2019年高中數(shù)學(xué) 第1章 常用邏輯用語 1.2 簡單邏輯聯(lián)結(jié)詞 1.2.1 邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”、“且”和“或”講義（含解析）湘教版選修2-1.doc

12.1邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”、“且”和“或”讀教材填要點(diǎn)1聯(lián)結(jié)詞“非”設(shè)p是一個(gè)命題，用聯(lián)結(jié)詞“非”對(duì)命題p作全盤否定，得到新命題，記作綈p，讀作“非p”或“不是p”2聯(lián)結(jié)詞“且”用聯(lián)結(jié)詞“且”把兩個(gè)命題p，q聯(lián)結(jié)起來，得到新命題，記作pq，讀作“p且q”3聯(lián)結(jié)詞“或”用聯(lián)結(jié)詞“或”把兩個(gè)命題p，q聯(lián)結(jié)起來，得到新命題，記作pq，讀作“p或q”4含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷pqpqpq綈p真真真真假真假真假假假真真假真假假假假真小問題大思維1邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與日常生活中的“或”意思是否相同？提示：有所不同日常用語中的“或”帶有“不可兼有”的意思而邏輯聯(lián)結(jié)詞中的“或”含有“同時(shí)兼有”的意思2“或”“且”聯(lián)結(jié)詞的否定形式分別是什么？提示：“p或q”的否定形式是“綈p且綈q”，“p且q”的否定形式是“綈p或綈q”3命題“綈p”與命題“p的否命題”有何不同？提示：命題“綈p”與“否命題”完全不同，前者是對(duì)命題的結(jié)論否定，后者是既否定條件又否定結(jié)論如：若命題p為“若s，則t”，則綈p：若s，則綈t，否命題：若綈s，則綈t.邏輯聯(lián)結(jié)詞“非” 寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假(1)p：34>6；(2)p：楊振寧是數(shù)學(xué)家或物理學(xué)家；(3)p：不等式x23x20的解集是x|1x2自主解答(1)34>6是一個(gè)簡單命題，“>”的否定即是“”，所以“非p”：346.由于p是真命題，故命題“非p”是假命題(2)命題是一個(gè)“pq”形式的命題，其否定為“(綈p)(綈q)”的形式，所以“非p”：楊振寧既不是數(shù)學(xué)家又不是物理學(xué)家由于p是真命題，故命題“非p”是假命題(3)“非p”：不等式x23x20的解集不是x|1x2由于p是假命題，故命題“非p”是真命題若將例1(2)中的“或”改為“且”，如何解答？解：綈p：楊振寧不是數(shù)學(xué)家或楊振寧不是物理學(xué)家，由于p是假命題，故命題綈p是真命題寫“非p”應(yīng)先弄清p的條件與結(jié)論另外，要注意改變?cè)}的真假，一般用否定詞語對(duì)正面敘述的詞語進(jìn)行否定如“等于”的否定是“不等于”，“大于”的否定是“不大于”即“小于或等于”，“都是”的否定是“不都是”1寫出下列各命題的否定及否命題，并判斷它們的真假(1)若a，b都是奇數(shù)，則ab是偶數(shù)；(2)全等的三角形是相似三角形解：原命題的否定：(1)若a，b都是奇數(shù)，則ab不是偶數(shù)，為假命題(2)全等三角形不是相似三角形，為假命題原命題的否命題：(1)若a，b不都是奇數(shù)，則ab不是偶函數(shù)，為假命題(2)不全等的三角形不是相似三角形，為假命題邏輯聯(lián)結(jié)詞“且” 對(duì)下列各組命題，利用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”構(gòu)造新命題，并判斷它們的真假(1)p：12是3的倍數(shù)，q：12是4的倍數(shù)；(2)p：>3，q：<2；(3)p：x0，則xy0，q：y0，則xy0.自主解答(1)pq：“12是3的倍數(shù)且是4的倍數(shù)”，是真命題(2)pq：“大于3且小于2”，是假命題(3)pq：“x0，則xy0，且y0，則xy0”，是假命題邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)的是兩個(gè)命題，若兩個(gè)命題具有相同的條件，則聯(lián)結(jié)后可以省略一個(gè)條件，而用“且”聯(lián)結(jié)兩個(gè)結(jié)論；若兩個(gè)命題的條件不同，但結(jié)論相同，則不可以用“且”聯(lián)結(jié)兩個(gè)條件而省略一個(gè)結(jié)論(注：在不改變命題真假性的前提下，可以用)，要完整地寫出兩個(gè)命題，用“且”聯(lián)結(jié)2用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”改寫下列命題，并判斷它們的真假(1)24既是8的倍數(shù)，又是9的倍數(shù)；(2)yx1和yx3都是單調(diào)增函數(shù)；(3)函數(shù)ysin x不僅是奇函數(shù)，還是周期函數(shù)解：(1)命題“24既是8的倍數(shù)，又是9的倍數(shù)”可以改寫為“24是8的倍數(shù)且是9的倍數(shù)”，因?yàn)椤?4是9的倍數(shù)”是假命題，所以這個(gè)命題是假命題(2)命題“yx1和yx3都是單調(diào)增函數(shù)”可以改寫為“yx1是單調(diào)增函數(shù)且yx3是單調(diào)增函數(shù)”因?yàn)椤皔x1是單調(diào)增函數(shù)”與“yx3是單調(diào)增函數(shù)”都是真命題，所以這個(gè)命題是真命題(3)命題“函數(shù)ysin x不僅是奇函數(shù)，還是周期函數(shù)”可以改寫為“函數(shù)ysin x是奇函數(shù)且是周期函數(shù)”因?yàn)椤昂瘮?shù)ysin x是奇函數(shù)”與“函數(shù)ysin x是周期函數(shù)”都是真命題，所以這個(gè)命題是真命題邏輯聯(lián)結(jié)詞“或” 對(duì)下列各組命題，利用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”構(gòu)造新命題，并判斷它們的真假(1)p：正數(shù)的平方大于0，q：負(fù)數(shù)的平方大于0；(2)p：45，q：45；(3)p：方程(x1)(x2)0的根是x1，q：方程(x1)(x2)0的根是x2.自主解答(1)pq：“正數(shù)或負(fù)數(shù)的平方大于0”，即“非零實(shí)數(shù)的平方大于0”，是真命題(2)pq：“45或45”，即“45”，是真命題；(3)pq：“方程(x1)(x2)0的根是x1或方程(x1)(x2)0的根是x2”，是假命題pq形式的命題與pq形式的命題不同的是：兩命題的條件相同時(shí)，pq形式的命題可以省去一個(gè)條件，而pq形式的命題則不可以(注：在不改變命題真假性的前提下，可以用)；兩命題的結(jié)論相同時(shí)，pq形式的命題有時(shí)不能用“且”聯(lián)結(jié)兩個(gè)條件，而pq形式的命題卻可以3判斷下列命題的真假(1)44；(2)僅有一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形或是平行四邊形解：(1)命題“44”的含義是“4>4或44”，其中“44”是真命題，所以“44”是真命題(2)命題“僅有一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形或是平行四邊形”是“pq”形式的命題，其中p：僅有一組對(duì)邊平行的四邊形是梯形，q：僅有一組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形因?yàn)閜真q假，所以pq為真，故原命題是真命題解題高手 妙解題 什么是智慧，智慧就是簡單、高效、不走彎路設(shè)有兩個(gè)命題命題p：不等式x2(a1)x10的解集是；命題q：函數(shù)f(x)(a1)x在定義域內(nèi)是增函數(shù)如果pq為假命題，pq為真命題，求a的取值范圍巧思因?yàn)閜q為假命題，pq為真命題，故p和q必有一真一假因此可先求出p，q為真命題時(shí)a的取值范圍，然后分“p真q假”“p假q真”兩種情況即可求出a的取值范圍妙解對(duì)于p：因?yàn)椴坏仁絰2(a1)x10的解集是，所以(a1)24<0.解不等式得：3<a<1.對(duì)于q：f(x)(a1)x在定義域內(nèi)是增函數(shù)，則有a1>1，所以a>0.又pq為假命題，pq為真命題，所以p，q必是一真一假當(dāng)p真q假時(shí)有3<a0，當(dāng)p假q真時(shí)有a1.綜上所述，a的取值范圍是(3,01，)1“xy0”是指()Ax0且y0 Bx0或y0Cx，y至少有一個(gè)不為0D不都是零解析：xy0是指“x0，且y0”答案：A2若命題p：xAB，則綈p為()AxA且xBBxA或xBCxA且xBDxAB解析：“xAB”是指“xA，且xB”，故綈p：xA或xB.答案：B3(2017山東高考)已知命題p：對(duì)任意x>0，ln(x1)>0；命題q：若a>b，則a2>b2.下列命題為真命題的是()ApqBp綈qC綈pqD綈p綈q解析：當(dāng)x>0時(shí)，x1>1，因此ln(x1)>0，即p為真命題；取a1，b2，這時(shí)滿足a>b，顯然a2>b2不成立，因此q為假命題由復(fù)合命題的真假性，知B為真命題答案：B4已知命題p：6是12的約數(shù)，q：6是24的約數(shù)，則pq是_，pq是_，綈p是_解析：pq：6是12和24的約數(shù)；pq：6是12或24的約數(shù)；綈p：6不是12的約數(shù)答案：6是12和24的約數(shù)6是12或24的約數(shù)6不是12的約數(shù)5命題p：0不是自然數(shù)，命題q：是無理數(shù)，則在命題“p且q”“p或q”“非p”“非q”中真命題是_，假命題是_解析：顯然p為假命題，q是真命題，故“p且q”為假命題，“p或q”為真命題，“非p”為真命題，“非q”為假命題答案：p或q, 非pp且q，非q6對(duì)命題p：1是集合x|x2<a中的元素；q：2是集合x|x2<a中的元素，則a為何值時(shí)，“p或q”為真？a為何值時(shí)，“p且q”為真？解：若p為真，則1x|x2<a，所以12<a，即a>1；若q為真，則2x|x2<a，即a>4.若“p或q”為真，則a>1或a>4，即a>1；若“p且q”為真，則a>1且a>4，即a>4.一、選擇題1“pq為假命題”是“綈p為真命題”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：pq為假命題，則p，q均為假命題，故pq為假命題綈p為真命題，但綈p為真命題 pq為假命題答案：A2已知p：點(diǎn)P在直線y2x3上，q：點(diǎn)P在直線y3x2上，則使命題pq為真命題的一個(gè)點(diǎn)P(x，y)是()A(0，3)B(1,2)C(1，1)D(1,1)解析：因?yàn)閜q為真命題，所以p，q均為真命題，即點(diǎn)P為直線y2x3與y3x2的交點(diǎn)，故有解得故選C.答案：C3已知全集UR，AU，BU，如果命題p：(AB)，則命題“綈p”是()A.AB.(UA)(UB)C.UBD.(AB)解析：由p：(AB)，可知綈p：(AB)，即U(AB)，而U(AB)(UA)(UB)答案：B4下列各組命題中，滿足“p或q”為真，且“非p”為真的是()Ap：0；q：0Bp：在ABC中，若cos 2Acos 2B，則AB；q：函數(shù)ysin x在第一象限是增函數(shù)Cp：ab2(a，bR)；q：不等式|x|>x的解集為(，0)Dp：圓(x1)2(y2)21的面積被直線x1平分；q：過點(diǎn)M(0,1)且與圓(x1)2(y2)21相切的直線有兩條解析：A中，p，q均為假命題，故“p或q”為假，排除A；B中，由在ABC中，cos 2Acos 2B，得12sin2A12sin2B，即(sin Asin B)(sin Asin B)0，所以AB0，故p為真，從而“非p”為假，排除B；C中，p為假，從而“非p”為真，q為真，從而“p或q”為真；D中，p為真，故“非p”為假，排除D.故選C.答案：C二、填空題5命題“若abc0，則a，b，c中至少有一個(gè)為零”的否定為：_，否命題為：_.解析：否定形式：若abc0，則a，b，c全不為零否命題：若abc0，則a，b，c全不為零答案：若abc0，則a，b，c全不為零若abc0，則a，b，c全不為零6已知命題p：x1，命題q：1，則綈p是q的_條件(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”“既不充分也不必要”中的一個(gè))解析：p：x1綈p：x11，但1 x1.綈p是q的充分不必要條件答案：充分不必要7若命題p：不等式axb0的解集為，命題q：關(guān)于x的不等式(xa)(xb)0的解集為x|axb，則“pq”“pq”“綈p”形式的復(fù)合命題中的真命題是_解析：因命題p，q均為假命題，所以“pq”“pq”為假命題，“綈p”為真命題答案：綈p8已知條件p：(x1)2>4，條件q：x>a，且綈p是綈q的充分不必要條件，則a的取值范圍是_解析：由綈p是綈q的充分而不必要條件，可知綈p綈q，但綈q 綈p，又一個(gè)命題與它的逆否命題等價(jià)，可知qp，但pq，又p：x>1或x<3，可知x|x>ax|x<3或x>1，所以a1.答案：1，)三、解答題9寫出由下列各組命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”“非p”形式的復(fù)合命題，并判斷真假(1)p：1是質(zhì)數(shù)，q：1是方程x22x30的根；(2)p：平行四邊形的對(duì)角線一定相等，q：平行四邊形的對(duì)角線互相垂直；(3)p：NZ，q：0N.解：(1)因?yàn)閜假q真，所以p或q：1是質(zhì)數(shù)或1是方程x22x30的根，為真命題；p且q：1是質(zhì)數(shù)且1是方程x22x30的根，為假命題；非p：1不是質(zhì)數(shù)，為真命題(2)因?yàn)閜假q假，所以p或q：平行四邊形的對(duì)角線一定相等或互相垂直，為假命題；p且q：平行四邊形的對(duì)角線一定相等且互相垂直，為假命題；非p：平行四邊形的對(duì)角線不一定相等，為真命題(3)因?yàn)閜真q真，所以p或q：NZ或0N，為真命題；p且q：NZ且0N，為真命題；非p：NZ，為假命題10設(shè)命題p：函數(shù)f(x)logax(a>0，且a1)在(0，)上單調(diào)遞增；q：關(guān)于x的方程x22xloga0(a>0，且a1)的解集只有一個(gè)子集若pq為真，pq為假，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：當(dāng)命題p是真命題時(shí)，應(yīng)有a>1.當(dāng)命題q是真命題時(shí)，關(guān)于x的方程x22xloga0無解，所以44loga<0，解得1<a<.由于pq為真，則p和q中至少有一個(gè)為真，又pq為假，則p和q中至少有一個(gè)為假，所以p和q中一真一假，當(dāng)p假q真時(shí)，有不存在符合條件的實(shí)數(shù)a；當(dāng)p真q假時(shí)，有解得a，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.