新版新課標(biāo)Ⅱ版高考數(shù)學(xué)分項(xiàng)匯編 專題10 立體幾何含解析文科

1 1專題10 立體幾何一基礎(chǔ)題組1. 【20xx全國(guó)新課標(biāo)，文7】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積為()A6 B9 C12 D18【答案】B2. 【20xx全國(guó)新課標(biāo)，文7】設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2a、a、a，其頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A3a2 B6a2 C12a2 D24a2【答案】：B3. 【2007全國(guó)2，文7】已知正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)是底面邊長(zhǎng)的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于( )(A)(B)(C) (D) 【答案】：A4. 【2006全國(guó)2，文7】如圖，平面平面，與兩平面、所成的角分別為和。過(guò)A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為、若AB=12,則( )（A）4（B）6 （C）8（D）9【答案】B【解析】連接AB'和A'B，設(shè)AB=a，可得AB與平面所成的角為，在RtBAB'中有，同理可得AB與平面所成的角為，所以，因此在RtAA'B'中，所以，又因?yàn)锳B=12,所以5. 【2005全國(guó)3，文4】設(shè)三棱柱ABC-A1B1C1的體積為V，P、Q分別是側(cè)棱AA1、CC1上的點(diǎn)，且PA=QC1，則四棱錐B-APQC的體積為（ ）A B C D【答案】C6. 【2005全國(guó)2，文2】正方體中，、分別是、的中點(diǎn)那么，正方體的過(guò)、的截面圖形是（ ）(A) 三角形(B) 四邊形(C) 五邊形(D) 六邊形【答案】D7. 【2007全國(guó)2，文15】一個(gè)正四棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)直徑為2cm的球面上。如果正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為1cm，那么該棱柱的表面積為 cm2.【答案】：【解析】這個(gè)正四棱柱，體對(duì)角線為2cm，底面為邊長(zhǎng)1cm的正方形，則根據(jù)勾股定理，解得，則表面積.8. 【20xx全國(guó)2，文18】（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，是的中點(diǎn).（）證明：/平面；（）設(shè)，三棱錐的體積，求到平面的距離.【答案】（）詳見(jiàn)解析；（）9. 【20xx課標(biāo)全國(guó)，文18】(本小題滿分12分)如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)(1)證明：BC1平面A1CD；(2)設(shè)AA1ACCB2，AB，求三棱錐CA1DE的體積 (2)因?yàn)锳BCA1B1C1是直三棱柱，所以AA1CD.由已知ACCB，D為AB的中點(diǎn)，所以CDAB.又AA1ABA，于是CD平面ABB1A1.由AA1ACCB2，得ACB90°，A1E3，故A1D2DE2A1E2，即DEA1D.所以VCA1DE1.10. 【20xx全國(guó)新課標(biāo)，文19】如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直底面，ACB90°，ACBCAA1，D是棱AA1的中點(diǎn)(1)證明：平面BDC1平面BDC；(2)平面BDC1分此棱柱為兩部分，求這兩部分體積的比11. 【20xx全國(guó)新課標(biāo)，文18】如圖，已知四棱錐PABCD的底面為等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點(diǎn)（1）證明：平面PAC平面PBD；（2）若AB，APBADB60°，求四棱錐PABCD的體積12. 【2005全國(guó)2，文20】(本小題滿分12分)如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，、分別為、的中點(diǎn)() 求證：平面；() 設(shè)，求與平面所成的角的大小 (II)解：不妨設(shè)BC=1，則PD=AD=1，AB=，PA=，AC=PAB為等腰直角三角形，且PB=2，F(xiàn)為其斜邊中點(diǎn)，BF=1且AFPBPB與平面AEF內(nèi)兩條相交直線EF、AF都垂直PB平面AEF連結(jié)BE交AC于G，作GHBP交EF于H，則GH平面AEFGAH為AC與平面AEF所成的角由EGCBGA可知EG=GB，EG=EB，AG=AC=由EGHEBF可知GH=BF=GAH=AC與平面AEF所成的角為。方法二以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的長(zhǎng)為單位，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。異面直線AC、PB所成的角為=0，PBAF又PBEF，EF、AF為平面AEF內(nèi)兩條相交直線PB平面AEFAC與平面AEF所成的角為即AC與平面AEF所成的角為。二能力題組1. 【20xx全國(guó)2，文6】如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1（表示1cm），圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，則切削的部分的體積與原來(lái)毛坯體積的比值為（ ）A. B. C. D.【答案】C2. 【20xx課標(biāo)全國(guó)，文9】一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為()【答案】：A【解析】：如圖所示，該四面體在空間直角坐標(biāo)系Oxyz的圖像為下圖：則它在平面zOx的投影即正視圖為，故選A.3. 【20xx全國(guó)新課標(biāo)，文8】平面截球O的球面所得圓的半徑為1，球心O到平面的距離為，則此球的體積為()A BC D【答案】B4. 【20xx全國(guó)2，文8】已知三棱錐SABC中，底面ABC為邊長(zhǎng)等于2的等邊三角形，SA垂直于底面ABC，SA3，那么直線AB與平面SBC所成角的正弦值為()A. B. C. D. 【答案】：D【解析】法一：(幾何法)如圖，取BC中點(diǎn)D，連結(jié)AD、SD.法二：(向量法)以A為原點(diǎn)，分別以AB、AS所在直線為x軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，易知S(0,0,3)，B(2,0,0)，C(1，0)設(shè)平面SBC的法向量為n(x，y，z)則，得n(3，2)，又(2,0,0)，當(dāng)為AB與平面SBC所成的角時(shí)，sin|cos，n| 5. 【20xx全國(guó)新課標(biāo)，文15】一個(gè)幾何體的正視圖為一個(gè)三角形，則這個(gè)幾何體可能是下列幾何體中的_(填入所有可能的幾何體前的編號(hào))三棱錐四棱錐三棱柱四棱柱圓錐 圓柱【答案】：6. 【2006全國(guó)2，文14】圓是以為半徑的球的小圓，若圓的面積和球的表面積的比為，則圓心到球心的距離與球半徑的比?！敬鸢浮俊窘馕觥?. 【2006全國(guó)2，文20】（本小題分）如圖，在直三棱柱中，、分別為、的中點(diǎn)。（I）證明：ED為異面直線與的公垂線；（II）設(shè)求二面角的大小不妨設(shè)AA12，則AC2，ABEDOB1，EF，tanA1FE，A1FE60°所以二面角A1ADC1為60° 12分解法二：（）如圖，建立直角坐標(biāo)系Oxyz，其中原點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)8. 【2005全國(guó)3，文19】(本小題滿分12分)在四棱錐V-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD （）證明AB平面VAD； （）求面VAD與面VDB所成的二面角的大小設(shè)是面VDB的法向量，則9分，11分又由題意知，面VAD與面VDB所成的二面角，所以其大小為12分三拔高題組1. 【20xx全國(guó)2，文7】正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，為中點(diǎn)，則三棱錐的體積為( ) （A） （B） （C） （D）【答案】C2. 【20xx全國(guó)2，文11】與正方體ABCDA1B1C1D1的三條棱AB、CC1、A1D1所在直線的距離相等的點(diǎn)()A有且只有1個(gè) B有且只有2個(gè)C有且只有3個(gè) D有無(wú)數(shù)個(gè)【答案】：D【解析】經(jīng)驗(yàn)證線段B1D上的點(diǎn)B，D，中點(diǎn)，四等分點(diǎn)均滿足題意，故由排除法知應(yīng)有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)3. 【2005全國(guó)3，文11】不共面的四個(gè)定點(diǎn)到平面的距離都相等，這樣的平面共有（ ）A3個(gè) B4個(gè) C6個(gè) D7個(gè)【答案】D【解析】4. 【2005全國(guó)2，文12】的頂點(diǎn)在平面內(nèi)，、在的同一側(cè)，、與所成的角分別是和若，則與所成的角為（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】C【解析】5. 【20xx課標(biāo)全國(guó)，文15】已知正四棱錐OABCD的體積為，底面邊長(zhǎng)為，則以O(shè)為球心，OA為半徑的球的表面積為_(kāi)【答案】：246. 【2010全國(guó)2，文16】已知球O的半徑為4，圓M與圓N為該球的兩個(gè)小圓，AB為圓M與圓N的公共弦，AB4，若OMON3，則兩圓圓心的距離MN_.【答案】：37. 【2005全國(guó)2，文16】下面是關(guān)于三棱錐的四個(gè)命題： 底面是等邊三角形，側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐 底面是等邊三角形，側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐 底面是等邊三角形，側(cè)面的面積都相等的三棱錐是正三棱錐 側(cè)棱與底面所成的角都相等，且側(cè)面與底面所成的二面角都相等的三棱錐是正三棱錐.其中，真命題的編號(hào)是_(寫出所有真命題的編號(hào)）【答案】8. 【20xx全國(guó)2，文19】如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，AA1AB，D為BB1的中點(diǎn)，E為AB1上的一點(diǎn)，AE3EB1.(1)證明DE為異面直線AB1與CD的公垂線；(2)設(shè)異面直線AB1與CD的夾角為45°，求二面角A1AC1B1的大小【解析】：法一：(1)證明：連結(jié)A1B，記A1B與AB1的交點(diǎn)為F，因?yàn)槊鍭A1B1B為正方形，故A1BAB1，且AFFB1，又AE3EB1，所以FEEB1，又D為BB1的中點(diǎn)，故DEBF，DEAB1.作CGAB，G為垂足，由ACBC知，G為AB中點(diǎn)又由底面ABC面AA1B1B，得CG面AA1B1B，連結(jié)DG，則DGAB1，故DEDG，由三垂線定理，得DECD，所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線所以二面角A1AC1B1的大小為arctan.解法二：(1)證明：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線BA為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Bxyz，設(shè)AB2，則A(2,0,0)，B1(0,2,0)，D(0,1,0)，E(，0)，又設(shè)C(1,0，c)，則(，0)，(2，2,0)，(1，1，c)于是0，0，故DEB1A，DEDC，所以DE為異面直線AB1與CD的公垂線 (2)因?yàn)?，等于異面直線AB1與CD的夾角，令p，則q，r1，故n(，1)所以cosm，n.由于m，n等于二面角A1AC1B1的平面角，所以二面角A1AC1B1的大小為arccos.9. 【2007全國(guó)2，文20】（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD 底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點(diǎn).()求證：EF 平面SAD()設(shè)SD = 2CD，求二面角A-EF-D的大小.取中點(diǎn)，連結(jié)，則.又平面，所以，而，所以面.取中點(diǎn)，連結(jié)，則.連結(jié)，則.故為二面角的平面角.所以二面角的大小為.解法二：（1）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系.所以向量和的夾角等于二面角的平面角.所以二面角的大小為.