新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 第8章 平面解析幾何 第3節(jié) 圓的方程學(xué)案 理 北師大版

第三節(jié)圓的方程考綱傳真(教師用書(shū)獨(dú)具)1.掌握確定圓的幾何要素，掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程.2.初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第134頁(yè))基礎(chǔ)知識(shí)填充1圓的定義及方程定義平面內(nèi)與定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2(r0)圓心(a，b)，半徑r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圓心，半徑2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)M(x0，y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位置關(guān)系：(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0a)2(y0b)2r2.基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑()(2)方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圓心為(a，b)，半徑為t的一個(gè)圓()(3)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是AC0，B0，D2E24AF>0.()(4)若點(diǎn)M(x0，y0)在圓x2y2DxEyF0外，則xyDx0Ey0F>0.()解析由圓的定義及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，知(1)(3)(4)正確(2)中，當(dāng)t0時(shí)，表示圓心為(a，b)，半徑為|t|的圓，不正確答案(1)(2)×(3)(4)2圓心為(1,1)且過(guò)原點(diǎn)的圓的方程是()A(x1)2(y1)21B(x1)2(y1)21C(x1)2(y1)22D(x1)2(y1)22D由題意得圓的半徑為，故該圓的方程為(x1)2(y1)22，故選D.3(20xx·全國(guó)卷)圓x2y22x8y130的圓心到直線axy10的距離為1，則a()A B CD2A圓x2y22x8y130，得圓心坐標(biāo)為(1,4)，所以圓心到直線axy10的距離d1，解得a.4點(diǎn)(2a，a1)在圓x2(y1)25的內(nèi)部，則a的取值范圍是()A1a1B0a1C1aDa1D由(2a)2(a2)25得a1.5(教材改編)圓C的圓心在x軸上，并且過(guò)點(diǎn)A(1,1)和B(1,3)，則圓C的方程為_(kāi)(x2)2y210設(shè)圓心坐標(biāo)為C(a,0)，點(diǎn)A(1,1)和B(1,3)在圓C上，|CA|CB|，即，解得a2，所以圓心為C(2,0)，半徑|CA|，圓C的方程為(x2)2y210.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第135頁(yè))圓的方程(1)(20xx·豫北名校4月聯(lián)考)圓(x2)2y24關(guān)于直線yx對(duì)稱的圓的方程是()A(x)2(y1)24B(x)2(y)24Cx2(y2)24D(x1)2(y)24(2)(20xx·全國(guó)卷)過(guò)三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1，7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則|MN|()A2B8C4D10(1)D(2)C(1)設(shè)圓(x2)2y24的圓心(2,0)關(guān)于直線yx對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，則有解得a1，b，從而所求圓的方程為(x1)2(y)24.故選D.(2)設(shè)圓的方程為x2y2DxEyF0，則解得圓的方程為x2y22x4y200.令x0，得y22或y22，M(0，22)，N(0，22)或M(0，22)，N(0，22)，|MN|4，故選C規(guī)律方法求圓的方程的兩種方法(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫(xiě)出方程.(2)待定系數(shù)法：若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值.若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值.易錯(cuò)警示：解答圓的有關(guān)問(wèn)題，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合，充分運(yùn)用圓的幾何性質(zhì).跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx·海口調(diào)研)已知圓M與直線3x4y0及3x4y100都相切，圓心在直線yx4上，則圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140274】A(x3)2(y1)21B(x3)2(y1)21C(x3)2(y1)21D(x3)2(y1)21(2)(20xx·天津高考)已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點(diǎn)M(0，)在圓C上，且圓心到直線2xy0的距離為，則圓C的方程為_(kāi)(1)C(2)(x2)2y29(1)到兩直線3x4y0和3x4y100的距離都相等的直線方程為3x4y50，聯(lián)立方程組解得所以圓M的圓心坐標(biāo)為(3，1)，又兩平行線之間的距離為2，所以圓M的半徑為1，所以圓M的方程為(x3)2(y1)21，故選C(2)因?yàn)閳AC的圓心在x軸的正半軸上，設(shè)C(a,0)，且a>0，所以圓心到直線2xy0的距離d，解得a2，所以圓C的半徑r|CM|3，所以圓C的方程為(x2)2y29.與圓有關(guān)的最值問(wèn)題已知M(x，y)為圓C：x2y24x14y450上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)Q(2,3)(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值解(1)由圓C：x2y24x14y450，可得(x2)2(y7)28，圓心C的坐標(biāo)為(2,7)，半徑r2.又|QC|4，|MQ|max426，|MQ|min422.(2)可知表示直線MQ的斜率k.設(shè)直線MQ的方程為y3k(x2)，即kxy2k30.由直線MQ與圓C有交點(diǎn)，所以2，可得2k2，的最大值為2，最小值為2.1(變化結(jié)論)在本例的條件下，求yx的最大值和最小值解設(shè)yxb，則xyb0.當(dāng)直線yxb與圓C相切時(shí)，截距b取到最值，2，b9或b1.因此yx的最大值為9，最小值為1.2(變換條件)若本例中條件“點(diǎn)Q(2,3)”改為“點(diǎn)Q是直線3x4y10上的動(dòng)點(diǎn)”，其它條件不變，試求|MQ|的最小值解圓心C(2,7)到直線3x4y10上動(dòng)點(diǎn)Q的最小值為點(diǎn)C到直線3x4y10的距離，|QC|mind7.又圓C的半徑r2，|MQ|的最小值為72.規(guī)律方法與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的三種幾何轉(zhuǎn)化法(1)形如形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題.(2)形如taxby形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題.(3)形如m(xa)2(yb)2形式的最值問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題.跟蹤訓(xùn)練(1)(20xx·陜西質(zhì)檢(一)圓：x2y22x2y10上的點(diǎn)到直線xy2的距離的最大值是()A1B2C1D22(2)(20xx·廣東七校聯(lián)考)圓x2y22x6y10關(guān)于直線axby30(a0，b0)對(duì)稱，則的最小值是()A2 B.C4 D.(1)A(2)D(1)由已知得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y1)21，則圓心坐標(biāo)為(1,1)，半徑為1，所以圓心到直線的距離為，所以圓上的點(diǎn)到直線的距離的最大值是1，故選A(2)由圓x2y22x6y10知其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x1)2(y3)29，圓x2y22x6y10關(guān)于直線axby30(a0，b0)對(duì)稱，該直線經(jīng)過(guò)圓心(1,3)，即a3b30，a3b3(a0，b0)，(a3b)，當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時(shí)取等號(hào)，故選D.與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題已知A(2,0) 為圓x2y24上一定點(diǎn)，B(1,1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140275】(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若PBQ90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程解(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可知，P點(diǎn)坐標(biāo)為(2x2,2y)因?yàn)镻點(diǎn)在圓x2y24上，所以(2x2)2(2y)24.故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x1)2y21.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(x，y)，在RtPBQ中，|PN|BN|，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ONPQ，所以|OP|2|ON|2|PN|2|ON|2|BN|2，所以x2y2(x1)2(y1)24.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2y2xy10.規(guī)律方法求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的四種方法(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)給定的條件列出方程求解.(2)定義法：根據(jù)圓的定義列方程求解.(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)得出方程求解.(4)代入法(相關(guān)點(diǎn)法)：找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求解.跟蹤訓(xùn)練已知點(diǎn)A(1,0)，點(diǎn)B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)C滿足|AC|AB|，求點(diǎn)C與點(diǎn)P(1,4)所連線段的中點(diǎn)M的軌跡方程解由題意可知：動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是以(1,0)為圓心，3為半徑長(zhǎng)的圓，方程為(x1)2y29.設(shè)M(x0，y0)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得C(2x01,2y04)，代入點(diǎn)C的軌跡方程得4x4(y02)29，化簡(jiǎn)得x(y02)2，故點(diǎn)M的軌跡方程為x2(y2)2.