轉(zhuǎn)化與化歸思想例(14分)已知四棱錐PABCD,底面ABCD是A60°的菱形,又PD底面ABCD,點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn). (1)證明:DN平面PMB;(2)證明:平面PMB平面PAD.【答題模板】證明(1)取PB中點(diǎn)Q,連結(jié)MQ、NQ,因?yàn)镸、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn),所以QNBCMD,且QNMD,故四邊形QNDM是平行四邊形,于是DNMQ.4分又MQ平面PMB,DN平面PMBDN平面PMB.7分(2)PD平面ABCD,MB平面ABCD,PDMB.9分又因?yàn)榈酌鍭BCD是A60°的菱形,且M為AD中點(diǎn),所以MBAD.又ADPDD,所以MB平面PAD.12分又MB平面PMB,平面PMB平面PAD.14分【突破思維障礙】1立體幾何中平行與垂直的證明充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的思想,其轉(zhuǎn)化關(guān)系如圖2在解決線面、面面平行或垂直的判定時(shí),一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化,即從“線線”到“線面”,再到“面面”;而在應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí),其順序恰好相反,但也要注意,轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定,決不可過(guò)于“模式化”1證明線面垂直的方法:(1)定義:a與內(nèi)任何直線都垂直a;(2)判定定理1:l;(3)判定定理2:ab,ab;(4)面面平行的性質(zhì):,aa;(5)面面垂直的性質(zhì):,l,a,ala.2證明線線垂直的方法:(1)定義:兩條直線的夾角為90°;(2)平面幾何中證明線線垂直的方法;(3)線面垂直的性質(zhì):a,bab;(4)線面垂直的性質(zhì):a,bab.3證明面面垂直的方法:(1)利用定義:兩個(gè)平面相交,所成的二面角是直二面角;(2)判定定理:a,a. (滿分:90分)一、填空題(每小題6分,共48分)1(2010·揚(yáng)州月考)已知直線a,b和平面,且a,b,那么是ab的_條件2已知兩個(gè)不同的平面、和兩條不重合的直線m、n,有下列四個(gè)命題:若mn,m,則n;若m,m,則;若m,mn,n,則;若m,n,則mn.其中正確命題是_(填序號(hào))3設(shè)直線m與平面相交但不垂直,給出以下說(shuō)法:在平面內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直;過(guò)直線m有且只有一個(gè)平面與平面垂直;與直線m垂直的直線不可能與平面平行;與直線m平行的平面不可能與平面垂直其中錯(cuò)誤的是_4(2009·江蘇)設(shè)和為不重合的兩個(gè)平面,給出下列命題:若內(nèi)的兩條相交直線分別平行于內(nèi)的兩條直線,則平行于;若外一條直線l與內(nèi)的一條直線平行,則l和平行;設(shè)和相交于直線l,若內(nèi)有一條直線垂直于l,則和垂直;直線l與垂直的充分必要條件是l與內(nèi)的兩條直線垂直上面命題中,真命題的序號(hào)是_(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào))5如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,ABBC2,AA11,則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為_(kāi)6(2011·福建)三棱錐PABC中,PA底面ABC,PA3,底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,則三棱錐PABC的體積為_(kāi)7如圖所示,正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)是1,過(guò)A點(diǎn)作平面A1BD的垂線,垂足為點(diǎn)H,有下列三個(gè)命題:點(diǎn)H是A1BD的中心;AH垂直于平面CB1D1;AC1與B1C所成的角是90°.其中正確命題的序號(hào)是_8正四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)為2,高為2,E是邊BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng),并且總保持PEAC,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為_(kāi)二、解答題(共42分)9(12分)(2011·安徽)如圖,ABEDFC為多面體,平面ABED與平面ACFD垂直,點(diǎn)O在線段AD上,OA1,OD2,OAB,OAC,ODE,ODF都是正三角形(1)證明直線BCEF;(2)求棱錐FOBED的體積10(14分)(2009·天津)如圖,在四棱錐PABCD中,PD平面ABCD,ADCD,DB平分ADC,E為PC的中點(diǎn),ADCD1,DB2.(1)證明PA平面BDE;(2)證明AC平面PBD;(3)求直線BC與平面PBD所成的角的正切值11(16分) 如圖,在四棱錐PABCD中,平面PAD面ABCD,ABDC,PAD是等邊三角形,已知BD2AD8,AB2DC4.(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn),證明平面MBD平面PAD.(2)求四棱錐PABCD的體積學(xué)案41空間的垂直關(guān)系答案自主梳理1(1)相交垂直(2)任意平行平行2射影直角0°3.(1)一條垂線(2)交線4.垂直于自我檢測(cè)12.23.4.DMPC(或BMPC等)5.解析方法一如圖,建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)面ABC的法向量為n1(0,0,1),面AEF的法向量為n2(x,y,z)設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,A(1,0,0),E(1,1,),F(xiàn)(0,1,),(0,1,),(1,0,),則取x1,則y1,z3.故n2(1,1,3),cosn1,n2,面AEF與面ABC所成的二面角的平面角滿足cos ,sin ,tan .方法二如圖,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3,則由題意知CF2,BE1,分別延長(zhǎng)FE、CB交于點(diǎn)M,連結(jié)AM,作BNAM于點(diǎn)N,連結(jié)EN.EB平面ABM,AM平面ABM,EBAM.又BNAM,EBBNB,AM平面BEN,AMEN.BNE即為面AEF與面ABC所成的二面角的平面角BECF,即,MB3,AM3.由AM·BNBM·AB得BN.又EB平面ABM,EBBN,tanBNE.課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引線面垂直的判定方法是:證明直線垂直平面內(nèi)的兩條相交直線即從“線線垂直”到“線面垂直”證明(1)取AB中點(diǎn)E,連結(jié)SE,DE,在RtABC中,D、E分別為AC、AB的中點(diǎn),故DEBC,且DEAB,SASB,SAB為等腰三角形,SEAB.SEAB,DEAB,SEDEE,AB面SDE.而SD面SDE,ABSD.在SAC中,SASC,D為AC的中點(diǎn),SDAC.又ACABA,SD平面ABC.(2)若ABBC,則BDAC,由(1)可知,SD面ABC,而B(niǎo)D面ABC,SDBD.又SDACD,BD平面SAC.變式遷移1證明作SOBC,垂足為O,連結(jié)AO,由側(cè)面SBC底面ABCD,得SO底面ABCD.因?yàn)镾ASB,所以AOBO.又ABC45°,故AOB為等腰直角三角形,且AOBO,又SOBC,SOAOO,BC面SAO.又SA面SAO,SABC.例2解題導(dǎo)引證明面面垂直,可先證線面垂直,即設(shè)法先找到其中一個(gè)平面的一條垂線,再證明這條垂線在另一個(gè)平面內(nèi)或與另一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行證明如圖所示,連結(jié)AC,BD,A1C1,則O為AC,BD的交點(diǎn),O1為A1C1,B1D1的交點(diǎn)由棱柱的性質(zhì)知:A1O1OC,且A1O1OC,四邊形A1OCO1為平行四邊形,A1OO1C,又A1O平面ABCD,O1C平面ABCD,又O1C平面O1DC,平面O1DC平面ABCD.變式遷移2證明(1)如圖,在PAD中,因?yàn)镋,F(xiàn)分別為AP,AD的中點(diǎn),所以EFPD.又因?yàn)镋F平面PCD,PD平面PCD,所以直線EF平面PCD.(2)連結(jié)BD.因?yàn)锳BAD,BAD60°,所以ABD為正三角形因?yàn)镕是AD的中點(diǎn),所以BFAD.因?yàn)槠矫鍼AD平面ABCD,BF平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,所以BF平面PAD.又因?yàn)锽F平面BEF,所以平面BEF平面PAD.例3解題導(dǎo)引高考中對(duì)直線與平面所成的角及二面角的考查是熱點(diǎn)之一有時(shí)在客觀題中考查,更多的是在解答題中考查根據(jù)線面角的定義或二面角的平面角的定義,作(找)出該角,再解三角形求出該角,步驟是作(找)認(rèn)(指)求(1)證明如圖所示,連結(jié)BD,由底面ABCD是正方形可得ACBD.SD平面ABCD,BD是BE在平面ABCD上的射影,ACBE.(2)解如圖所示,由SD平面ABCD,CD平面ABCD,SDCD.又底面ABCD是正方形,CDAD.又SDADD,CD平面SAD.過(guò)點(diǎn)D在平面SAD內(nèi)作DFAE于F,連結(jié)CF,則CFAE,故CFD是二面角CAED的平面角,即CFD.在RtBDE中,BD2a,DEa,tan .在RtADE中,ADaCD,DEa,AEa,從而DF.在RtCDF中,tan ,由tan ·tan 1,得·1222.由(0,2,解得.變式遷移3(1)證明PA底面ABC,PABC.又BCA90°,ACBC.又ACPAA,BC平面PAC.(2)解D為PB的中點(diǎn),DEBC,DEBC.又由(1)知,BC平面PAC,DE平面PAC,垂足為點(diǎn)E.DAE是AD與平面PAC所成的角PA底面ABC,PAAB.又PAAB,ABP為等腰直角三角形ADAB.在RtABC中,ABC60°,BCAB.在RtADE中,sinDAE.AD與平面PAC所成角的正弦值為.(3)解DEBC,又由(1)知,BC平面PAC,DE平面PAC.又AE平面PAC,PE平面PAC,DEAE,DEPE.AEP為二面角ADEP的平面角PA底面ABC,PAAC,PAC90°.在棱PC上存在一點(diǎn)E,使得AEPC.這時(shí),AEP90°,故存在點(diǎn)E使得二面角ADEP是直二面角課后練習(xí)區(qū)1充要2.3.4.5.6.解析PA底面ABC,PA為三棱錐PABC的高,且PA3.底面ABC為正三角形且邊長(zhǎng)為2,底面面積為×22×sin 60°,VPABC××3.78.9.(1)證明方法一(綜合法)如圖所示,設(shè)G是線段DA延長(zhǎng)線與線段EB延長(zhǎng)線的交點(diǎn)由于OAB與ODE都是正三角形,且OD2,所以O(shè)B綊DE,(3分)OGOD2.(5分)同理,設(shè)G是線段DA延長(zhǎng)線與線段FC延長(zhǎng)線的交點(diǎn),有OC綊DF,OGOD2.又由于G和G都在線段DA的延長(zhǎng)線上,所以G與G重合(10分)在GED和GFD中,由OB綊DE和OC綊DF,可知B、C分別是GE和GF的中點(diǎn),所以BC是GEF的中位線,故BCEF.(12分)方法二(向量法)過(guò)點(diǎn)F作FQAD,交AD于點(diǎn)Q,連結(jié)QE,由平面ABED平面ADFC,知FQ平面ABED,從而FQQE,F(xiàn)QDQ.以Q為坐標(biāo)原點(diǎn),為x軸正方向,為y軸正方向,為z軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系(4分)由條件知E(,0,0),F(xiàn)(0,0,),B(,0),C(0,),則(,0,),(,0,)所以2,即BCEF.(7分)(2)由OB1,OE2,EOB60°,知SOBE,而OED是邊長(zhǎng)為2的正三角形,故SOED.所以S四邊形OBEDSOBESOED.(10分)過(guò)點(diǎn)F作FQAD,交AD于點(diǎn)Q,由平面ABED平面ACFD知,F(xiàn)Q就是四棱錐FOBED的高,且FQ,所以VFOBEDFQ·S四邊形OBED.(12分)10(1)證明設(shè)ACBDH,連結(jié)EH.在ADC中,因?yàn)锳DCD,且DB平分ADC,所以H為AC的中點(diǎn),又由題設(shè),知E為PC的中點(diǎn),故EHPA.又EH平面BDE,且PA平面BDE,所以PA平面BDE.(4分)(2)證明因?yàn)镻D平面ABCD,AC平面ABCD,所以PDAC.由(1)可得,DBAC.又PDDBD,故AC平面PBD.(8分)(3)解由AC平面PBD可知,BH為BC在平面PBD內(nèi)的射影,所以CBH為直線BC與平面PBD所成的角由ADCD,ADCD1,DB2,可得DHCH,BH.在RtBHC中,tanCBH.所以直線BC與平面PBD所成的角的正切值為.(14分)11(1)證明在ABD中,由于AD4,BD8,AB4,所以AD2BD2AB2.故ADBD.(2分)又平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCDAD,BD平面ABCD,所以BD平面PAD.又BD平面MBD,故平面MBD平面PAD.(6分)(2)解過(guò)點(diǎn)P作POAD交AD于點(diǎn)O,由于平面PAD平面ABCD,所以PO平面ABCD.(8分)因此PO為四棱錐PABCD的高又PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,因此PO×42.(10分)在底面四邊形ABCD中,ABDC,AB2DC,所以四邊形ABCD是梯形,在RtADB中,斜邊AB上的高為,此即為梯形ABCD的高,所以四邊形ABCD的面積為S×24.故VPABCD×24×216.(16分)

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