新編高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 第6章 不等式、推理與證明 第5節(jié) 綜合法與分析法、反證法學案 文 北師大版

第五節(jié)綜合法與分析法、反證法考綱傳真1.了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法；了解綜合法和分析法的思考過程和特點.2.了解反證法的思考過程和特點(對應學生用書第89頁) 基礎知識填充1直接證明內(nèi)容綜合法分析法定義從命題的條件出發(fā)，利用定義、公理、定理及運算法則，通過演繹推理，一步一步地接近要證明的結(jié)論，直到完成命題的證明我們把這樣的思維方法稱為綜合法.從求證的結(jié)論出發(fā)，一步一步地探索保證前一個結(jié)論成立的充分條件，直到歸結(jié)為這個命題的條件，或者歸結(jié)為定義、公理、定理等我們把這樣的思維方法稱為分析法思維過程由因?qū)Ч麍?zhí)果索因框圖表示書寫格式因為，所以或由，得要證，只需證，即證2間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法(1)反證法的定義：在假定命題結(jié)論反面成立的前提下，經(jīng)過推理，若推出的結(jié)果與定義、公理、定理矛盾，或與命題中的已知條件相矛盾，或與假定相矛盾，從而說明命題結(jié)論的反面不可能成立，由此斷定命題結(jié)論成立的方法叫反證法(2)用反證法證明的一般步驟：反設假設命題的結(jié)論不成立；歸謬根據(jù)假設進行推理，直到推出矛盾為止；結(jié)論斷言假設不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立基本能力自測1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)綜合法的思維過程是由因?qū)Ч?，逐步尋找已知的必要條件()(2)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件()(3)用反證法證明時，推出的矛盾不能與假設矛盾()(4)在解決問題時，常常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程()答案(1)(2)×(3)×(4)2要證a2b21a2b20 ，只要證明()A2ab1a2b20Ba2b210C1a2b20D(a21)(b21)0Da2b21a2b20(a21)(b21)0.3用反證法證明命題：“已知a，b為實數(shù)，則方程x2axb0至少有一個實根”時，要做的假設是()A方程x2axb0沒有實根B方程x2axb0至多有一個實根C方程x2axb0至多有兩個實根D方程x2axb0恰好有兩個實根A“方程x2axb0至少有一個實根”的反面是“方程x2axb0沒有實根”，故選A4已知a，b，x均為正數(shù)，且a>b，則與的大小關(guān)系是_>>0，>.5(教材改編)在ABC中，三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則ABC的形狀為_三角形 【導學號：00090218】等邊由題意2BAC，又ABC，B，又b2ac，由余弦定理得b2a2c22accos Ba2c2ac，a2c22ac0，即(ac)20，ac，AC，ABC，ABC為等邊三角形(對應學生用書第90頁)綜合法對于定義域為0,1的函數(shù)f(x)，如果同時滿足：對任意的x0,1，總有f(x)0；f(1)1；若x10，x20，x1x21，都有f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，則稱函數(shù)f(x)為理想函數(shù)(1)若函數(shù)f(x)為理想函數(shù)，證明：f(0)0；(2)試判斷函數(shù)f(x)2x(x0,1)，f(x)x2(x0,1)，f(x)(x0,1)是否是理想函數(shù) 【導學號：00090219】解(1)證明：取x1x20，則x1x201，f(00)f(0)f(0)，f(0)0.2分又對任意的x0,1，總有f(x)0，f(0)0.于是f(0)0.5分(2)對于f(x)2x，x0,1，f(1)2不滿足新定義中的條件，f(x)2x(x0,1)不是理想函數(shù).7分對于f(x)x2，x0,1，顯然f(x)0，且f(1)1.對任意的x1，x20,1，x1x21，f(x1x2)f(x1)f(x2)(x1x2)2xx2x1x20，即f(x1)f(x2)f(x1x2)f(x)x2(x0,1)是理想函數(shù).9分對于f(x)，x0,1，顯然滿足條件.對任意的x1，x20,1，x1x21，有f(x1x2)2f(x1)f(x2)2(x1x2)(x12x2)20，即f(x1x2)2f(x1)f(x2)2，f(x1x2)f(x1)f(x2)，不滿足條件.f(x)(x0,1)不是理想函數(shù).11分綜上，f(x)x2(x0,1)是理想函數(shù)，f(x)2x(x0,1)與f(x)(x0,1)不是理想函數(shù).12分規(guī)律方法綜合法是“由因?qū)Ч钡淖C明方法，其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法，常與分析法結(jié)合使用，用分析法探路，綜合法書寫，但要注意有關(guān)定理、性質(zhì)、結(jié)論題設條件的正確運用變式訓練1已知函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)abxx2x3，函數(shù)yf(x)與函數(shù)yg(x)的圖像在交點(0,0)處有公共切線(1)求a，b的值；(2)證明：f(x)g(x)解(1)f(x)，g(x)bxx2，2分由題意得解得a0，b1.5分(2)證明：令h(x)f(x)g(x)ln(x1)x3x2x(x>1)h(x)x2x1.8分所以h(x)在(1,0)上為增函數(shù)，在(0，)上為減函數(shù)h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即f(x)g(x).12分分析法已知a>0，求證：a2.證明要證a2，只需要證2a.2分因為a>0，故只需要證22，即a244a2222，8分從而只需要證2，只需要證42，即a22，而上述不等式顯然成立，故原不等式成立12分規(guī)律方法1.當已知條件與結(jié)論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接，或證明過程中所需用的知識不太明確、具體時，往往采用分析法，特別是含有根號、絕對值的等式或不等式，常考慮用分析法2分析法的特點和思路是“執(zhí)果索因”，逐步尋找結(jié)論成立的充分條件，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”或本身已經(jīng)成立的定理、性質(zhì)或已經(jīng)證明成立的結(jié)論等，通常采用“欲證只需證已知”的格式，在表達中要注意敘述形式的規(guī)范性變式訓練2已知ABC的三個內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，A，B，C的對邊分別為a，b，C求證：. 【導學號：00090220】證明要證，即證3，也就是1，3分只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，5分又ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B60°，由余弦定理，得b2c2a22accos 60°，10分即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立于是原等式成立.12分反證法設an是公比為q的等比數(shù)列(1)推導an的前n項和公式；(2)設q1，證明數(shù)列an1不是等比數(shù)列解(1)設an的前n項和為Sn，當q1時，Sna1a1a1na1；當q1時，Sna1a1qa1q2a1qn1，qSna1qa1q2a1qn，得，(1q)Sna1a1qn，Sn，Sn5分(2)證明：假設an1是等比數(shù)列，則對任意的kN*，(ak11)2(ak1)(ak21)，a2ak11akak2akak21，aq2k2a1qka1qk1·a1qk1a1qk1a1qk1.8分a10，2qkqk1qk1.q0，q22q10，q1，這與已知矛盾假設不成立，故an1不是等比數(shù)列.12分規(guī)律方法用反證法證明問題的步驟：(1)反設：假定所要證的結(jié)論不成立，而設結(jié)論的反面成立；(否定結(jié)論)(2)歸謬：將“反設”作為條件，由此出發(fā)經(jīng)過正確的推理，導出矛盾，矛盾可以是與已知條件、定義、公理、定理及明顯的事實矛盾或自相矛盾；(推導矛盾)(3)立論：因為推理正確，所以產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設”的謬誤既然原命題結(jié)論的反面不成立，從而肯定了原命題成立(命題成立)變式訓練3已知a1，求證三個方程：x24ax4a30，x2(a1)xa20，x22ax2a0中至少有一個方程有實根證明假設三個方程都沒有實數(shù)根，則6分<a<1.10分這與已知a1矛盾，所以假設不成立，故原結(jié)論成立12分