新編高考數(shù)學(xué)理一輪資源庫 第10章學(xué)案3

新編高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料直線與圓錐曲線位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用.2.理解數(shù)形結(jié)合的思想自主梳理1直線與橢圓的位置關(guān)系的判定方法(1)將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程，若>0，則直線與橢圓_；若0，則直線與橢圓_；若<0，則直線與橢圓_(2)直線與雙曲線的位置關(guān)系的判定方法將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去y(或x)，得到一個一元方程ax2bxc0.若a0，當(dāng)>0時，直線與雙曲線_；當(dāng)0時，直線與雙曲線_；當(dāng)<0時，直線與雙曲線_若a0時，直線與漸近線平行，與雙曲線有_交點(3)直線與拋物線位置關(guān)系的判定方法將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，消去y(或x)，得到一個一元方程ax2bxc0.當(dāng)a0，用判定，方法同上當(dāng)a0時，直線與拋物線的對稱軸_，只有_交點2已知弦AB的中點，研究AB的斜率和方程(1)AB是橢圓1 (a>b>0)的一條弦，M(x0，y0)是AB的中點，則kAB_，kAB·kOM_.點差法求弦的斜率的步驟是：將端點坐標(biāo)代入方程：1，1.兩等式對應(yīng)相減：0.分解因式整理：kAB.(2)運用類比的手法可以推出：已知AB是雙曲線1的弦，中點M(x0，y0)，則kAB_.已知拋物線y22px (p>0)的弦AB的中點M(x0，y0)，則kAB_.3弦長公式直線l：ykxb與圓錐曲線C：F(x，y)0交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，則AB|x1x2|或AB |y1y2| ·.自我檢測1拋物線y24x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過F且斜率為的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點A，AKl，垂足為K，則AKF的面積是_2如果直線ykx1與雙曲線x2y21沒有公共點，則k的取值范圍是_3橢圓1的一個焦點為F1，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點M在y軸上，那么點M的縱坐標(biāo)是_4過點的直線l與拋物線yx2交于A、B兩點，O為坐標(biāo)原點，則·的值為_5經(jīng)過拋物線y24x焦點的直線l交拋物線于A、B兩點，且AB8，則直線l的傾斜角的大小為_.探究點一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系例1k為何值時，直線ykx2和曲線2x23y26有兩個公共點？有一個公共點？沒有公共點？變式遷移1已知拋物線C的方程為x2y，過A(0，1)，B(t,3)兩點的直線與拋物線C沒有公共點，則實數(shù)t的取值范圍是_探究點二圓錐曲線中的弦長問題例2如圖所示，直線ykxb與橢圓y21交于A、B兩點，記AOB的面積為S. (1)求在k0,0<b<1的條件下，S的最大值；(2)當(dāng)AB2，S1時，求直線AB的方程變式遷移2已知橢圓的兩焦點為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，離心率e.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)直線l：yxm，若l與橢圓相交于P，Q兩點，且PQ等于橢圓的短軸長，求m的值探究點三求參數(shù)的范圍問題例3直線m：ykx1和雙曲線x2y21的左支交于A、B兩點，直線l過點P(2,0)和線段AB的中點M，求l在y軸上的截距b的取值范圍變式遷移3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，經(jīng)過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個不同的交點P和Q.(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A、B，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由函數(shù)思想例(14分)已知橢圓C的方程為1 (a>b>0)，雙曲線1的兩條漸近線為l1，l2，過橢圓C的右焦點F作直線l，使ll1，又l與l2交于P點，設(shè)l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A，B.(1)當(dāng)l1與l2夾角為60°，雙曲線的焦距為4時，求橢圓C的方程及離心率；(2)求的最大值【答題模板】解(1)雙曲線的漸近線為y±x，兩漸近線夾角為60°，又<1，POx30°，tan 30°，ab.又a2b222，3b2b24，2分b21，a23，橢圓C的方程為y21，離心率e.5分(2)由已知，l：y(xc)與yx聯(lián)立，解方程組得P.7分設(shè)，則，F(xiàn)(c,0)，設(shè)A(x0，y0)，則(x0c，y0)，x0，y0.即A.10分將A點坐標(biāo)代入橢圓方程，得(c2a2)22a4(1)2a2c2，等式兩邊同除以a4，(e2)22e2(1)2，e(0,1)，12分232 332(1)2，當(dāng)2e2，即e22時，有最大值1，即的最大值為1.14分【突破思維障礙】最值問題是從動態(tài)角度去研究解析幾何中數(shù)學(xué)問題的主要內(nèi)容，一是在準(zhǔn)確把握題意的基礎(chǔ)上，建立函數(shù)、不等式模型，利用二次函數(shù)、三角函數(shù)的有界性、基本不等式解決；二是利用數(shù)形結(jié)合，考慮相切、相交的幾何意義解決【易錯點剖析】不能把轉(zhuǎn)化成向量問題，使得運算繁瑣造成錯誤，由2不會求最值或忽視e22<0這個隱含條件1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是解析幾何的重點內(nèi)容之一，也是高考的熱點，這類問題往往與函數(shù)、不等式、三角、向量等知識綜合、交匯考查，而且對綜合能力的考查顯見其中因此解決此類問題需要有較廣的知識面及較強的解決問題的能力2從題目類型上多見于與弦的中點、弦長、弦所在直線的斜率等有關(guān)的最值問題、參數(shù)范圍問題基本思路就是直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立消元得到形如ax2bxc0的方程，由韋達定理得x1x2，x1x2.然后再把要研究的問題轉(zhuǎn)化為用x1x2和x1x2去表示最后，用函數(shù)、不等式等知識加以解決需要注意的就是要注意對隱含條件的挖掘，比如判別式0，圓錐曲線中有關(guān)量的固有范圍等(滿分：90分)一、填空題(每小題6分，共48分)1已知拋物線y24x，則過點P(1,1)與拋物線有且只有一個交點的直線的條數(shù)是_2(2009·重慶)已知拋物線C的頂點在坐標(biāo)原點，焦點為F(1,0)，直線l與拋物線C相交于A，B兩點，若AB的中點為(2,2)，則直線l的方程為_3已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值為_4已知直線yk(x2) (k>0)與拋物線C：y28x相交于A、B兩點，F(xiàn)為C的焦點若FA2FB，則k_.5斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A、B兩點，則AB的最大值為_6(2011·鎮(zhèn)江模擬)若直線ykx1 (kR)與焦點在x軸上的橢圓1恒有公共點，則t的范圍是_7P為雙曲線x21右支上一點，M、N分別是圓(x4)2y24和(x4)2y21上的點，則PMPN的最大值為_8(2010·全國)已知拋物線C：y22px(p0)的準(zhǔn)線為l，過M(1,0)且斜率為的直線與l相交于點A，與C的一個交點為B，若AM，則p_.二、解答題(共42分)9(14分)已知拋物線yx23上存在關(guān)于直線xy0對稱的相異兩點A、B，求AB的長10(14分)(2010·天津)已知橢圓1(a>b>0)的離心率e，連結(jié)橢圓的四個頂點得到的菱形的面積為4.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線l與橢圓相交于不同的兩點A，B，已知點A的坐標(biāo)為(a,0)，點Q(0，y0)在線段AB的垂直平分線上，且·4，求y0的值11(14分)(2011·江西)P(x0，y0)(x0±a)是雙曲線E：1(a>0，b>0)上一點，M，N分別是雙曲線E的左，右頂點，直線PM，PN的斜率之積為.(1)求雙曲線的離心率；(2)過雙曲線E的右焦點且斜率為1的直線交雙曲線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，C為雙曲線上一點，滿足，求的值學(xué)案52直線與圓錐曲線位置關(guān)系答案自主梳理1(1)相交相切相離(2)相交相切相離一個(3)平行一個2.(1)(2)自我檢測142.(，)(，)3.±45.或課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引用直線方程和圓錐曲線方程組成的方程組解的個數(shù)，可以研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，也就是用代數(shù)的方法研究幾何問題，這是解析幾何的重要思想方法方程組消元后要注意所得方程的二次項系數(shù)是否含有參數(shù)，若含參數(shù)，需按二次項系數(shù)是否為零進行分類討論，只有二次項系數(shù)不為零時，方程才是一元二次方程，后面才可以用判別式的符號判斷方程解的個數(shù)，從而說明直線與圓錐曲線的位置關(guān)系解由得2x23(kx2)26，即(23k2)x212kx60，144k224(23k2)72k248.當(dāng)72k248>0，即k>或k<時，直線和曲線有兩個公共點；當(dāng)72k2480，即k或k時，直線和曲線有一個公共點；當(dāng)72k248<0，即<k<時，直線和曲線沒有公共點變式遷移1(，)(，)例2解題導(dǎo)引本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)、橢圓與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力“設(shè)而不求”是解決直線與圓錐曲線交點問題的基本方法當(dāng)所求弦為焦點弦時，可結(jié)合圓錐曲線的定義求解解(1)設(shè)點A的坐標(biāo)為(x1，b)，點B的坐標(biāo)為(x2，b)，由y21，解得x1,2±2，所以Sb|x1x2|2bb21b21.當(dāng)且僅當(dāng)b時，S取到最大值1.(2)由得(4k21)x28kbx4b240，16(4k2b21)AB|x1x2|·2.又因為O到AB的距離d1，所以b2k21.將代入并整理，得4k44k210，解得k2，b2，代入式檢查，>0.故直線AB的方程是：yx或yx或yx或yx.變式遷移2解(1)設(shè)橢圓方程為1 (a>b>0)，則c，.a2，b1.所求橢圓方程為y21.(2)由消去y得關(guān)于x的方程：5x28mx4(m21)0，則64m280(m21)>0，解得m2<5.(*)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x2m，x1x2，y1y2x1x2，PQ 2，解得m2，滿足(*)，m±.例3解題導(dǎo)引直線與圓錐曲線的位置關(guān)系從代數(shù)的角度來看，就是直線方程與圓錐曲線的方程組成的方程組有無解的問題，結(jié)合判別式研究，利用設(shè)而不求與整體代入等技巧與方法，從而延伸出一些復(fù)雜的參數(shù)范圍的研究解由 (x1)得(k21)x22kx20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，1<k<.設(shè)M(x0，y0)，由設(shè)l與y軸的交點為Q(0，b)，則由P(2,0)，M，Q(0，b)三點共線得b，設(shè)f(k)2k2k2，則f(k)在(1，)上單調(diào)遞減，f(k)(2，1)，b(，2)(2，)變式遷移3解(1)由已知條件，直線l的方程為ykx，代入橢圓方程得(kx)21，整理得x22kx10.直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q等價于8k244k22>0，解得k<或k>.即k的取值范圍為.(2)設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則(x1x2，y1y2)，由方程，x1x2.又y1y2k(x1x2)2.而A(，0)，B(0,1)，(，1)所以與共線等價于x1x2(y1y2)，將代入上式，解得k.由(1)知k<或k>，故沒有符合題意的常數(shù)k.課后練習(xí)區(qū)132.yx32解析由拋物線y24x知直線l2為其準(zhǔn)線，焦點為F(1,0)由拋物線的定義可知動點P到直線l2的距離與P到焦點F(1,0)的距離相等，所以P到直線l1的距離與P到焦點F(1,0)的距離之和的最小值為焦點F(1,0)到直線l1的距離(如圖)，則d2.4.5.6.1,5)7.58.29解設(shè)直線AB的方程為yxb，由消去y得x2xb30，(4分)x1x21.于是AB的中點M(，b)，且14(b3)>0，即b<.(7分)又M(，b)在直線xy0上，b1符合(10分)x2x20.由弦長公式可得AB3.(14分)10解(1)由e，得3a24c2.再由c2a2b2，得a2b.由題意可知×2a×2b4，即ab2.解方程組得所以橢圓的方程為y21.(4分)(2)由(1)可知A(2,0)，且直線l的斜率必存在設(shè)B點的坐標(biāo)為(x1，y1)，直線l的斜率為k，則直線l的方程為yk(x2)于是A，B兩點的坐標(biāo)滿足方程組由方程組消去y并整理，得(14k2)x216k2x(16k24)0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得2x1，所以x1，從而y1.設(shè)線段AB的中點為M，則M的坐標(biāo)為(，)(6分)以下分兩種情況討論：當(dāng)k0時，點B的坐標(biāo)是(2,0)，線段AB的垂直平分線為y軸，于是(2，y0)，(2，y0)由·4，得y0±2.(8分)當(dāng)k0時，線段AB的垂直平分線的方程為y(x)令x0，解得y0.由(2，y0)，(x1，y1y0)，·2x1y0(y1y0)()4，整理得7k22，故k±.所以y0±.(13分)綜上，y0±2或y0±.(14分)11解(1)由點P(x0，y0)(x0±a)在雙曲線1上，有1.由題意有·，(4分)可得a25b2，c2a2b26b2，e.(7分)(2)聯(lián)立得4x210cx35b20.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則設(shè)(x3，y3)，即(10分)又C為雙曲線上一點，即x5y5b2，有(x1x2)25(y1y2)25b2.化簡得2(x5y)(x5y)2(x1x25y1y2)5b2.又A(x1，y1)，B(x2，y2)在雙曲線上，所以x5y5b2，x5y5b2.(12分)由式又有x1x25y1y2x1x25(x1c)(x2c)4x1x25c(x1x2)5c210b2，式可化為240，解得0或4.(14分)