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新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第6章 不等式、推理與證明 第6節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 理 北師大版

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新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第6章 不等式、推理與證明 第6節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 理 北師大版

第六節(jié)數(shù)學(xué)歸納法考綱傳真(教師用書獨(dú)具)1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第104頁(yè))基礎(chǔ)知識(shí)填充1數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進(jìn)行:(1)驗(yàn)證:當(dāng)n取第一個(gè)值n0(如n01或2)時(shí),命題成立(2)在假設(shè)當(dāng)nk(kN,kn0)時(shí)命題成立的前提下,推出當(dāng)nk1時(shí),命題成立根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對(duì)一切從n0開始的正整數(shù)n都成立2數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示圖6­1­1基本能力自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí),第一步是驗(yàn)證當(dāng)n1時(shí)結(jié)論成立()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題時(shí),歸納假設(shè)可以不用()(4)不論是等式還是不等式,用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),由nk到nk1時(shí),項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)()(5)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“12222n22n31”,驗(yàn)證n1時(shí),左邊式子應(yīng)為122223.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×(5)2已知n為正偶數(shù),用數(shù)學(xué)歸納法證明12時(shí),若已假設(shè)nk(k2,且k為偶數(shù))時(shí)命題為真,則還需要用歸納假設(shè)再證()Ank1時(shí)等式成立Bnk2時(shí)等式成立Cn2k2時(shí)等式成立Dn2(k2)時(shí)等式成立Bk為偶數(shù),則k2為偶數(shù)3在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對(duì)角線為n(n3)條時(shí),第一步檢驗(yàn)n等于()A1 B2C3D0C因?yàn)橥筺邊形最小為三角形,所以第一步檢驗(yàn)n等于3,故選C.4(教材改編)已知an滿足an1anan1,nN,且a12,則a2_,a3_,a4_,猜想an_.答案345n15用數(shù)學(xué)歸納法證明:“1<n(n>1)”由nk(k>1)不等式成立,推證nk1時(shí),左邊應(yīng)增加的項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)是_2k當(dāng)nk時(shí),不等式為1<k.則nk1時(shí),左邊應(yīng)為1,則左邊增加的項(xiàng)數(shù)為2k112k12k.(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第104頁(yè))用數(shù)學(xué)歸納法證明等式設(shè)f(n)1(nN)求證:f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2,nN)證明(1)當(dāng)n2時(shí),左邊f(xié)(1)1,右邊21,左邊右邊,等式成立(2)假設(shè)nk(k2,kN)時(shí),結(jié)論成立,即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1,那么,當(dāng)nk1時(shí),f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)·f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1,所以當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論仍然成立由(1)(2)可知:f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2,nN)規(guī)律方法數(shù)學(xué)歸納法證明等式的思路和注意點(diǎn)(1)思路:用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問(wèn)題,要“先看項(xiàng)”,弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律,等式兩邊各有多少項(xiàng),初始值n0是多少.(2)注意點(diǎn):由nk時(shí)等式成立,推出nk1時(shí)等式成立,一要找出等式兩邊的變化(差異),明確變形目標(biāo);二要充分利用歸納假設(shè),進(jìn)行合理變形,正確寫出證明過(guò)程.易錯(cuò)警示:不利用歸納假設(shè)的證明,就不是數(shù)學(xué)歸納法.跟蹤訓(xùn)練求證:(n1)(n2)··(nn)2n·1·3·5··(2n1)(nN). 【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140214】證明(1)當(dāng)n1時(shí),等式左邊2,右邊2,故等式成立;(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí)等式成立,即(k1)(k2)··(kk)2k·1·3·5··(2k1),那么當(dāng)nk1時(shí),左邊(k11)(k12)··(k1k1)(k2)(k3)··(kk)(2k1)(2k2)2k·1·3·5··(2k1)(2k1)·22k1·1·3·5··(2k1)(2k1),所以當(dāng)nk1時(shí)等式也成立根據(jù)(1)(2)可知,對(duì)所有nN等式成立用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(20xx·武漢調(diào)研)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知對(duì)任意的nN,點(diǎn)(n,Sn)均在函數(shù)ybxr(b0,且b1,b,r均為常數(shù))的圖像上(1)求r的值;(2)當(dāng)b2時(shí),記bn2(log2an1)(nN)證明:對(duì)任意的nN,不等式···成立解(1)由題意,Snbnr,當(dāng)n2時(shí),Sn1bn1r,所以anSnSn1bn1(b1),由于b0,且b1,所以n2時(shí),an是以b為公比的等比數(shù)列,又a1br,a2b(b1),b,即b,解得r1.(2)證明:由(1)知an2n1,因此bn2n(nN),所證不等式為···.當(dāng)n1時(shí),左式,右式,左式右式,所以結(jié)論成立假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立,即···,則當(dāng)nk1時(shí),·····,要證當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立,只需證,即證,由基本不等式可得成立,故成立,所以當(dāng)nk1時(shí),結(jié)論成立根據(jù)可知,nN時(shí),不等式···成立規(guī)律方法用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的適用范圍與關(guān)鍵(1)適用范圍:當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí),應(yīng)用其他辦法不容易證,則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.(2)關(guān)鍵:用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk時(shí)命題成立,證明nk1時(shí)命題也成立,在歸納假設(shè)使用后可運(yùn)用比較法、綜合法、分析法、放縮法等來(lái)加以證明,充分應(yīng)用基本不等式、不等式的性質(zhì)等放縮技巧,使問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.即一湊歸納假設(shè),二湊證題目標(biāo).(3)特別注意:證nk1時(shí),知nk時(shí)命題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)需增加或減少多少項(xiàng).跟蹤訓(xùn)練(20xx·浙江高考節(jié)選)已知數(shù)列xn滿足:x11,xnxn1ln(1xn1)(nN)證明:當(dāng)nN時(shí),0<xn1<xn.證明用數(shù)學(xué)歸納法證明:xn>0.當(dāng)n1時(shí),x11>0.假設(shè)nk時(shí),xk>0,那么nk1時(shí),若xk10,則0<xkxk1ln(1xk1)0,矛盾,故xk1>0.因此xn>0(nN)所以xnxn1ln(1xn1)>xn1.因此0<xn1<xn(nN)歸納猜想證明已知正項(xiàng)數(shù)列an中,對(duì)于一切的nN均有aanan1成立(1)證明:數(shù)列an中的任意一項(xiàng)都小于1;(2)探究an與的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論解(1)由aanan1得an1ana.在數(shù)列an中,an0,an10,ana0,0an1,故數(shù)列an中的任何一項(xiàng)都小于1.(2)由(1)知0a11,那么a2a1a,由此猜想an.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)n2,且nN時(shí)猜想正確當(dāng)n2時(shí)已證;假設(shè)當(dāng)nk(k2,且kN)時(shí),有ak成立,那么,ak1aka,當(dāng)nk1時(shí),猜想正確綜上所述,對(duì)于一切nN,都有an.規(guī)律方法解決“歸納猜想證明”問(wèn)題的一般思路:通過(guò)觀察有限個(gè)特例,猜想出一般性的結(jié)論,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明.這種方法在解決探索性問(wèn)題、存在性問(wèn)題或與正整數(shù)有關(guān)的命題中有著廣泛的應(yīng)用.易錯(cuò)警示:猜想an的通項(xiàng)公式時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn):(1)準(zhǔn)確計(jì)算a1,a2,a3發(fā)現(xiàn)規(guī)律(必要時(shí)可多計(jì)算幾項(xiàng));(2)證明ak1時(shí),ak1的求解過(guò)程與a2,a3的求解過(guò)程相似,注意體會(huì)特殊與一般的辯證關(guān)系.跟蹤訓(xùn)練(20xx·常德模擬)設(shè)a0,f(x),令a11,an1f(an),nN.(1)寫出a2,a3,a4的值,并猜想數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論. 解(1)a11,a2f(a1)f(1);a3f(a2);a4f(a3).猜想an(nN)(2)證明:易知,n1時(shí),猜想正確假設(shè)nk(k1且kN)時(shí)猜想正確,即ak,則ak1f(ak).這說(shuō)明,nk1時(shí)猜想正確由知,對(duì)于任何nN,都有an.

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本文(新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第6章 不等式、推理與證明 第6節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 理 北師大版)為本站會(huì)員(無(wú)***)主動(dòng)上傳,裝配圖網(wǎng)僅提供信息存儲(chǔ)空間,僅對(duì)用戶上傳內(nèi)容的表現(xiàn)方式做保護(hù)處理,對(duì)上載內(nèi)容本身不做任何修改或編輯。 若此文所含內(nèi)容侵犯了您的版權(quán)或隱私,請(qǐng)立即通知裝配圖網(wǎng)(點(diǎn)擊聯(lián)系客服),我們立即給予刪除!

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