新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件： 專題探究課1 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的高考熱點(diǎn)問題 理 北師大版

一)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的高考熱點(diǎn)問題(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第44頁(yè))命題解讀函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的重要工具，因此，函數(shù)與導(dǎo)數(shù)是歷年高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，常涉及的問題有：討論函數(shù)的單調(diào)性(求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間)、求極值、求最值、求切線方程、求函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根、求參數(shù)的范圍、證明不等式等，涉及的數(shù)學(xué)思想有：函數(shù)與方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸思想等，中、高檔難度均有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性、極值是局部概念，函數(shù)的最值是整體概念，研究函數(shù)的性質(zhì)必須在定義域內(nèi)進(jìn)行，因此，務(wù)必遵循定義域優(yōu)先的原則，本熱點(diǎn)主要有三種考查方式：(1)討論函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的極值或最值；(3)利用函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，求參數(shù)的范圍(20xx·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ln xa(1x)(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有最大值，且最大值大于2a2時(shí)，求a的取值范圍解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)a.若a0，則f(x)>0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增若a>0，則當(dāng)x時(shí)，f(x)>0；當(dāng)x時(shí)，f(x)<0.所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)由(1)知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，)上無(wú)最大值；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在x取得最大值，最大值為flnaln aa1.因此f>2a2等價(jià)于ln aa1<0.令g(a)ln aa1，則g(a)在(0，)上單調(diào)遞增，g(1)0.于是，當(dāng)0<a<1時(shí)，g(a)<0；當(dāng)a>1時(shí)，g(a)>0.因此，a的取值范圍是(0,1)規(guī)律方法1.研究函數(shù)的性質(zhì)，必須在定義域內(nèi)進(jìn)行，因此利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)遵循定義域優(yōu)先的原則.2.討論函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值問題，最終歸結(jié)到判斷f(x)的符號(hào)問題上，而f(x)0或f(x)0，最終可轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元一次不等式或一元二次不等式問題.3.若已知f(x)的單調(diào)性，則轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0或f(x)0在單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解.跟蹤訓(xùn)練(20xx·福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)aln xx2ax(aR). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140096】(1)若x3是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求g(x)f(x)2x在區(qū)間1，e的最小值h(a)解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2xa，因?yàn)閤3是f(x)的極值點(diǎn)，所以f(3)0，解得a9.所以f(x)，所以當(dāng)0x或x3時(shí)，f(x)0；當(dāng)x3時(shí)，f(x)0.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(3，)，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)由題知，g(x)f(x)2xaln xx2ax2x.g(x)2.當(dāng)1，即a2時(shí)，g(x)在1，e上為增函數(shù)，h(a)g(1)a1；當(dāng)1e，即2a2e時(shí)，g(x)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，h(a)galna2a；當(dāng)e，即a2e時(shí)，g(x)在1，e上為減函數(shù)，h(a)g(e)(1e)ae22e.綜上，h(a)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題研究函數(shù)零點(diǎn)的本質(zhì)就是研究函數(shù)的極值的正負(fù)，為此，我們可以通過討論函數(shù)的單調(diào)性來(lái)解決，求解時(shí)應(yīng)注重等價(jià)轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，其主要考查方式有：(1)確定函數(shù)的零點(diǎn)、圖像交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)由函數(shù)的零點(diǎn)、圖像交點(diǎn)的情況求參數(shù)的取值范圍(20xx·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ae2x(a2)exx.(1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍. 解(1)f(x)的定義域?yàn)?，)，f(x)2ae2x(a2)ex1(aex1)(2ex1)()若a0，則f(x)<0，所以f(x)在(，)單調(diào)遞減()若a>0，則由f(x)0得xln a.當(dāng)x(，ln a)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(ln a，)時(shí)，f(x)>0.所以f(x)在(，ln a)單調(diào)遞減，在(ln a，)單調(diào)遞增(2)()若a0，由(1)知，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)()若a>0，由(1)知，當(dāng)xln a時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(ln a)1ln a.當(dāng)a1時(shí)，由于f(ln a)0，故f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a(1，)時(shí)，由于1ln a0，即f(ln a)>0，故f(x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)a(0,1)時(shí)，1ln a0，即f(ln a)0.又f(2)ae4(a2)e22>2e22>0，故f(x)在(，ln a)有一個(gè)零點(diǎn)設(shè)正整數(shù)n0滿足n0ln，則f(n0)e(aea2)n0en02n00.由于lnln a，因此f(x)在(ln a，)有一個(gè)零點(diǎn)綜上，a的取值范圍為(0,1)規(guī)律方法利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的兩種常用方法(1)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助零點(diǎn)存在性定理判斷；或用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，再用單調(diào)性和極值定位函數(shù)圖像求解零點(diǎn)問題.(2)將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)問題，利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決.跟蹤訓(xùn)練(20xx·武漢調(diào)研)已知f(x)ln xx32ex2ax，aR，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)若f(x)在xe處的切線的斜率為e2，求a；(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍解(1)f(x)3x24exa，f(e)e2ae2，a.(2)由ln xx32ex2ax0，得x22exa.記F(x)x22ex，則F(x)2(xe)x(e，)，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減x(0，e)，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增，F(xiàn)(x)maxF(e)e2，而x0時(shí)，F(xiàn)(x)，x時(shí)，F(xiàn)(x).故ae2.利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題(答題模板)導(dǎo)數(shù)在不等式中的應(yīng)用是每年高考的必考內(nèi)容，且以解答題的形式考查，難度較大，屬中高檔題，突出轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)思想的考查常見的命題角度有：(1)證明不等式；(2)由不等式恒成立求參數(shù)范圍問題；(3)不等式恒成立、能成立問題(本小題滿分12分)(20xx·全國(guó)卷)設(shè)函數(shù)f(x)(1x2)ex.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)x0時(shí)，f(x)ax1，求a的取值范圍規(guī)范解答(1)f(x)(12xx2)ex.令f(x)0得x1或x1.2分當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0.4分所以f(x)在(，1)，(1，)單調(diào)遞減，在(1，1)單調(diào)遞增.5分(2)f(x)(1x)(1x)ex.當(dāng)a1時(shí)，設(shè)函數(shù)h(x)(1x)ex，h(x)xex0(x>0)，因此h(x)在0，)單調(diào)遞減而h(0)1，故h(x)1，所以f(x)(x1)h(x)x1ax1.8分當(dāng)0<a<1時(shí)，設(shè)函數(shù)g(x)exx1，g(x)ex10(x0)，所以g(x)在0，)單調(diào)遞增，而g(0)0，故exx1.當(dāng)0<x<1時(shí)，f(x)>(1x)(1x)2，(1x)(1x)2ax1x(1axx2)，取x0，則x0(0,1)，(1x0)(1x0)2ax010，故f(x0)ax01.10分當(dāng)a0時(shí)，取x0，則x0(0,1)，f(x0)(1x0)(1x0)21ax01.11分綜上，a的取值范圍是1，).12分閱卷者說易錯(cuò)點(diǎn)防范措施函數(shù)h(x)與函數(shù)g(x)的構(gòu)造認(rèn)真分析不等式的結(jié)構(gòu)特征，通過構(gòu)造h(x)，利用不等式的性質(zhì)，證明命題成立，通過構(gòu)造g(x)，為舉反例說明命題不成立創(chuàng)造了條件規(guī)律方法1.求單調(diào)區(qū)間的一般步驟(1)求定義域.(2)求f(x)，令f(x)0，求出f(x)的增區(qū)間；令f(x)0，求出f(x)的減區(qū)間.(3)寫出結(jié)論.2.恒成立問題的三種解法(1)分離參數(shù)，化為最值問題求解.(2)構(gòu)造函數(shù)，分類討論，如f(x)g(x)，即F(x)f(x)g(x)，求F(x)min0.(3)轉(zhuǎn)變主元，選取適當(dāng)?shù)闹髟?，可使問題簡(jiǎn)化.跟蹤訓(xùn)練設(shè)函數(shù)f(x)e2xaln x.(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；(2)證明：當(dāng)a0時(shí)，f(x)2aaln. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140097】解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2e2x(x>0)當(dāng)a0時(shí)，f(x)>0，f(x)沒有零點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，設(shè)u(x)e2x，v(x)，因?yàn)閡(x)e2x在(0，)上單調(diào)遞增，v(x)在(0，)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增又f(a)>0，假設(shè)存在b滿足0<b<且b<時(shí)，f(b)<0，故當(dāng)a>0時(shí)，f(x)存在唯一零點(diǎn)(2)證明：由(1)，可設(shè)f(x)在(0，)上的唯一零點(diǎn)為x0，當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)x(x0，)時(shí)，f(x)>0.故f(x)在(0，x0)上單調(diào)遞減，在(x0，)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)xx0時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(x0)由于2e0，所以f(x0)2ax0aln2aaln .故當(dāng)a>0時(shí)，f(x)2aaln .